[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : KernelFork f
⊢ Fork.ι s ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
erw [Fork.condition, HasZeroMorphisms.comp_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : KernelFork f
⊢ NatTrans.app s.π one = 0
[PROOFSTEP]
simp [Fork.app_one_eq_ι_comp_right]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
ι : Z ⟶ X
w : ι ≫ f = 0
⊢ ι ≫ f = ι ≫ 0
[PROOFSTEP]
rw [w, HasZeroMorphisms.comp_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : Fork f 0
⊢ ∀ (j : WalkingParallelPair),
    NatTrans.app s.π j = (Iso.refl s.pt).hom ≫ NatTrans.app (Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)).π j
[PROOFSTEP]
rintro ⟨j⟩
[GOAL]
case zero
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : Fork f 0
⊢ NatTrans.app s.π zero =
    (Iso.refl s.pt).hom ≫ NatTrans.app (Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)).π zero
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : Fork f 0
⊢ NatTrans.app s.π one =
    (Iso.refl s.pt).hom ≫ NatTrans.app (Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)).π one
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : C
ι ι' : P ⟶ X
w : ι ≫ f = 0
h : ι = ι'
⊢ ι' ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
rw [← h, w]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : WalkingParallelPair} (f_1 : X_1 ⟶ Y_1),
    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app Y_1).hom = (app X_1).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i⟩ ⟨j⟩
[GOAL]
case zero.zero
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
⊢ ∀ (f_1 : zero ⟶ zero),
    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app zero).hom = (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1
[PROOFSTEP]
intro g
[GOAL]
case zero.one
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
⊢ ∀ (f_1 : zero ⟶ one),
    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app one).hom = (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1
[PROOFSTEP]
intro g
[GOAL]
case one.zero
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
⊢ ∀ (f_1 : one ⟶ zero),
    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app zero).hom = (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1
[PROOFSTEP]
intro g
[GOAL]
case one.one
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
⊢ ∀ (f_1 : one ⟶ one),
    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app one).hom = (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1
[PROOFSTEP]
intro g
[GOAL]
case zero.zero
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
g : zero ⟶ zero
⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map g ≫ (app zero).hom = (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map g
[PROOFSTEP]
cases g
[GOAL]
case zero.one
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
g : zero ⟶ one
⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map g ≫ (app one).hom = (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map g
[PROOFSTEP]
cases g
[GOAL]
case one.zero
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
g : one ⟶ zero
⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map g ≫ (app zero).hom = (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map g
[PROOFSTEP]
cases g
[GOAL]
case one.one
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
g : one ⟶ one
⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map g ≫ (app one).hom = (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map g
[PROOFSTEP]
cases g
[GOAL]
case zero.zero.id
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map (WalkingParallelPairHom.id zero) ≫ (app zero).hom =
    (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map (WalkingParallelPairHom.id zero)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case zero.one.left
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map WalkingParallelPairHom.left ≫ (app one).hom =
    (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map WalkingParallelPairHom.left
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case zero.one.right
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map WalkingParallelPairHom.right ≫ (app one).hom =
    (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map WalkingParallelPairHom.right
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case one.one.id
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u'
inst✝² : Category.{v, u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsEquivalence F
app : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=
  fun j =>
    match j with
    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)
    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)
⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map (WalkingParallelPairHom.id one) ≫ (app one).hom =
    (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map (WalkingParallelPairHom.id one)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
t : KernelFork f
lift : (s : KernelFork f) → s.pt ⟶ t.pt
fac : ∀ (s : KernelFork f), lift s ≫ Fork.ι t = Fork.ι s
uniq : ∀ (s : KernelFork f) (m : s.pt ⟶ t.pt), m ≫ Fork.ι t = Fork.ι s → m = lift s
s : Cone (parallelPair f 0)
j : WalkingParallelPair
⊢ lift s ≫ NatTrans.app t.π j = NatTrans.app s.π j
[PROOFSTEP]
cases j
[GOAL]
case zero
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
t : KernelFork f
lift : (s : KernelFork f) → s.pt ⟶ t.pt
fac : ∀ (s : KernelFork f), lift s ≫ Fork.ι t = Fork.ι s
uniq : ∀ (s : KernelFork f) (m : s.pt ⟶ t.pt), m ≫ Fork.ι t = Fork.ι s → m = lift s
s : Cone (parallelPair f 0)
⊢ lift s ≫ NatTrans.app t.π zero = NatTrans.app s.π zero
[PROOFSTEP]
exact fac s
[GOAL]
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
t : KernelFork f
lift : (s : KernelFork f) → s.pt ⟶ t.pt
fac : ∀ (s : KernelFork f), lift s ≫ Fork.ι t = Fork.ι s
uniq : ∀ (s : KernelFork f) (m : s.pt ⟶ t.pt), m ≫ Fork.ι t = Fork.ι s → m = lift s
s : Cone (parallelPair f 0)
⊢ lift s ≫ NatTrans.app t.π one = NatTrans.app s.π one
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
⊢ Fork.ι c ≫ h = 0
[PROOFSTEP]
simp [hh]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : Fork h 0
