[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x : α
⊢ x ∈ Dom f ↔ ∃ y, y ∈ f x
[PROOFSTEP]
simp [Dom, Part.dom_iff_mem]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
x✝ : (p : α → Prop) × (Subtype p → β)
p : α → Prop
f : Subtype p → β
⊢ (fun f => { fst := fun a => (f a).Dom, snd := asSubtype f })
      ((fun f x => { Dom := Sigma.fst f x, get := fun h => Sigma.snd f { val := x, property := h } })
        { fst := p, snd := f }) =
    { fst := p, snd := f }
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
x✝ : (p : α → Prop) × (Subtype p → β)
p : α → Prop
f : Subtype p → β
⊢ { fst := fun a => p a, snd := asSubtype fun x => { Dom := p x, get := fun h => f { val := x, property := h } } } =
    { fst := p, snd := f }
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
s : Set α
h : s ⊆ Dom f
a : α
b : β
⊢ b ∈ restrict f h a ↔ a ∈ s ∧ b ∈ f a
[PROOFSTEP]
simp [restrict]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α → β
s : Set α
a : α
b : β
⊢ b ∈ res f s a ↔ a ∈ s ∧ f a = b
[PROOFSTEP]
simp [res, @eq_comm _ b]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α → β
a : α
b : β
⊢ (∃ x, f a = b) ↔ f a = b
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
α✝ : Type ?u.16924
f : α →. α✝
⊢ id <$> f = f
[PROOFSTEP]
funext a
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
α✝ : Type ?u.16924
f : α →. α✝
a : α
⊢ (id <$> f) a = f a
[PROOFSTEP]
dsimp [Functor.map, PFun.map]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
α✝ : Type ?u.16924
f : α →. α✝
a : α
⊢ Part.map id (f a) = f a
[PROOFSTEP]
cases f a
[GOAL]
case h.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
α✝ : Type ?u.16924
f : α →. α✝
a : α
Dom✝ : Prop
get✝ : Dom✝ → α✝
⊢ Part.map id { Dom := Dom✝, get := get✝ } = { Dom := Dom✝, get := get✝ }
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
⊢ (f a).Dom
[PROOFSTEP]
let ⟨h₁, h₂⟩ := Part.mem_assert_iff.1 h
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a h₁
⊢ (f a).Dom
[PROOFSTEP]
rw [WellFounded.fixFEq] at h₂
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ :
  b ∈
    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
      match e : Part.get (f a) hf with
      | Sum.inl b => Part.some b
      | Sum.inr a' =>
        (fun y p =>
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
          a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a')
⊢ (f a).Dom
[PROOFSTEP]
exact h₂.fst.fst
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
let ⟨h₁, h₂⟩ := Part.mem_assert_iff.1 h
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a h₁
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
rw [WellFounded.fixFEq] at h₂
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ :
  b ∈
    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
      match e : Part.get (f a) hf with
      | Sum.inl b => Part.some b
      | Sum.inr a' =>
        (fun y p =>
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
          a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a')
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
simp at h₂
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ :
  ∃ h,
    b ∈
      match e : Part.get (f a) h with
      | Sum.inl b => Part.some b
      | Sum.inr a' =>
        WellFounded.fixF
          (fun a IH =>
            Part.assert (f a).Dom fun hf =>
              match e : Part.get (f a) hf with
              | Sum.inl b => Part.some b
              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
          a' (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a')
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
cases' h₂ with h₂ h₃
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
h₃ :
  b ∈
    match e : Part.get (f a) h₂ with
    | Sum.inl b => Part.some b
    | Sum.inr a' =>
      WellFounded.fixF
        (fun a IH =>
          Part.assert (f a).Dom fun hf =>
            match e : Part.get (f a) hf with
            | Sum.inl b => Part.some b
            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
        a' (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a')
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
split at h₃
[GOAL]
case intro.h_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
b✝ : β
heq✝ : Part.get (f a) h₂ = Sum.inl b✝
h₃ : b ∈ Part.some b✝
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
case intro.h_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
a'✝ : α
heq✝ : Part.get (f a) h₂ = Sum.inr a'✝
h₃ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a'✝ (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a'✝)
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
next e => simp at h₃ ; subst b; refine' Or.inl ⟨h₂, e⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
b✝ : β
e : Part.get (f a) h₂ = Sum.inl b✝
h₃ : b ∈ Part.some b✝
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
simp at h₃
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
b✝ : β
e : Part.get (f a) h₂ = Sum.inl b✝
h₃ : b = b✝
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
subst b
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
b✝ : β
e : Part.get (f a) h₂ = Sum.inl b✝
h : b✝ ∈ fix f a
⊢ Sum.inl b✝ ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b✝ ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
refine' Or.inl ⟨h₂, e⟩
[GOAL]
case intro.h_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
a'✝ : α
heq✝ : Part.get (f a) h₂ = Sum.inr a'✝
h₃ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a'✝ (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a'✝)
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
next e => exact Or.inr ⟨_, ⟨_, e⟩, Part.mem_assert _ h₃⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ fix f a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
a'✝ : α
e : Part.get (f a) h₂ = Sum.inr a'✝
h₃ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a'✝ (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a'✝)
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
exact Or.inr ⟨_, ⟨_, e⟩, Part.mem_assert _ h₃⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
⊢ b ∈ fix f a
[PROOFSTEP]
simp [fix]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
⊢ ∃ h,
    b ∈
      WellFounded.fixF
        (fun a IH =>
          Part.assert (f a).Dom fun hf =>
            match e : Part.get (f a) hf with
            | Sum.inl b => Part.some b
            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
        a h
[PROOFSTEP]
rcases h with (⟨h₁, h₂⟩ | ⟨a', h, h₃⟩)
[GOAL]
case inl.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
⊢ ∃ h,
    b ∈
      WellFounded.fixF
        (fun a IH =>
          Part.assert (f a).Dom fun hf =>
            match e : Part.get (f a) hf with
            | Sum.inl b => Part.some b
            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
        a h
[PROOFSTEP]
refine' ⟨⟨_, fun y h' => _⟩, _⟩
[GOAL]
case inl.intro.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
y : α
h' : Sum.inr y ∈ f a
⊢ Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y
[PROOFSTEP]
injection Part.mem_unique ⟨h₁, h₂⟩ h'
[GOAL]
case inl.intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
⊢ b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)
[PROOFSTEP]
rw [WellFounded.fixFEq]
  -- Porting note: used to be simp [h₁, h₂]
[GOAL]
case inl.intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
⊢ b ∈
    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
      match e : Part.get (f a) hf with
      | Sum.inl b => Part.some b
      | Sum.inr a' =>
        (fun y p =>
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
          a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a')
[PROOFSTEP]
apply Part.mem_assert h₁
[GOAL]
case inl.intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
⊢ b ∈
    match e : Part.get (f a) h₁ with
    | Sum.inl b => Part.some b
    | Sum.inr a' =>
      (fun y p =>
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
        a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a')
[PROOFSTEP]
split
[GOAL]
case inl.intro.refine'_2.h_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
b✝ : β
heq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝
⊢ b ∈ Part.some b✝
case inl.intro.refine'_2.h_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
a'✝ : α
heq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝
⊢ b ∈
    (fun y p =>
        WellFounded.fixF
          (fun a IH =>
            Part.assert (f a).Dom fun hf =>
              match e : Part.get (f a) hf with
              | Sum.inl b => Part.some b
              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)
[PROOFSTEP]
next e => injection h₂.symm.trans e with h; simp [h]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
b✝ : β
e : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝
⊢ b ∈ Part.some b✝
[PROOFSTEP]
injection h₂.symm.trans e with h
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
b✝ : β
e : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝
h : b = b✝
⊢ b ∈ Part.some b✝
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inl.intro.refine'_2.h_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
a'✝ : α
heq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝
⊢ b ∈
    (fun y p =>
        WellFounded.fixF
          (fun a IH =>
            Part.assert (f a).Dom fun hf =>
              match e : Part.get (f a) hf with
              | Sum.inl b => Part.some b
              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)
[PROOFSTEP]
next e => injection h₂.symm.trans e
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b
a'✝ : α
e : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝
⊢ b ∈
    (fun y p =>
        WellFounded.fixF
          (fun a IH =>
            Part.assert (f a).Dom fun hf =>
              match e : Part.get (f a) hf with
              | Sum.inl b => Part.some b
              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)
[PROOFSTEP]
injection h₂.symm.trans e
[GOAL]
case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h : Sum.inr a' ∈ f a
h₃ : b ∈ fix f a'
⊢ ∃ h,
    b ∈
      WellFounded.fixF
        (fun a IH =>
          Part.assert (f a).Dom fun hf =>
            match e : Part.get (f a) hf with
            | Sum.inl b => Part.some b
            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
        a h
[PROOFSTEP]
simp [fix] at h₃
[GOAL]
case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h : Sum.inr a' ∈ f a
h₃ :
  ∃ h,
    b ∈
      WellFounded.fixF
        (fun a IH =>
          Part.assert (f a).Dom fun hf =>
            match e : Part.get (f a) hf with
            | Sum.inl b => Part.some b
            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
        a' h
⊢ ∃ h,
    b ∈
      WellFounded.fixF
        (fun a IH =>
          Part.assert (f a).Dom fun hf =>
            match e : Part.get (f a) hf with
            | Sum.inl b => Part.some b
            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
        a h
[PROOFSTEP]
cases' h₃ with h₃ h₄
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h : Sum.inr a' ∈ f a
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
⊢ ∃ h,
    b ∈
      WellFounded.fixF
        (fun a IH =>
          Part.assert (f a).Dom fun hf =>
            match e : Part.get (f a) hf with
            | Sum.inl b => Part.some b
            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
        a h
[PROOFSTEP]
refine' ⟨⟨_, fun y h' => _⟩, _⟩
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h : Sum.inr a' ∈ f a
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
y : α
h' : Sum.inr y ∈ f a
⊢ Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y
[PROOFSTEP]
injection Part.mem_unique h h' with e
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h : Sum.inr a' ∈ f a
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
y : α
h' : Sum.inr y ∈ f a
e : a' = y
⊢ Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y
[PROOFSTEP]
exact e ▸ h₃
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h : Sum.inr a' ∈ f a
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
⊢ b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)
[PROOFSTEP]
cases' h with h₁ h₂
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'
⊢ b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)
[PROOFSTEP]
rw [WellFounded.fixFEq]
  -- Porting note: used to be simp [h₁, h₂, h₄]
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'
⊢ b ∈
    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
      match e : Part.get (f a) hf with
      | Sum.inl b => Part.some b
      | Sum.inr a'_1 =>
        (fun y p =>
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
          a'_1 (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'_1)
[PROOFSTEP]
apply Part.mem_assert h₁
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'
⊢ b ∈
    match e : Part.get (f a) h₁ with
    | Sum.inl b => Part.some b
    | Sum.inr a'_1 =>
      (fun y p =>
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
        a'_1 (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'_1)
[PROOFSTEP]
split
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro.h_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'
b✝ : β
heq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝
⊢ b ∈ Part.some b✝
case inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro.h_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'
a'✝ : α
heq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝
⊢ b ∈
    (fun y p =>
        WellFounded.fixF
          (fun a IH =>
            Part.assert (f a).Dom fun hf =>
              match e : Part.get (f a) hf with
              | Sum.inl b => Part.some b
              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)
[PROOFSTEP]
next e => injection h₂.symm.trans e
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'
b✝ : β
e : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝
⊢ b ∈ Part.some b✝
[PROOFSTEP]
injection h₂.symm.trans e
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro.h_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'
a'✝ : α
heq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝
⊢ b ∈
    (fun y p =>
        WellFounded.fixF
          (fun a IH =>
            Part.assert (f a).Dom fun hf =>
              match e : Part.get (f a) hf with
              | Sum.inl b => Part.some b
              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)
[PROOFSTEP]
next e => injection h₂.symm.trans e; subst a'; exact h₄
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'
a'✝ : α
e : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝
⊢ b ∈
    (fun y p =>
        WellFounded.fixF
          (fun a IH =>
            Part.assert (f a).Dom fun hf =>
              match e : Part.get (f a) hf with
              | Sum.inl b => Part.some b
              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)
[PROOFSTEP]
injection h₂.symm.trans e
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
a' : α
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a' h₃
h₁ : (f a).Dom
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'
a'✝ : α
e : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝
val_eq✝ : a' = a'✝
⊢ b ∈
    (fun y p =>
        WellFounded.fixF
          (fun a IH =>
            Part.assert (f a).Dom fun hf =>
              match e : Part.get (f a) hf with
              | Sum.inl b => Part.some b
              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)
[PROOFSTEP]
subst a'
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h₁ : (f a).Dom
a'✝ : α
e : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝
h₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'✝
h₄ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a'✝ h₃
h₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝
⊢ b ∈
    (fun y p =>
        WellFounded.fixF
          (fun a IH =>
            Part.assert (f a).Dom fun hf =>
              match e : Part.get (f a) hf with
              | Sum.inl b => Part.some b
              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))
      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)
[PROOFSTEP]
exact h₄
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
hb : Sum.inl b ∈ f a
⊢ b ∈ fix f a
[PROOFSTEP]
rw [PFun.mem_fix_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
hb : Sum.inl b ∈ f a
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
exact Or.inl hb
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
⊢ fix f a = fix f a'
[PROOFSTEP]
ext b
[GOAL]