⊢ Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0
[PROOFSTEP]
rw [← cancel_mono g]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : Fork h 0
⊢ (Fork.ι s ≫ f) ≫ g = (Fork.ι s ≫ 0) ≫ g
[PROOFSTEP]
simp [← hh, s.condition]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : Fork h 0
s' : KernelFork f := Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)
l : { l // l ≫ Fork.ι c = Fork.ι s' } := KernelFork.IsLimit.lift' i (Fork.ι s') (_ : Fork.ι s' ≫ f = 0)
m✝ :
  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj zero ⟶
    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)).pt).obj zero
hm : m✝ ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)) = Fork.ι s
⊢ m✝ = ↑l
[PROOFSTEP]
apply Fork.IsLimit.hom_ext i
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : Fork h 0
s' : KernelFork f := Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)
l : { l // l ≫ Fork.ι c = Fork.ι s' } := KernelFork.IsLimit.lift' i (Fork.ι s') (_ : Fork.ι s' ≫ f = 0)
m✝ :
  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj zero ⟶
    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)).pt).obj zero
hm : m✝ ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)) = Fork.ι s
⊢ m✝ ≫ Fork.ι c = ↑l ≫ Fork.ι c
[PROOFSTEP]
rw [Fork.ι_ofι] at hm
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : Fork h 0
s' : KernelFork f := Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)
l : { l // l ≫ Fork.ι c = Fork.ι s' } := KernelFork.IsLimit.lift' i (Fork.ι s') (_ : Fork.ι s' ≫ f = 0)
m✝ :
  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj zero ⟶
    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)).pt).obj zero
hm : m✝ ≫ Fork.ι c = Fork.ι s
⊢ m✝ ≫ Fork.ι c = ↑l ≫ Fork.ι c
[PROOFSTEP]
rw [hm]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : Fork h 0
s' : KernelFork f := Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)
l : { l // l ≫ Fork.ι c = Fork.ι s' } := KernelFork.IsLimit.lift' i (Fork.ι s') (_ : Fork.ι s' ≫ f = 0)
m✝ :
  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj zero ⟶
    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)).pt).obj zero
hm : m✝ ≫ Fork.ι c = Fork.ι s
⊢ Fork.ι s = ↑l ≫ Fork.ι c
[PROOFSTEP]
exact l.2.symm
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : KernelFork h
⊢ Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0
[PROOFSTEP]
rw [← cancel_mono g, Category.assoc, ← hh]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : KernelFork h
⊢ Fork.ι s ≫ h = (Fork.ι s ≫ 0) ≫ g
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W : C
g : Y ⟶ W
h : X ⟶ W
c : KernelFork h
i : IsLimit c
hf : Fork.ι c ≫ f = 0
hfg : f ≫ g = h
s : Fork f 0
⊢ Fork.ι s ≫ h = 0
[PROOFSTEP]
simp [← hfg]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W : C
g : Y ⟶ W
h : X ⟶ W
c : KernelFork h
i : IsLimit c
hf : Fork.ι c ≫ f = 0
hfg : f ≫ g = h
s : Fork f 0
⊢ (fun s => IsLimit.lift i (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ h = 0))) s ≫
      Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf) =
    Fork.ι s
[PROOFSTEP]
simp only [KernelFork.ι_ofι, Fork.IsLimit.lift_ι]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W : C
g : Y ⟶ W
h✝ : X ⟶ W
c : KernelFork h✝
i : IsLimit c
hf : Fork.ι c ≫ f = 0
hfg : f ≫ g = h✝
s : Fork f 0
m : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf).pt
h : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf) = Fork.ι s
⊢ m = (fun s => IsLimit.lift i (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ h✝ = 0))) s
[PROOFSTEP]
apply Fork.IsLimit.hom_ext i
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W : C
g : Y ⟶ W
h✝ : X ⟶ W
c : KernelFork h✝
i : IsLimit c
hf : Fork.ι c ≫ f = 0
hfg : f ≫ g = h✝
s : Fork f 0
m : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf).pt
h : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf) = Fork.ι s
⊢ m ≫ Fork.ι c = (fun s => IsLimit.lift i (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ h✝ = 0))) s ≫ Fork.ι c
[PROOFSTEP]
simpa using h
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : f = 0
⊢ 𝟙 X ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
rw [hf, comp_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : f = 0
W'✝ : C
x✝² : W'✝ ⟶ X
x✝¹ : x✝² ≫ f = 0
x✝ : W'✝ ⟶ X
hb : x✝ ≫ 𝟙 X = x✝²
⊢ x✝ = (fun {W'} x x_1 => x) x✝² x✝¹
[PROOFSTEP]
simp only [← hb, Category.comp_id]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hf : Mono f
h : IsZero c.pt
s : KernelFork f
⊢ (fun s => 0) s ≫ Fork.ι c = Fork.ι s
[PROOFSTEP]
rw [zero_comp, ← cancel_mono f, zero_comp, s.condition]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
⊢ IsIso (Fork.ι c)
[PROOFSTEP]
let e : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (KernelFork.IsLimit.ofId (f : X ⟶ Y) hf)
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
⊢ IsIso (Fork.ι c)
[PROOFSTEP]
have eq : e.inv ≫ c.ι = 𝟙 X := Fork.IsLimit.lift_ι hc
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
eq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X
⊢ IsIso (Fork.ι c)
[PROOFSTEP]
haveI : IsIso (e.inv ≫ c.ι) := by
  rw [eq]
  infer_instance
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
eq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X
⊢ IsIso (e.inv ≫ Fork.ι c)
[PROOFSTEP]
rw [eq]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
eq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X
⊢ IsIso (𝟙 X)
[PROOFSTEP]
infer_instance
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
eq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X
this : IsIso (e.inv ≫ Fork.ι c)
⊢ IsIso (Fork.ι c)
[PROOFSTEP]
exact IsIso.of_isIso_comp_left e.inv c.ι
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
⊢ (Iso.refl (limit.cone (parallelPair f 0)).pt).hom ≫
      Fork.ι (Fork.ofι (kernel.ι f) (_ : kernel.ι f ≫ f = kernel.ι f ≫ 0)) =
    Fork.ι (limit.cone (parallelPair f 0))
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
W : C
h : 0 ≫ f = 0
⊢ lift f 0 h = 0
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
W : C
h : 0 ≫ f = 0
⊢ lift f 0 h ≫ equalizer.ι f 0 = 0 ≫ equalizer.ι f 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
W : C
k : W ⟶ X
h : k ≫ f = 0