case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
b : β
⊢ b ∈ fix f a ↔ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case H.mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
b : β
⊢ b ∈ fix f a → b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case H.mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
b : β
h : b ∈ fix f a
⊢ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
obtain h' | ⟨a, h', e'⟩ := mem_fix_iff.1 h
[GOAL]
case H.mp.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
b : β
h : b ∈ fix f a
h' : Sum.inl b ∈ f a
⊢ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
cases Part.mem_unique ha' h'
[GOAL]
case H.mp.inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a✝ a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a✝
b : β
h : b ∈ fix f a✝
a : α
h' : Sum.inr a ∈ f a✝
e' : b ∈ fix f a
⊢ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
cases Part.mem_unique ha' h'
[GOAL]
case H.mp.inr.intro.intro.refl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
b : β
h : b ∈ fix f a
h' : Sum.inr a' ∈ f a
e' : b ∈ fix f a'
⊢ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
exact e'
[GOAL]
case H.mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
b : β
⊢ b ∈ fix f a' → b ∈ fix f a
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case H.mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
b : β
h : b ∈ fix f a'
⊢ b ∈ fix f a
[PROOFSTEP]
rw [PFun.mem_fix_iff]
[GOAL]
case H.mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a a' : α
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
b : β
h : b ∈ fix f a'
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
exact Or.inr ⟨a', ha', h⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
hb : b ∈ fix f a
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
⊢ b ∈ fix f a'
[PROOFSTEP]
rwa [← fix_fwd_eq ha']
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
⊢ C a
[PROOFSTEP]
have h₂ := (Part.mem_assert_iff.1 h).snd
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
h₂ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)
⊢ C a
[PROOFSTEP]
revert h₂
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
⊢ b ∈
      WellFounded.fixF
        (fun a IH =>
          Part.assert (f a).Dom fun hf =>
            match e : Part.get (f a) hf with
            | Sum.inl b => Part.some b
            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
        a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) →
    C a
[PROOFSTEP]
generalize_proofs h₁
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
⊢ b ∈
      WellFounded.fixF
        (fun a IH =>
          Part.assert (f a).Dom fun hf =>
            match e : Part.get (f a) hf with
            | Sum.inl b => Part.some b
            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
        a h₁ →
    C a
[PROOFSTEP]
intro h₂
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a h₁
⊢ C a
[PROOFSTEP]
clear h
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a h₁
⊢ C a
[PROOFSTEP]
induction' h₁ with a ha IH
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a✝ : α
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a✝
h₂✝ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a✝ h₁
a : α
ha : ∀ (y : α), Sum.inr y ∈ f a → Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y
IH :
  (y : α) →
    (a : Sum.inr y ∈ f a) →
      b ∈
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            y (_ : Acc ?m.29240 y) →
        C y
h₂ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)
⊢ C a
[PROOFSTEP]
have h : b ∈ f.fix a := Part.mem_assert_iff.2 ⟨⟨a, ha⟩, h₂⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a✝ : α
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a✝
h₂✝ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a✝ h₁
a : α
ha : ∀ (y : α), Sum.inr y ∈ f a → Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y
IH :
  (y : α) →
    (a : Sum.inr y ∈ f a) →
      b ∈
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            y (_ : Acc ?m.29240 y) →
        C y
h₂ :
  b ∈
    WellFounded.fixF
      (fun a IH =>
        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
          match e : Part.get (f a) hf with
          | Sum.inl b => Part.some b
          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)
h : b ∈ fix f a
⊢ C a
[PROOFSTEP]
exact H a h fun a' fa' => IH a' fa' (Part.mem_assert_iff.1 (fix_fwd h fa')).snd
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
⊢ fixInduction h H = H a h fun a' h' => fixInduction (_ : b ∈ fix f a') H
[PROOFSTEP]
unfold fixInduction
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
⊢ (let_fun h₂ :=
      (_ :
        b ∈
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a));
    Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>
      b ∈
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            a h₁ →
        C a)
      (fun a ha IH h₂ =>
        let_fun h :=
          (_ :
            b ∈
              Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>
                WellFounded.fixF
                  (fun a IH =>
                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                      match e : Part.get (f a) hf with
                      | Sum.inl b => Part.some b
                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                  a h);
        H a h fun a' fa' =>
          IH a' fa'
            (_ :
              b ∈
                WellFounded.fixF
                  (fun a IH =>
                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                      match e : Part.get (f a) hf with
                      | Sum.inl b => Part.some b
                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                  a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))
      (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) h₂) =
    H a h fun a' h' =>
      let_fun h₂ :=
        (_ :
          b ∈
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'));
      Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>
        b ∈
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              a h₁ →
          (fun x => C x) a)
        (fun a ha IH h₂ =>
          let_fun h :=
            (_ :
              b ∈
                Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>
                  WellFounded.fixF
                    (fun a IH =>
                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                        match e : Part.get (f a) hf with
                        | Sum.inl b => Part.some b
                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                    a h);
          H a h fun a' fa' =>
            IH a' fa'
              (_ :
                b ∈
                  WellFounded.fixF
                    (fun a IH =>
                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                        match e : Part.get (f a) hf with
                        | Sum.inl b => Part.some b
                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                    a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))
        (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a') h₂
[PROOFSTEP]
generalize (Part.mem_assert_iff.1 h).fst = ha
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
ha : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
⊢ (let_fun h₂ :=
      (_ :
        b ∈
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a));
    Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>
      b ∈
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            a h₁ →
        C a)
      (fun a ha IH h₂ =>
        let_fun h :=
          (_ :
            b ∈
              Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>
                WellFounded.fixF
                  (fun a IH =>
                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                      match e : Part.get (f a) hf with
                      | Sum.inl b => Part.some b
                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                  a h);
        H a h fun a' fa' =>
          IH a' fa'
            (_ :
              b ∈
                WellFounded.fixF