inst✝ : Mono k
Z : C
g g' : Z ⟶ W
w : g ≫ lift f k h = g' ≫ lift f k h
⊢ g = g'
[PROOFSTEP]
replace w := w =≫ kernel.ι f
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
W : C
k : W ⟶ X
h : k ≫ f = 0
inst✝ : Mono k
Z : C
g g' : Z ⟶ W
w : (g ≫ lift f k h) ≫ ι f = (g' ≫ lift f k h) ≫ ι f
⊢ g = g'
[PROOFSTEP]
simp only [Category.assoc, kernel.lift_ι] at w
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
W : C
k : W ⟶ X
h : k ≫ f = 0
inst✝ : Mono k
Z : C
g g' : Z ⟶ W
w : g ≫ k = g' ≫ k
⊢ g = g'
[PROOFSTEP]
exact (cancel_mono k).1 w
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasKernel f'
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
w : f ≫ q = p ≫ f'
⊢ (ι f ≫ p) ≫ f' = 0
[PROOFSTEP]
simp [← w]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z X' Y' Z' : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasKernel g
w : f ≫ g = 0
f' : X' ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ Z'
inst✝ : HasKernel g'
w' : f' ≫ g' = 0
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
r : Z ⟶ Z'
h₁ : f ≫ q = p ≫ f'
h₂ : g ≫ r = q ≫ g'
⊢ lift g f w ≫ map g g' q r h₂ = p ≫ lift g' f' w'
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z X' Y' Z' : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasKernel g
w : f ≫ g = 0
f' : X' ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ Z'
inst✝ : HasKernel g'
w' : f' ≫ g' = 0
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
r : Z ⟶ Z'
h₁ : f ≫ q = p ≫ f'
h₂ : g ≫ r = q ≫ g'
⊢ (lift g f w ≫ map g g' q r h₂) ≫ equalizer.ι g' 0 = (p ≫ lift g' f' w') ≫ equalizer.ι g' 0
[PROOFSTEP]
simp [h₁]
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasKernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ f' ≫ q.inv = p.inv ≫ f
[PROOFSTEP]
refine' (cancel_mono q.hom).1 _
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasKernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ (f' ≫ q.inv) ≫ q.hom = (p.inv ≫ f) ≫ q.hom
[PROOFSTEP]
simp [w]
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : Epi (kernel.ι f)
⊢ kernel.ι f ≫ f = kernel.ι f ≫ 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
⊢ 𝟙 X ≫ 0 = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
⊢ kernelZeroIsoSource.inv = kernel.lift 0 (𝟙 X) (_ : 𝟙 X ≫ 0 = 0)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
⊢ kernelZeroIsoSource.inv ≫ equalizer.ι 0 0 = kernel.lift 0 (𝟙 X) (_ : 𝟙 X ≫ 0 = 0) ≫ equalizer.ι 0 0
[PROOFSTEP]
simp [kernelZeroIsoSource]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel g
h : f = g
⊢ parallelPair f 0 ≅ parallelPair g 0
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
h : f = f
⊢ kernelIsoOfEq h = Iso.refl (kernel f)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case w.h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
h : f = f
⊢ (kernelIsoOfEq h).hom ≫ equalizer.ι f 0 = (Iso.refl (kernel f)).hom ≫ equalizer.ι f 0
[PROOFSTEP]
simp [kernelIsoOfEq]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel g
h : f = g
⊢ (kernelIsoOfEq h).hom ≫ kernel.ι g = kernel.ι f
[PROOFSTEP]
cases h
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
f : X ⟶ Y
inst✝¹ inst✝ : HasKernel f
⊢ (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom ≫ kernel.ι f = kernel.ι f
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel g
h : f = g
⊢ (kernelIsoOfEq h).inv ≫ kernel.ι f = kernel.ι g
[PROOFSTEP]
cases h
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
f : X ⟶ Y
inst✝¹ inst✝ : HasKernel f
⊢ (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).inv ≫ kernel.ι f = kernel.ι f
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel g
h : f = g
e : Z ⟶ X
he : e ≫ f = 0
⊢ e ≫ g = 0
[PROOFSTEP]
simp [← h, he]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel g
h : f = g
e : Z ⟶ X
he : e ≫ f = 0
⊢ kernel.lift f e he ≫ (kernelIsoOfEq h).hom = kernel.lift g e (_ : e ≫ g = 0)
[PROOFSTEP]
cases h
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
e : Z ⟶ X
he : e ≫ f = 0
inst✝ : HasKernel f
⊢ kernel.lift f e he ≫ (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom = kernel.lift f e (_ : e ≫ f = 0)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel g
h : f = g
e : Z ⟶ X
he : e ≫ g = 0
⊢ e ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
simp [h, he]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel g
h : f = g
e : Z ⟶ X
he : e ≫ g = 0
⊢ kernel.lift g e he ≫ (kernelIsoOfEq h).inv = kernel.lift f e (_ : e ≫ f = 0)
[PROOFSTEP]
cases h
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f✝
Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
e : Z ⟶ X
inst✝ : HasKernel f
he : e ≫ f = 0
⊢ kernel.lift f e he ≫ (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).inv = kernel.lift f e (_ : e ≫ f = 0)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝³ : HasKernel f✝
f g h : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel h
w₁ : f = g
w₂ : g = h
⊢ kernelIsoOfEq w₁ ≪≫ kernelIsoOfEq w₂ = kernelIsoOfEq (_ : f = h)
[PROOFSTEP]
cases w₁
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝³ : HasKernel f✝
f h : X ⟶ Y
inst✝² : HasKernel f
inst✝¹ : HasKernel h
inst✝ : HasKernel f
w₂ : f = h
⊢ kernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ kernelIsoOfEq w₂ = kernelIsoOfEq (_ : f = h)
[PROOFSTEP]
cases w₂
[GOAL]
case refl.refl
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝³ : HasKernel f✝
f : X ⟶ Y
inst✝² inst✝¹ inst✝ : HasKernel f
⊢ kernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ kernelIsoOfEq (_ : f = f) = kernelIsoOfEq (_ : f = f)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case refl.refl.w.h
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝³ : HasKernel f✝
f : X ⟶ Y
inst✝² inst✝¹ inst✝ : HasKernel f
⊢ (kernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ kernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom ≫ equalizer.ι f 0 =
    (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom ≫ equalizer.ι f 0
[PROOFSTEP]
simp [kernelIsoOfEq]
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
w : f ≠ 0
I : IsIso (kernel.ι f)
⊢ Epi (kernel.ι f)
[PROOFSTEP]
skip
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
w : f ≠ 0
I : IsIso (kernel.ι f)