                  (fun a IH =>
                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                      match e : Part.get (f a) hf with
                      | Sum.inl b => Part.some b
                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                  a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))
      ha h₂) =
    H a h fun a' h' =>
      let_fun h₂ :=
        (_ :
          b ∈
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'));
      Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>
        b ∈
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              a h₁ →
          (fun x => C x) a)
        (fun a ha IH h₂ =>
          let_fun h :=
            (_ :
              b ∈
                Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>
                  WellFounded.fixF
                    (fun a IH =>
                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                        match e : Part.get (f a) hf with
                        | Sum.inl b => Part.some b
                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                    a h);
          H a h fun a' fa' =>
            IH a' fa'
              (_ :
                b ∈
                  WellFounded.fixF
                    (fun a IH =>
                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                        match e : Part.get (f a) hf with
                        | Sum.inl b => Part.some b
                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                    a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))
        (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a') h₂
[PROOFSTEP]
induction ha
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
H : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
x✝ : α
h✝ : ∀ (y : α), Sum.inr y ∈ f x✝ → Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y
h_ih✝ :
  ∀ (y : α) (a : Sum.inr y ∈ f x✝) (h : b ∈ fix f y),
    (let_fun h₂ :=
        (_ :
          b ∈
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              y (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y));
      Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>
        b ∈
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              a h₁ →
          C a)
        (fun a ha IH h₂ =>
          let_fun h :=
            (_ :
              b ∈
                Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>
                  WellFounded.fixF
                    (fun a IH =>
                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                        match e : Part.get (f a) hf with
                        | Sum.inl b => Part.some b
                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                    a h);
          H a h fun a' fa' =>
            IH a' fa'
              (_ :
                b ∈
                  WellFounded.fixF
                    (fun a IH =>
                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                        match e : Part.get (f a) hf with
                        | Sum.inl b => Part.some b
                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                    a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))
        (_ : Acc ?m.30282 y) h₂) =
      H y h fun a' h' =>
        let_fun h₂ :=
          (_ :
            b ∈
              WellFounded.fixF
                (fun a IH =>
                  Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                    match e : Part.get (f a) hf with
                    | Sum.inl b => Part.some b
                    | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'));
        Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>
          b ∈
              WellFounded.fixF
                (fun a IH =>
                  Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                    match e : Part.get (f a) hf with
                    | Sum.inl b => Part.some b
                    | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                a h₁ →
            (fun x => C x) a)
          (fun a ha IH h₂ =>
            let_fun h :=
              (_ :
                b ∈
                  Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>
                    WellFounded.fixF
                      (fun a IH =>
                        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                          match e : Part.get (f a) hf with
                          | Sum.inl b => Part.some b
                          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                      a h);
            H a h fun a' fa' =>
              IH a' fa'
                (_ :
                  b ∈
                    WellFounded.fixF
                      (fun a IH =>
                        Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                          match e : Part.get (f a) hf with
                          | Sum.inl b => Part.some b
                          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                      a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))
          (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a') h₂
h : b ∈ fix f x✝
⊢ (let_fun h₂ :=
      (_ :
        b ∈
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            x✝ (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) x✝));
    Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>
      b ∈
          WellFounded.fixF
            (fun a IH =>
              Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                match e : Part.get (f a) hf with
                | Sum.inl b => Part.some b
                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
            a h₁ →
        C a)
      (fun a ha IH h₂ =>
        let_fun h :=
          (_ :
            b ∈
              Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>
                WellFounded.fixF
                  (fun a IH =>
                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                      match e : Part.get (f a) hf with
                      | Sum.inl b => Part.some b
                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                  a h);
        H a h fun a' fa' =>
          IH a' fa'
            (_ :
              b ∈
                WellFounded.fixF
                  (fun a IH =>
                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                      match e : Part.get (f a) hf with
                      | Sum.inl b => Part.some b
                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                  a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))
      (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) x✝) h₂) =
    H x✝ h fun a' h' =>
      let_fun h₂ :=
        (_ :
          b ∈
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'));
      Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>
        b ∈
            WellFounded.fixF
              (fun a IH =>
                Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                  match e : Part.get (f a) hf with
                  | Sum.inl b => Part.some b
                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
              a h₁ →
          (fun x => C x) a)
        (fun a ha IH h₂ =>
          let_fun h :=
            (_ :
              b ∈
                Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>
                  WellFounded.fixF
                    (fun a IH =>
                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                        match e : Part.get (f a) hf with
                        | Sum.inl b => Part.some b
                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                    a h);
          H a h fun a' fa' =>
            IH a' fa'
              (_ :
                b ∈
                  WellFounded.fixF
                    (fun a IH =>
                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>
                        match e : Part.get (f a) hf with
                        | Sum.inl b => Part.some b
                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))
                    a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))
        (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a') h₂
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ C a
[PROOFSTEP]
refine' fixInduction h fun a' h ih => _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ fix f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ fix f a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
⊢ C a'
[PROOFSTEP]
rcases e : (f a').get (dom_of_mem_fix h) with b' | a''
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ fix f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ fix f a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
b' : β
e : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Sum.inl b'
⊢ C a'
[PROOFSTEP]
replace e : _ ∈ f a' := ⟨_, e⟩
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ fix f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ fix f a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
a'' : α
e : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Sum.inr a''
⊢ C a'
[PROOFSTEP]
replace e : _ ∈ f a' := ⟨_, e⟩
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ fix f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ fix f a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
b' : β
e : Sum.inl b' ∈ f a'
⊢ C a'
[PROOFSTEP]
apply hbase
[GOAL]
case inl.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ fix f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ fix f a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
b' : β
e : Sum.inl b' ∈ f a'
⊢ Sum.inl b ∈ f a'
[PROOFSTEP]
convert e
[GOAL]
case h.e'_4.h.e'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ fix f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ fix f a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
b' : β
e : Sum.inl b' ∈ f a'
⊢ b = b'
[PROOFSTEP]
exact Part.mem_unique h (fix_stop e)
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ fix f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ fix f a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
a'' : α
e : Sum.inr a'' ∈ f a'
⊢ C a'
[PROOFSTEP]
exact hind _ _ (fix_fwd h e) e (ih _ e)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
fa : Sum.inl b ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ fixInduction' h hbase hind = hbase a fa
[PROOFSTEP]
unfold fixInduction'
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
fa : Sum.inl b ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ (fixInduction h fun a' h ih =>
      Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a') (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))
        (fun b' e =>
          let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');
          hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))
        (fun a'' e =>
          let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');
          hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))
        (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))) =
    hbase a fa
[PROOFSTEP]
rw [fixInduction_spec]
  -- Porting note: the explicit motive required because `simp` behaves differently
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
fa : Sum.inl b ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = x → C a) (Part.get (f a) (_ : (f a).Dom))
      (fun b' e =>
        let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inl b');
        hbase a (_ : Sum.inl b ∈ f a))
      (fun a'' e =>
        let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'');
        hind a a'' (_ : b ∈ fix f a'') e
          ((fun a' h' =>
              fixInduction (_ : b ∈ fix f a') fun a' h ih =>
                Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a')
                  (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))
                  (fun b' e =>
                    let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');
                    hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))
                  (fun a'' e =>
                    let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');
                    hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))
                  (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))
            a'' e))
      (_ : Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = Part.get (f a) (_ : (f a).Dom)) =
    hbase a fa
[PROOFSTEP]
refine'
  Eq.rec (motive := fun x e =>
    Sum.casesOn (motive := fun y => (f a).get (dom_of_mem_fix h) = y → C a) x _ _
        (Eq.trans (Part.get_eq_of_mem fa (dom_of_mem_fix h)) e) =
      hbase a fa)
    _ (Part.get_eq_of_mem fa (dom_of_mem_fix h)).symm
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ fix f a
fa : Sum.inl b ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ (fun x e =>
      Sum.casesOn (motive := fun y => Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = y → C a) x
          (fun val =>
            (fun b' e =>
                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inl b');
                hbase a (_ : Sum.inl b ∈ f a))
              val)
          (fun val =>
            (fun a'' e =>
                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'');
                hind a a'' (_ : b ∈ fix f a'') e
                  ((fun a' h' =>
                      fixInduction (_ : b ∈ fix f a') fun a' h ih =>
                        Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a')
                          (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))
                          (fun b' e =>
                            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');
                            hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))
                          (fun a'' e =>
                            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');
                            hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))
                          (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))
                    a'' e))
              val)
          (_ : Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = x) =
        hbase a fa)
    (Sum.inl b) (_ : Sum.inl b = Sum.inl b)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ fix f a
h' : b ∈ fix f a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ fixInduction' h hbase hind = hind a a' h' fa (fixInduction' h' hbase hind)
[PROOFSTEP]
unfold fixInduction'
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ fix f a
h' : b ∈ fix f a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ (fixInduction h fun a' h ih =>
      Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a') (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))
        (fun b' e =>
          let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');
          hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))
        (fun a'' e =>
          let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');
          hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))
        (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))) =
    hind a a' h' fa
      (fixInduction h' fun a' h ih =>
        Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → (fun x => C x) a')
          (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))
          (fun b' e =>
            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');
            hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))
          (fun a'' e =>
            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');
            hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))
          (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))
[PROOFSTEP]
rw [fixInduction_spec]
  -- Porting note: the explicit motive required because `simp` behaves differently
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ fix f a
h' : b ∈ fix f a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = x → C a) (Part.get (f a) (_ : (f a).Dom))
      (fun b' e =>
        let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inl b');
        hbase a (_ : Sum.inl b ∈ f a))