⊢ Epi (kernel.ι f)
[PROOFSTEP]
infer_instance
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : Mono g
⊢ kernel.ι (f ≫ g) ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
rw [← cancel_mono g]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : Mono g
⊢ (kernel.ι (f ≫ g) ≫ f) ≫ g = 0 ≫ g
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : Mono g
⊢ kernel.ι f ≫ f ≫ g = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : HasKernel g
⊢ (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : HasKernel g
s : KernelFork (f ≫ g)
⊢ (Fork.ι s ≫ f) ≫ g = 0
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : HasKernel g
⊢ ∀ (s : KernelFork (f ≫ g)),
    (fun s => kernel.lift g (Fork.ι s ≫ f) (_ : (Fork.ι s ≫ f) ≫ g = 0)) s ≫
        Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)) =
      Fork.ι s
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : HasKernel g
s : KernelFork (f ≫ g)
m : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)).pt
w : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)) = Fork.ι s
⊢ m = (fun s => kernel.lift g (Fork.ι s ≫ f) (_ : (Fork.ι s ≫ f) ≫ g = 0)) s
[PROOFSTEP]
simp_rw [← w]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : HasKernel g
s : KernelFork (f ≫ g)
m : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)).pt
w : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)) = Fork.ι s
⊢ m =
    kernel.lift g ((m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0))) ≫ f)
      (_ : ((m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0))) ≫ f) ≫ g = 0)
[PROOFSTEP]
apply equalizer.hom_ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : HasKernel g
s : KernelFork (f ≫ g)
m : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)).pt
w : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)) = Fork.ι s
⊢ m ≫ equalizer.ι g 0 =
    kernel.lift g ((m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0))) ≫ f)
        (_ : ((m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0))) ≫ f) ≫ g = 0) ≫
      equalizer.ι g 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : HasKernel g
⊢ (kernel.ι (f ≫ g) ≫ f) ≫ g = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : HasKernel g
⊢ (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : Mono f
s : Fork f 0
⊢ (fun s => 0) s ≫ Fork.ι (zeroKernelFork f) = Fork.ι s
[PROOFSTEP]
erw [zero_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : Mono f
s : Fork f 0
⊢ 0 = Fork.ι s
[PROOFSTEP]
refine (zero_of_comp_mono f ?_).symm
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : Mono f
s : Fork f 0
⊢ Fork.ι s ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
exact KernelFork.condition _
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ X), g ≫ f = 0 → g = 0
⊢ 0 ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ X), g ≫ f = 0 → g = 0
s : Fork f 0
⊢ (fun s => 0) s ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)) = Fork.ι s
[PROOFSTEP]
rw [hf _ _ (KernelFork.condition s), zero_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ X), g ≫ f = 0 → g = 0
s : Fork f 0
m : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)).pt
x✝ : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)) = Fork.ι s
⊢ m = (fun s => 0) s
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ X), g ≫ f = 0 → g = 0
s : Fork f 0
m : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)).pt
x✝ : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)) = Fork.ι s
⊢ m = 0
[PROOFSTEP]
apply HasZeroObject.to_zero_ext
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : X ⟶ Z
i : Z ≅ Y
h : l ≫ i.hom = f
s : KernelFork f
hs : IsLimit s
⊢ Fork.ι s ≫ l = 0
[PROOFSTEP]
simp [← i.comp_inv_eq.2 h.symm]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : X ⟶ Z
i : Z ≅ Y
h : l ≫ i.hom = f
s✝ : KernelFork f
hs : IsLimit s✝
s : Fork l 0
⊢ Fork.ι s ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
simp [← h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : X ⟶ Z
i : Z ≅ Y
h : l ≫ i.hom = f
s✝ : KernelFork f
hs : IsLimit s✝
s : Fork l 0
⊢ (fun s => IsLimit.lift hs (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = 0))) s ≫
      Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)) =
    Fork.ι s
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : X ⟶ Z
i : Z ≅ Y
h✝ : l ≫ i.hom = f
s✝ : KernelFork f
hs : IsLimit s✝
s : Fork l 0
m : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)).pt
h : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)) = Fork.ι s
⊢ m = (fun s => IsLimit.lift hs (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = 0))) s
[PROOFSTEP]
apply Fork.IsLimit.hom_ext hs
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : X ⟶ Z
i : Z ≅ Y
h✝ : l ≫ i.hom = f
s✝ : KernelFork f
hs : IsLimit s✝
s : Fork l 0
m : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)).pt
h : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)) = Fork.ι s
⊢ m ≫ Fork.ι s✝ = (fun s => IsLimit.lift hs (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = 0))) s ≫ Fork.ι s✝
[PROOFSTEP]
simpa using h
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
Z : C
l : X ⟶ Z
i : Z ≅ Y
h : l ≫ i.hom = f
⊢ ι f ≫ l = 0
[PROOFSTEP]
simp [← i.comp_inv_eq.2 h.symm]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ X
s : KernelFork f
hs : IsLimit s
i : Z ≅ s.pt
h : i.hom ≫ Fork.ι s = l
⊢ l ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
simp [← h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ X
s : KernelFork f
hs : IsLimit s
i : Z ≅ s.pt
h : i.hom ≫ Fork.ι s = l
j : WalkingParallelPair
⊢ NatTrans.app s.π j = i.symm.hom ≫ NatTrans.app (KernelFork.ofι l (_ : l ≫ f = 0)).π j
[PROOFSTEP]
cases j
[GOAL]
case zero
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ X
s : KernelFork f
hs : IsLimit s
i : Z ≅ s.pt
h : i.hom ≫ Fork.ι s = l
⊢ NatTrans.app s.π zero = i.symm.hom ≫ NatTrans.app (KernelFork.ofι l (_ : l ≫ f = 0)).π zero
[PROOFSTEP]
exact (Iso.eq_inv_comp i).2 h
[GOAL]
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ X
s : KernelFork f
hs : IsLimit s
i : Z ≅ s.pt
h : i.hom ≫ Fork.ι s = l
⊢ NatTrans.app s.π one = i.symm.hom ≫ NatTrans.app (KernelFork.ofι l (_ : l ≫ f = 0)).π one
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ X
s : KernelFork f
hs : IsLimit s
i : Z ≅ s.pt
h : i.hom ≫ Fork.ι s = l
⊢ NatTrans.app s.π one = i.inv ≫ l ≫ f
[PROOFSTEP]
rw [← h]
[GOAL]
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ X
s : KernelFork f
hs : IsLimit s
i : Z ≅ s.pt
h : i.hom ≫ Fork.ι s = l
⊢ NatTrans.app s.π one = i.inv ≫ (i.hom ≫ Fork.ι s) ≫ f
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
Z : C
l : Z ⟶ X
i : Z ≅ kernel f
h : i.hom ≫ ι f = l
⊢ l ≫ f = 0
[PROOFSTEP]
simp [← h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CokernelCofork f
⊢ f ≫ Cofork.π s = 0
[PROOFSTEP]
rw [Cofork.condition, zero_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CokernelCofork f
⊢ NatTrans.app s.ι zero = 0
[PROOFSTEP]
simp [Cofork.app_zero_eq_comp_π_right]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
π : Y ⟶ Z
w : f ≫ π = 0
⊢ f ≫ π = 0 ≫ π
[PROOFSTEP]
rw [w, zero_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : Cofork f 0
j : WalkingParallelPair
⊢ NatTrans.app s.ι j ≫ (Iso.refl s.pt).hom =
    NatTrans.app (Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)).ι j
[PROOFSTEP]
cases j
[GOAL]
case zero
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : Cofork f 0
⊢ NatTrans.app s.ι zero ≫ (Iso.refl s.pt).hom =
    NatTrans.app (Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)).ι zero
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : Cofork f 0
⊢ NatTrans.app s.ι one ≫ (Iso.refl s.pt).hom =
    NatTrans.app (Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)).ι one
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : C
π π' : Y ⟶ P
w : f ≫ π = 0
h : π = π'
⊢ f ≫ π' = 0
[PROOFSTEP]
rw [← h, w]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : C
π π' : Y ⟶ P
w : f ≫ π = 0
h : π = π'
j : WalkingParallelPair
⊢ NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π w).ι j ≫ (Iso.refl (CokernelCofork.ofπ π w).pt).hom =
    NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π' (_ : f ≫ π' = 0)).ι j
[PROOFSTEP]
cases j
[GOAL]
case zero
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : C
π π' : Y ⟶ P
w : f ≫ π = 0
h : π = π'
⊢ NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π w).ι zero ≫ (Iso.refl (CokernelCofork.ofπ π w).pt).hom =
    NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π' (_ : f ≫ π' = 0)).ι zero
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : C
π π' : Y ⟶ P
w : f ≫ π = 0
h : π = π'
⊢ NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π w).ι one ≫ (Iso.refl (CokernelCofork.ofπ π w).pt).hom =
    NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π' (_ : f ≫ π' = 0)).ι one
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
t : CokernelCofork f
desc : (s : CokernelCofork f) → t.pt ⟶ s.pt
fac : ∀ (s : CokernelCofork f), Cofork.π t ≫ desc s = Cofork.π s
uniq : ∀ (s : CokernelCofork f) (m : t.pt ⟶ s.pt), Cofork.π t ≫ m = Cofork.π s → m = desc s
s : Cocone (parallelPair f 0)
j : WalkingParallelPair
⊢ NatTrans.app t.ι j ≫ desc s = NatTrans.app s.ι j
[PROOFSTEP]
cases j
[GOAL]
case zero
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
t : CokernelCofork f
desc : (s : CokernelCofork f) → t.pt ⟶ s.pt
fac : ∀ (s : CokernelCofork f), Cofork.π t ≫ desc s = Cofork.π s
uniq : ∀ (s : CokernelCofork f) (m : t.pt ⟶ s.pt), Cofork.π t ≫ m = Cofork.π s → m = desc s
s : Cocone (parallelPair f 0)
⊢ NatTrans.app t.ι zero ≫ desc s = NatTrans.app s.ι zero
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
t : CokernelCofork f
desc : (s : CokernelCofork f) → t.pt ⟶ s.pt
fac : ∀ (s : CokernelCofork f), Cofork.π t ≫ desc s = Cofork.π s
uniq : ∀ (s : CokernelCofork f) (m : t.pt ⟶ s.pt), Cofork.π t ≫ m = Cofork.π s → m = desc s
s : Cocone (parallelPair f 0)
⊢ NatTrans.app t.ι one ≫ desc s = NatTrans.app s.ι one
[PROOFSTEP]
exact fac s
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
⊢ h ≫ Cofork.π c = 0
[PROOFSTEP]
rw [hh]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
⊢ (g ≫ f) ≫ Cofork.π c = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : Cofork h 0
⊢ f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s
[PROOFSTEP]
apply hg.left_cancellation
[GOAL]
case a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : Cofork h 0
⊢ g ≫ f ≫ Cofork.π s = g ≫ 0 ≫ Cofork.π s
[PROOFSTEP]
rw [← Category.assoc, ← hh, s.condition]
[GOAL]
case a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : Cofork h 0
⊢ 0 ≫ Cofork.π s = g ≫ 0 ≫ Cofork.π s
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : Cofork h 0
s' : CokernelCofork f := Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)
l : { l // Cofork.π c ≫ l = Cofork.π s' } := CokernelCofork.IsColimit.desc' i (Cofork.π s') (_ : f ≫ Cofork.π s' = 0)
m✝ :
  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)).pt).obj one ⟶
    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj one
hm : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)) ≫ m✝ = Cofork.π s
⊢ m✝ = ↑l
[PROOFSTEP]
apply Cofork.IsColimit.hom_ext i
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : Cofork h 0
s' : CokernelCofork f := Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)
l : { l // Cofork.π c ≫ l = Cofork.π s' } := CokernelCofork.IsColimit.desc' i (Cofork.π s') (_ : f ≫ Cofork.π s' = 0)
m✝ :
  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)).pt).obj one ⟶
    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj one
hm : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)) ≫ m✝ = Cofork.π s
⊢ Cofork.π c ≫ m✝ = Cofork.π c ≫ ↑l
[PROOFSTEP]
rw [Cofork.π_ofπ] at hm
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : Cofork h 0
s' : CokernelCofork f := Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)
l : { l // Cofork.π c ≫ l = Cofork.π s' } := CokernelCofork.IsColimit.desc' i (Cofork.π s') (_ : f ≫ Cofork.π s' = 0)
m✝ :
  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)).pt).obj one ⟶
    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj one
hm : Cofork.π c ≫ m✝ = Cofork.π s
⊢ Cofork.π c ≫ m✝ = Cofork.π c ≫ ↑l
[PROOFSTEP]
rw [hm]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : Cofork h 0
s' : CokernelCofork f := Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)