      (fun a'' e =>
        let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'');
        hind a a'' (_ : b ∈ fix f a'') e
          ((fun a' h' =>
              fixInduction (_ : b ∈ fix f a') fun a' h ih =>
                Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a')
                  (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))
                  (fun b' e =>
                    let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');
                    hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))
                  (fun a'' e =>
                    let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');
                    hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))
                  (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))
            a'' e))
      (_ : Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = Part.get (f a) (_ : (f a).Dom)) =
    hind a a' h' fa
      (fixInduction h' fun a' h ih =>
        Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → (fun x => C x) a')
          (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))
          (fun b' e =>
            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');
            hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))
          (fun a'' e =>
            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');
            hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))
          (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))
[PROOFSTEP]
refine'
  Eq.rec (motive := fun x e =>
    Sum.casesOn (motive := fun y => (f a).get (dom_of_mem_fix h) = y → C a) x _ _
        (Eq.trans (Part.get_eq_of_mem fa (dom_of_mem_fix h)) e) =
      _)
    _ (Part.get_eq_of_mem fa (dom_of_mem_fix h)).symm
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ fix f a
h' : b ∈ fix f a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ (fun x e =>
      Sum.casesOn (motive := fun y => Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = y → C a) x
          (fun val =>
            (fun b' e =>
                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inl b');
                hbase a (_ : Sum.inl b ∈ f a))
              val)
          (fun val =>
            (fun a'' e =>
                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'');
                hind a a'' (_ : b ∈ fix f a'') e
                  ((fun a' h' =>
                      fixInduction (_ : b ∈ fix f a') fun a' h ih =>
                        Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a')
                          (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))
                          (fun b' e =>
                            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');
                            hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))
                          (fun a'' e =>
                            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');
                            hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))
                          (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))
                    a'' e))
              val)
          (_ : Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = x) =
        hind a a' h' fa
          (fixInduction h' fun a' h ih =>
            Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → (fun x => C x) a')
              (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))
              (fun b' e =>
                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');
                hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))
              (fun a'' e =>
                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');
                hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))
              (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))))
    (Sum.inr a') (_ : Sum.inr a' = Sum.inr a')
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
⊢ preimage f Set.univ = Dom f
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ preimage f Set.univ ↔ x✝ ∈ Dom f
[PROOFSTEP]
simp [mem_preimage, mem_dom]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set β
⊢ preimage (↑f) s = f ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set β
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ preimage (↑f) s ↔ x✝ ∈ f ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
⊢ x ∈ core (res f s) t ↔ x ∈ s → f x ∈ t
[PROOFSTEP]
simp [mem_core, mem_res]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ core (res f s) t = sᶜ ∪ f ⁻¹' t
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
⊢ x ∈ core (res f s) t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t
[PROOFSTEP]
rw [mem_core_res]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
⊢ x ∈ s → f x ∈ t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t
[PROOFSTEP]
by_cases h : x ∈ s
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
h : x ∈ s
⊢ x ∈ s → f x ∈ t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
h : ¬x ∈ s
⊢ x ∈ s → f x ∈ t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set β
⊢ core (↑f) s = f ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set β
x : α
⊢ x ∈ core (↑f) s ↔ x ∈ f ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
simp [core_def]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
⊢ core f s = preimage f s ∪ (Dom f)ᶜ
[PROOFSTEP]
rw [preimage_eq, Set.union_distrib_right, Set.union_comm (Dom f), Set.compl_union_self, Set.inter_univ,
  Set.union_eq_self_of_subset_right (f.compl_dom_subset_core s)]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
⊢ asSubtype f ⁻¹' s = Subtype.val ⁻¹' preimage f s
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
x : ↑(Dom f)
⊢ x ∈ asSubtype f ⁻¹' s ↔ x ∈ Subtype.val ⁻¹' preimage f s
[PROOFSTEP]
simp only [Set.mem_preimage, Set.mem_setOf_eq, PFun.asSubtype, PFun.mem_preimage]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
x : ↑(Dom f)
⊢ fn f ↑x (_ : ↑x ∈ Dom f) ∈ s ↔ ∃ y, y ∈ s ∧ y ∈ f ↑x
[PROOFSTEP]
show f.fn x.val _ ∈ s ↔ ∃ y ∈ s, y ∈ f x.val
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
x : ↑(Dom f)
⊢ fn f ↑x (_ : ↑x ∈ Dom f) ∈ s ↔ ∃ y, y ∈ s ∧ y ∈ f ↑x
[PROOFSTEP]
exact
  Iff.intro (fun h => ⟨_, h, Part.get_mem _⟩) fun ⟨y, ys, fxy⟩ =>
    have : f.fn x.val x.property ∈ f x.val := Part.get_mem _
    Part.mem_unique fxy this ▸ ys
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
p : β → Prop
f : α → β
a : α
b : Subtype p
⊢ b ∈ toSubtype p f a ↔ ↑b = f a
[PROOFSTEP]
rw [toSubtype_apply, Part.mem_mk_iff, exists_subtype_mk_eq_iff, eq_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
x✝¹ : α
x✝ : β
⊢ x✝ ∈ comp (PFun.id β) f x✝¹ ↔ x✝ ∈ f x✝¹
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
x✝¹ : α
x✝ : β
⊢ x✝ ∈ comp f (PFun.id α) x✝¹ ↔ x✝ ∈ f x✝¹
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
⊢ Dom (comp f g) = preimage g (Dom f)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ Dom (comp f g) ↔ x✝ ∈ preimage g (Dom f)
[PROOFSTEP]
simp_rw [mem_preimage, mem_dom, comp_apply, Part.mem_bind_iff, ← exists_and_right]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
x✝ : α
⊢ (∃ y a, a ∈ g x✝ ∧ y ∈ f a) ↔ ∃ y x, x ∈ f y ∧ y ∈ g x✝
[PROOFSTEP]
rw [exists_comm]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
x✝ : α
⊢ (∃ b a, b ∈ g x✝ ∧ a ∈ f b) ↔ ∃ y x, x ∈ f y ∧ y ∈ g x✝
[PROOFSTEP]
simp_rw [and_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
s : Set γ
⊢ preimage (comp f g) s = preimage g (preimage f s)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
s : Set γ
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ preimage (comp f g) s ↔ x✝ ∈ preimage g (preimage f s)
[PROOFSTEP]
simp_rw [mem_preimage, comp_apply, Part.mem_bind_iff, ← exists_and_right, ← exists_and_left]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
s : Set γ
x✝ : α
⊢ (∃ y x, y ∈ s ∧ x ∈ g x✝ ∧ y ∈ f x) ↔ ∃ y x, (x ∈ s ∧ x ∈ f y) ∧ y ∈ g x✝
[PROOFSTEP]
rw [exists_comm]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
s : Set γ
x✝ : α
⊢ (∃ b a, a ∈ s ∧ b ∈ g x✝ ∧ a ∈ f b) ↔ ∃ y x, (x ∈ s ∧ x ∈ f y) ∧ y ∈ g x✝
[PROOFSTEP]
simp_rw [and_assoc, and_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