l : { l // Cofork.π c ≫ l = Cofork.π s' } := CokernelCofork.IsColimit.desc' i (Cofork.π s') (_ : f ≫ Cofork.π s' = 0)
m✝ :
  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)).pt).obj one ⟶
    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj one
hm : Cofork.π c ≫ m✝ = Cofork.π s
⊢ Cofork.π s = Cofork.π c ≫ ↑l
[PROOFSTEP]
exact l.2.symm
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : CokernelCofork h
⊢ f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s
[PROOFSTEP]
rw [← cancel_epi g, ← Category.assoc, ← hh]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : CokernelCofork h
⊢ h ≫ Cofork.π s = g ≫ 0 ≫ Cofork.π s
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W : C
g : W ⟶ X
h : W ⟶ Y
c : CokernelCofork h
i : IsColimit c
hf : f ≫ Cofork.π c = 0
hfg : g ≫ f = h
s : Cofork f 0
⊢ h ≫ Cofork.π s = 0
[PROOFSTEP]
simp [← hfg]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W : C
g : W ⟶ X
h : W ⟶ Y
c : CokernelCofork h
i : IsColimit c
hf : f ≫ Cofork.π c = 0
hfg : g ≫ f = h
s : Cofork f 0
⊢ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf) ≫
      (fun s => IsColimit.desc i (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : h ≫ Cofork.π s = 0))) s =
    Cofork.π s
[PROOFSTEP]
simp only [CokernelCofork.π_ofπ, Cofork.IsColimit.π_desc]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W : C
g : W ⟶ X
h✝ : W ⟶ Y
c : CokernelCofork h✝
i : IsColimit c
hf : f ≫ Cofork.π c = 0
hfg : g ≫ f = h✝
s : Cofork f 0
m : (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf).pt ⟶ s.pt
h : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf) ≫ m = Cofork.π s
⊢ m = (fun s => IsColimit.desc i (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : h✝ ≫ Cofork.π s = 0))) s
[PROOFSTEP]
apply Cofork.IsColimit.hom_ext i
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W : C
g : W ⟶ X
h✝ : W ⟶ Y
c : CokernelCofork h✝
i : IsColimit c
hf : f ≫ Cofork.π c = 0
hfg : g ≫ f = h✝
s : Cofork f 0
m : (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf).pt ⟶ s.pt
h : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf) ≫ m = Cofork.π s
⊢ Cofork.π c ≫ m =
    Cofork.π c ≫ (fun s => IsColimit.desc i (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : h✝ ≫ Cofork.π s = 0))) s
[PROOFSTEP]
simpa using h
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : f = 0
⊢ f ≫ 𝟙 Y = 0
[PROOFSTEP]
rw [hf, zero_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : f = 0
Z'✝ : C
x✝² : Y ⟶ Z'✝
x✝¹ : f ≫ x✝² = 0
x✝ : Y ⟶ Z'✝
hb : 𝟙 Y ≫ x✝ = x✝²
⊢ x✝ = (fun {Z'} x x_1 => x) x✝² x✝¹
[PROOFSTEP]
simp only [← hb, Category.id_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hf : Epi f
h : IsZero c.pt
s : CokernelCofork f
⊢ Cofork.π c ≫ (fun s => 0) s = Cofork.π s
[PROOFSTEP]
rw [comp_zero, ← cancel_epi f, comp_zero, s.condition]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
⊢ IsIso (Cofork.π c)
[PROOFSTEP]
let e : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (CokernelCofork.IsColimit.ofId (f : X ⟶ Y) hf)
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
⊢ IsIso (Cofork.π c)
[PROOFSTEP]
have eq : c.π ≫ e.hom = 𝟙 Y := Cofork.IsColimit.π_desc hc
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y
⊢ IsIso (Cofork.π c)
[PROOFSTEP]
haveI : IsIso (c.π ≫ e.hom) := by
  rw [eq]
  dsimp
  infer_instance
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y
⊢ IsIso (Cofork.π c ≫ e.hom)
[PROOFSTEP]
rw [eq]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y
⊢ IsIso (𝟙 Y)
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y
⊢ IsIso (𝟙 Y)
[PROOFSTEP]
infer_instance
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)
eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y
this : IsIso (Cofork.π c ≫ e.hom)
⊢ IsIso (Cofork.π c)
[PROOFSTEP]
exact IsIso.of_isIso_comp_right c.π e.hom
[GOAL]
C✝ : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C✝
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C✝
X✝ Y✝ : C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasCokernel f✝
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : f ≫ g = 0
inst✝ : HasCokernel f
⊢ colimit.ι (parallelPair f 0) zero ≫ cokernel.desc f g h = 0
[PROOFSTEP]
rw [(colimit.w (parallelPair f 0) WalkingParallelPairHom.left).symm]
[GOAL]
C✝ : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C✝
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C✝
X✝ Y✝ : C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasCokernel f✝
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : f ≫ g = 0
inst✝ : HasCokernel f
⊢ ((parallelPair f 0).map WalkingParallelPairHom.left ≫ colimit.ι (parallelPair f 0) one) ≫ cokernel.desc f g h = 0
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
W : C
h : f ≫ 0 = 0
⊢ desc f 0 h = 0
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
W : C
h : f ≫ 0 = 0
⊢ coequalizer.π f 0 ≫ desc f 0 h = coequalizer.π f 0 ≫ 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
W : C
k : Y ⟶ W
h : f ≫ k = 0
inst✝ : Epi k
Z : C
g g' : W ⟶ Z
w : desc f k h ≫ g = desc f k h ≫ g'
⊢ g = g'
[PROOFSTEP]
replace w := cokernel.π f ≫= w
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
W : C
k : Y ⟶ W
h : f ≫ k = 0
inst✝ : Epi k
Z : C
g g' : W ⟶ Z
w : π f ≫ desc f k h ≫ g = π f ≫ desc f k h ≫ g'
⊢ g = g'
[PROOFSTEP]
simp only [cokernel.π_desc_assoc] at w
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
W : C
k : Y ⟶ W
h : f ≫ k = 0
inst✝ : Epi k
Z : C
g g' : W ⟶ Z
w : k ≫ g = k ≫ g'
⊢ g = g'
[PROOFSTEP]
exact (cancel_epi k).1 w
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
w : f ≫ q = p ≫ f'
⊢ f ≫ q ≫ π f' = 0
[PROOFSTEP]
have : f ≫ q ≫ π f' = p ≫ f' ≫ π f' := by
  simp only [← Category.assoc]
  apply congrArg (· ≫ π f') w
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
w : f ≫ q = p ≫ f'
⊢ f ≫ q ≫ π f' = p ≫ f' ≫ π f'
[PROOFSTEP]
simp only [← Category.assoc]
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
w : f ≫ q = p ≫ f'
⊢ (f ≫ q) ≫ π f' = (p ≫ f') ≫ π f'
[PROOFSTEP]
apply congrArg (· ≫ π f') w
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
w : f ≫ q = p ≫ f'
this : f ≫ q ≫ π f' = p ≫ f' ≫ π f'
⊢ f ≫ q ≫ π f' = 0
[PROOFSTEP]
simp [this]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z X' Y' Z' : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
g' : Y' ⟶ Z'
w' : f' ≫ g' = 0
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
r : Z ⟶ Z'
h₁ : f ≫ q = p ≫ f'
h₂ : g ≫ r = q ≫ g'
⊢ map f f' p q h₁ ≫ desc f' g' w' = desc f g w ≫ r
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z X' Y' Z' : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
g' : Y' ⟶ Z'
w' : f' ≫ g' = 0
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
r : Z ⟶ Z'
h₁ : f ≫ q = p ≫ f'
h₂ : g ≫ r = q ≫ g'
⊢ coequalizer.π f 0 ≫ map f f' p q h₁ ≫ desc f' g' w' = coequalizer.π f 0 ≫ desc f g w ≫ r
[PROOFSTEP]
simp [h₂]
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ f' ≫ q.inv = p.inv ≫ f
[PROOFSTEP]
refine' (cancel_mono q.hom).1 _
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ (f' ≫ q.inv) ≫ q.hom = (p.inv ≫ f) ≫ q.hom
[PROOFSTEP]
simp [w]
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Mono (cokernel.π f)
⊢ f ≫ cokernel.π f = 0 ≫ cokernel.π f
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
⊢ 0 ≫ 𝟙 Y = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
⊢ cokernelZeroIsoTarget.hom = cokernel.desc 0 (𝟙 Y) (_ : 0 ≫ 𝟙 Y = 0)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
⊢ coequalizer.π 0 0 ≫ cokernelZeroIsoTarget.hom = coequalizer.π 0 0 ≫ cokernel.desc 0 (𝟙 Y) (_ : 0 ≫ 𝟙 Y = 0)
[PROOFSTEP]
simp [cokernelZeroIsoTarget]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel g
h : f = g
⊢ parallelPair f 0 ≅ parallelPair g 0
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel g
h : f = g
⊢ parallelPair g 0 ≅ parallelPair g 0
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
h : f = f
⊢ cokernelIsoOfEq h = Iso.refl (cokernel f)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case w.h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
h : f = f
⊢ coequalizer.π f 0 ≫ (cokernelIsoOfEq h).hom = coequalizer.π f 0 ≫ (Iso.refl (cokernel f)).hom
[PROOFSTEP]
simp [cokernelIsoOfEq]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel g
h : f = g
⊢ cokernel.π f ≫ (cokernelIsoOfEq h).hom = cokernel.π g
[PROOFSTEP]
cases h
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
f : X ⟶ Y
inst✝¹ inst✝ : HasCokernel f
⊢ cokernel.π f ≫ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom = cokernel.π f
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel g
h : f = g
⊢ cokernel.π g ≫ (cokernelIsoOfEq h).inv = cokernel.π f
[PROOFSTEP]
cases h
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
f : X ⟶ Y
inst✝¹ inst✝ : HasCokernel f
⊢ cokernel.π f ≫ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).inv = cokernel.π f
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel g
h : f = g
e : Y ⟶ Z
he : g ≫ e = 0
⊢ f ≫ e = 0
[PROOFSTEP]
simp [h, he]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel g
h : f = g
e : Y ⟶ Z
he : g ≫ e = 0
⊢ (cokernelIsoOfEq h).hom ≫ cokernel.desc g e he = cokernel.desc f e (_ : f ≫ e = 0)
[PROOFSTEP]
cases h
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
e : Y ⟶ Z
inst✝ : HasCokernel f
he : f ≫ e = 0
⊢ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom ≫ cokernel.desc f e he = cokernel.desc f e (_ : f ≫ e = 0)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel g
h : f = g
e : Y ⟶ Z
he : f ≫ e = 0
⊢ g ≫ e = 0
[PROOFSTEP]
simp [← h, he]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel g
h : f = g
e : Y ⟶ Z
he : f ≫ e = 0
⊢ (cokernelIsoOfEq h).inv ≫ cokernel.desc f e he = cokernel.desc g e (_ : g ≫ e = 0)
[PROOFSTEP]
cases h
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f✝
Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
e : Y ⟶ Z
he : f ≫ e = 0
inst✝ : HasCokernel f
⊢ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).inv ≫ cokernel.desc f e he = cokernel.desc f e (_ : f ≫ e = 0)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝³ : HasCokernel f✝
f g h : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel h
w₁ : f = g
w₂ : g = h
⊢ cokernelIsoOfEq w₁ ≪≫ cokernelIsoOfEq w₂ = cokernelIsoOfEq (_ : f = h)
[PROOFSTEP]
cases w₁
[GOAL]
case refl
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝³ : HasCokernel f✝
f h : X ⟶ Y
inst✝² : HasCokernel f
inst✝¹ : HasCokernel h
inst✝ : HasCokernel f
w₂ : f = h
⊢ cokernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ cokernelIsoOfEq w₂ = cokernelIsoOfEq (_ : f = h)
[PROOFSTEP]
cases w₂
[GOAL]
case refl.refl
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝³ : HasCokernel f✝
f : X ⟶ Y
inst✝² inst✝¹ inst✝ : HasCokernel f
⊢ cokernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ cokernelIsoOfEq (_ : f = f) = cokernelIsoOfEq (_ : f = f)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case refl.refl.w.h
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
inst✝³ : HasCokernel f✝
f : X ⟶ Y
inst✝² inst✝¹ inst✝ : HasCokernel f
⊢ coequalizer.π f 0 ≫ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom =
    coequalizer.π f 0 ≫ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom
[PROOFSTEP]
simp [cokernelIsoOfEq]
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
w : f ≠ 0
I : IsIso (cokernel.π f)
⊢ Mono (cokernel.π f)
[PROOFSTEP]
skip
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
w : f ≠ 0
I : IsIso (cokernel.π f)
⊢ Mono (cokernel.π f)
[PROOFSTEP]
infer_instance
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g
⊢ (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g
s : CokernelCofork (f ≫ g)
⊢ f ≫ g ≫ Cofork.π s = 0
[PROOFSTEP]
rw [← Category.assoc, CokernelCofork.condition]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g
⊢ ∀ (s : CokernelCofork (f ≫ g)),
    Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫
        (fun s => cokernel.desc f (g ≫ Cofork.π s) (_ : f ≫ g ≫ Cofork.π s = 0)) s =
      Cofork.π s
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g
s : CokernelCofork (f ≫ g)
m : (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)).pt ⟶ s.pt
w : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = Cofork.π s
⊢ m = (fun s => cokernel.desc f (g ≫ Cofork.π s) (_ : f ≫ g ≫ Cofork.π s = 0)) s
[PROOFSTEP]
simp_rw [← w]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g