⊢ Part.bind a (comp f g) = Part.bind (Part.bind a g) f
[PROOFSTEP]
ext c
[GOAL]
case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ
⊢ c ∈ Part.bind a (comp f g) ↔ c ∈ Part.bind (Part.bind a g) f
[PROOFSTEP]
simp_rw [Part.mem_bind_iff, comp_apply, Part.mem_bind_iff, ← exists_and_right, ← exists_and_left]
[GOAL]
case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ
⊢ (∃ a_1 x, a_1 ∈ a ∧ x ∈ g a_1 ∧ c ∈ f x) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1
[PROOFSTEP]
rw [exists_comm]
[GOAL]
case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ
⊢ (∃ b a_1, a_1 ∈ a ∧ b ∈ g a_1 ∧ c ∈ f b) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1
[PROOFSTEP]
simp_rw [and_assoc]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : γ →. δ
g : β →. γ
h : α →. β
x✝¹ : α
x✝ : δ
⊢ x✝ ∈ comp (comp f g) h x✝¹ ↔ x✝ ∈ comp f (comp g h) x✝¹
[PROOFSTEP]
simp only [comp_apply, Part.bind_comp]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
g : β → γ
f : α → β
x✝¹ : α
x✝ : γ
⊢ x✝ ∈ ↑(g ∘ f) x✝¹ ↔ x✝ ∈ comp (↑g) (↑f) x✝¹
[PROOFSTEP]
simp only [coe_val, comp_apply, Function.comp, Part.bind_some]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
g : α →. γ
x : α
y : β × γ
⊢ y ∈ prodLift f g x ↔ y.fst ∈ f x ∧ y.snd ∈ g x
[PROOFSTEP]
trans ∃ hp hq, (f x).get hp = y.1 ∧ (g x).get hq = y.2
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
g : α →. γ
x : α
y : β × γ
⊢ y ∈ prodLift f g x ↔ ∃ hp hq, Part.get (f x) hp = y.fst ∧ Part.get (g x) hq = y.snd
[PROOFSTEP]
simp only [prodLift, Part.mem_mk_iff, And.exists, Prod.ext_iff]
  -- Porting note: was just `[exists_and_left, exists_and_right]`
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
g : α →. γ
x : α
y : β × γ
⊢ (∃ hp hq, Part.get (f x) hp = y.fst ∧ Part.get (g x) hq = y.snd) ↔ y.fst ∈ f x ∧ y.snd ∈ g x
[PROOFSTEP]
simp only [exists_and_left, exists_and_right, (· ∈ ·), Part.Mem]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α →. γ
g : β →. δ
x : α × β
y : γ × δ
⊢ y ∈ prodMap f g x ↔ y.fst ∈ f x.fst ∧ y.snd ∈ g x.snd
[PROOFSTEP]
trans ∃ hp hq, (f x.1).get hp = y.1 ∧ (g x.2).get hq = y.2
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α →. γ
g : β →. δ
x : α × β
y : γ × δ
⊢ y ∈ prodMap f g x ↔ ∃ hp hq, Part.get (f x.fst) hp = y.fst ∧ Part.get (g x.snd) hq = y.snd
[PROOFSTEP]
simp only [prodMap, Part.mem_mk_iff, And.exists, Prod.ext_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α →. γ
g : β →. δ
x : α × β
y : γ × δ
⊢ (∃ hp hq, Part.get (f x.fst) hp = y.fst ∧ Part.get (g x.snd) hq = y.snd) ↔ y.fst ∈ f x.fst ∧ y.snd ∈ g x.snd
[PROOFSTEP]
simp only [exists_and_left, exists_and_right, (· ∈ ·), Part.Mem]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α →. γ
g : β →. δ
a : α × β
⊢ ∀ (b : γ × δ), b ∈ prodLift (comp f ↑Prod.fst) (comp g ↑Prod.snd) a ↔ b ∈ prodMap f g a
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x✝¹ x✝ : α × β
⊢ x✝ ∈ prodMap (PFun.id α) (PFun.id β) x✝¹ ↔ x✝ ∈ PFun.id (α × β) x✝¹
[PROOFSTEP]
simp [eq_comm]


[GOAL]
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
⊢ (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map f ≫
      (fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) N =
    (fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) M ≫
      (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map f
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case w
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj M)
⊢ ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map f ≫
          (fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) N)
      x✝ =
    ↑((fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) M ≫
          (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map f)
      x✝
[PROOFSTEP]
exact (f.map_smul _ _).symm
[GOAL]
R : Type u
inst✝ : Ring R
⊢ Function.LeftInverse (fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) fun r =>
    NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)
[PROOFSTEP]
intro r
[GOAL]
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
⊢ (fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1)
      ((fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) r) =
    r
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u
inst✝ : Ring R
⊢ Function.RightInverse (fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) fun r =>
    NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)
[PROOFSTEP]
intro φ
[GOAL]
R : Type u
inst✝ : Ring R
φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))
⊢ (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
    φ
[PROOFSTEP]
apply NatTrans.ext
[GOAL]
case app
R : Type u
inst✝ : Ring R
φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))
⊢ ((fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
        ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ)).app =
    φ.app
[PROOFSTEP]
ext M (x : M)
[GOAL]
case app.h.w
R : Type u
inst✝ : Ring R
φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))
M : ModuleCat R
x : ↑M
⊢ ↑(NatTrans.app
          ((fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
            ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ))
          M)
      x =
    ↑(NatTrans.app φ M) x
[PROOFSTEP]
have w :=
  congr_fun ((forget _).congr_map (φ.naturality (ModuleCat.asHomRight (LinearMap.toSpanSingleton R M x)))) (1 : R)
[GOAL]
case app.h.w
R : Type u
inst✝ : Ring R
φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))
M : ModuleCat R
x : ↑M
w :
  (forget AddCommGroupCat).map
      ((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map
          (ModuleCat.asHomRight (LinearMap.toSpanSingleton R (↑M) x)) ≫
        NatTrans.app φ M)
      1 =
    (forget AddCommGroupCat).map
      (NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R) ≫
        (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map
          (ModuleCat.asHomRight (LinearMap.toSpanSingleton R (↑M) x)))
      1
⊢ ↑(NatTrans.app
          ((fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
            ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ))
          M)
      x =
    ↑(NatTrans.app φ M) x
[PROOFSTEP]
exact w.symm.trans (congr_arg (φ.app M) (one_smul R x))
[GOAL]
R : Type u
inst✝ : Ring R
⊢ ∀ (x y : R),
    Equiv.toFun
        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
          right_inv :=
            (_ :
              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                  φ) }
        (x * y) =
      Equiv.toFun
          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
            right_inv :=
              (_ :
                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                    φ) }
          x *
        Equiv.toFun
          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
            right_inv :=
              (_ :
                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                    φ) }
          y
[PROOFSTEP]
intros
[GOAL]
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝ y✝ : R
⊢ Equiv.toFun
      { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
        invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
        right_inv :=
          (_ :
            ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
              (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                  ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                φ) }
      (x✝ * y✝) =
    Equiv.toFun
        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
          right_inv :=
            (_ :
              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                  φ) }
        x✝ *
      Equiv.toFun
        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
          right_inv :=
            (_ :
              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                  φ) }
        y✝
[PROOFSTEP]
apply NatTrans.ext
[GOAL]
case app
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝ y✝ : R
⊢ (Equiv.toFun
        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
          right_inv :=
            (_ :
              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                  φ) }
        (x✝ * y✝)).app =
    (Equiv.toFun
          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
            right_inv :=
              (_ :
                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                    φ) }
          x✝ *
        Equiv.toFun
          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
            right_inv :=
              (_ :
                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                    φ) }
          y✝).app
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case app.h.w
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝² y✝ : R
x✝¹ : ModuleCat R
x✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)
⊢ ↑(NatTrans.app
          (Equiv.toFun
            { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
              invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
              right_inv :=
                (_ :
                  ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                    (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                        ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                      φ) }
            (x✝² * y✝))
          x✝¹)
      x✝ =
    ↑(NatTrans.app
          (Equiv.toFun
              { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
                invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
                right_inv :=
                  (_ :
                    ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                      (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                          ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                        φ) }
              x✝² *
            Equiv.toFun
              { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
                invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
                right_inv :=
                  (_ :
                    ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                      (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                          ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                        φ) }
              y✝)
          x✝¹)
      x✝
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case app.h.w
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝² y✝ : R
x✝¹ : ModuleCat R
x✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)
⊢ (x✝² * y✝) • x✝ =
    ↑(NatTrans.app
          ((NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) x✝²)) *
            NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) y✝))
          x✝¹)
      x✝
[PROOFSTEP]
simp only [AddCommGroupCat.ofHom_apply, DistribMulAction.toAddMonoidHom_apply, mul_smul]
[GOAL]
case app.h.w
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝² y✝ : R
x✝¹ : ModuleCat R
x✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)
⊢ x✝² • y✝ • x✝ =
    ↑(NatTrans.app
          ((NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) x✝²)) *
            NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) y✝))
          x✝¹)
      x✝
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u
inst✝ : Ring R
⊢ ∀ (x y : R),
    Equiv.toFun
        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
          right_inv :=
            (_ :
              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                  φ) }
        (x + y) =
      Equiv.toFun
          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
            right_inv :=
              (_ :
                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                    φ) }
          x +
        Equiv.toFun
          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
            right_inv :=
              (_ :
                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                    φ) }
          y
[PROOFSTEP]
intros
[GOAL]
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝ y✝ : R
⊢ Equiv.toFun
      { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
        invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
        right_inv :=
          (_ :
            ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
              (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                  ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                φ) }
      (x✝ + y✝) =
    Equiv.toFun
        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
          right_inv :=
            (_ :
              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                  φ) }
        x✝ +
      Equiv.toFun
        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
          right_inv :=
            (_ :
              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                  φ) }
        y✝
[PROOFSTEP]
apply NatTrans.ext
[GOAL]
case app
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝ y✝ : R
⊢ (Equiv.toFun
        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
          right_inv :=
            (_ :
              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                  φ) }
        (x✝ + y✝)).app =
    (Equiv.toFun
          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
            right_inv :=
              (_ :
                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                    φ) }
          x✝ +
        Equiv.toFun
          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
            right_inv :=
              (_ :
                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                    φ) }
          y✝).app
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case app.h.w
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝² y✝ : R
x✝¹ : ModuleCat R
x✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)
⊢ ↑(NatTrans.app
          (Equiv.toFun
            { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
              invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
              right_inv :=
                (_ :
                  ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                    (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                        ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                      φ) }
            (x✝² + y✝))
          x✝¹)
      x✝ =
    ↑(NatTrans.app
          (Equiv.toFun
              { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
                invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
                right_inv :=
                  (_ :
                    ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                      (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                          ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                        φ) }
              x✝² +
            Equiv.toFun
              { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),
                invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),
                right_inv :=
                  (_ :
                    ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),
                      (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))
                          ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =
                        φ) }
              y✝)
          x✝¹)
      x✝
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case app.h.w
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝² y✝ : R
x✝¹ : ModuleCat R
x✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)
⊢ (x✝² + y✝) • x✝ =
    ↑(NatTrans.app
          ((NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) x✝²)) +
            NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) y✝))
          x✝¹)
      x✝
[PROOFSTEP]
simp only [AddCommGroupCat.ofHom_apply, DistribMulAction.toAddMonoidHom_apply, add_smul]
[GOAL]
case app.h.w
R : Type u
inst✝ : Ring R
x✝² y✝ : R
x✝¹ : ModuleCat R
x✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)
⊢ x✝² • x✝ + y✝ • x✝ =
    ↑(NatTrans.app
          ((NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) x✝²)) +
            NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) y✝))
          x✝¹)
      x✝
[PROOFSTEP]
rfl