s : CokernelCofork (f ≫ g)
m : (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)).pt ⟶ s.pt
w : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = Cofork.π s
⊢ m =
    cokernel.desc f
      (g ≫ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m)
      (_ :
        f ≫ g ≫ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = 0)
[PROOFSTEP]
apply coequalizer.hom_ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g
s : CokernelCofork (f ≫ g)
m : (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)).pt ⟶ s.pt
w : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = Cofork.π s
⊢ coequalizer.π f 0 ≫ m =
    coequalizer.π f 0 ≫
      cokernel.desc f
        (g ≫ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m)
        (_ :
          f ≫ g ≫ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = 0)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g
⊢ (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g
⊢ f ≫ g ≫ cokernel.π (f ≫ g) = 0
[PROOFSTEP]
rw [← Category.assoc, cokernel.condition]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Epi f
inst✝ : HasCokernel g
⊢ (f ≫ g) ≫ cokernel.π g = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Epi f
inst✝ : HasCokernel g
⊢ g ≫ cokernel.π (f ≫ g) = 0
[PROOFSTEP]
rw [← cancel_epi f, ← Category.assoc]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Epi f
inst✝ : HasCokernel g
⊢ (f ≫ g) ≫ cokernel.π (f ≫ g) = f ≫ 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : Epi f
s : Cofork f 0
⊢ Cofork.π (zeroCokernelCofork f) ≫ (fun s => 0) s = Cofork.π s
[PROOFSTEP]
erw [zero_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : Epi f
s : Cofork f 0
⊢ 0 = Cofork.π s
[PROOFSTEP]
refine (zero_of_epi_comp f ?_).symm
[GOAL]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : Epi f
s : Cofork f 0
⊢ f ≫ Cofork.π s = 0
[PROOFSTEP]
exact CokernelCofork.condition _
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
F : MonoFactorisation f
⊢ kernel.ι f ≫ F.e = 0
[PROOFSTEP]
rw [← cancel_mono F.m, zero_comp, Category.assoc, F.fac, kernel.condition]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
[PROOFSTEP]
have w := cokernel.condition f
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0
⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
[PROOFSTEP]
conv at w =>
  lhs
  congr
  rw [← image.fac f]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0
| f ≫ cokernel.π f = 0
[PROOFSTEP]
  lhs
  congr
  rw [← image.fac f]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0
| f ≫ cokernel.π f = 0
[PROOFSTEP]
  lhs
  congr
  rw [← image.fac f]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0
| f ≫ cokernel.π f = 0
[PROOFSTEP]
lhs
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0
| f ≫ cokernel.π f
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0
| f
case a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0
| cokernel.π f
[PROOFSTEP]
rw [← image.fac f]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π f = 0
⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
[PROOFSTEP]
rw [← HasZeroMorphisms.comp_zero (Limits.factorThruImage f), Category.assoc, cancel_epi] at w
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
[PROOFSTEP]
exact w
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
⊢ f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
[PROOFSTEP]
conv =>
  lhs
  congr
  rw [← image.fac f]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
| f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
[PROOFSTEP]
  lhs
  congr
  rw [← image.fac f]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
| f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
[PROOFSTEP]
  lhs
  congr
  rw [← image.fac f]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
| f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
[PROOFSTEP]
lhs
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
| f ≫ cokernel.π (image.ι f)
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
| f
case a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
| cokernel.π (image.ι f)
[PROOFSTEP]
rw [← image.fac f]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
⊢ (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
[PROOFSTEP]
rw [Category.assoc, cokernel.condition, HasZeroMorphisms.comp_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (Z : C) (g : Y ⟶ Z), f ≫ g = 0 → g = 0
⊢ f ≫ 0 = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (Z : C) (g : Y ⟶ Z), f ≫ g = 0 → g = 0
s : Cofork f 0
⊢ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)) ≫ (fun s => 0) s = Cofork.π s
[PROOFSTEP]
rw [hf _ _ (CokernelCofork.condition s), comp_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (Z : C) (g : Y ⟶ Z), f ≫ g = 0 → g = 0
s : Cofork f 0
m : (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)).pt ⟶ s.pt
x✝ : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)) ≫ m = Cofork.π s
⊢ m = (fun s => 0) s
[PROOFSTEP]
apply HasZeroObject.from_zero_ext
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ Y
i : X ≅ Z
h : i.hom ≫ l = f
s : CokernelCofork f
hs : IsColimit s
⊢ l ≫ Cofork.π s = 0
[PROOFSTEP]
simp [i.eq_inv_comp.2 h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ Y
i : X ≅ Z
h : i.hom ≫ l = f
s✝ : CokernelCofork f
hs : IsColimit s✝
s : Cofork l 0
⊢ f ≫ Cofork.π s = 0
[PROOFSTEP]
simp [← h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ Y
i : X ≅ Z
h : i.hom ≫ l = f
s✝ : CokernelCofork f
hs : IsColimit s✝
s : Cofork l 0
⊢ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)) ≫
      (fun s => IsColimit.desc hs (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0))) s =
    Cofork.π s
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ Y
i : X ≅ Z
h✝ : i.hom ≫ l = f
s✝ : CokernelCofork f
hs : IsColimit s✝
s : Cofork l 0
m : (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)).pt ⟶ s.pt
h : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)) ≫ m = Cofork.π s
⊢ m = (fun s => IsColimit.desc hs (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0))) s
[PROOFSTEP]
apply Cofork.IsColimit.hom_ext hs
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Z ⟶ Y
i : X ≅ Z
h✝ : i.hom ≫ l = f
s✝ : CokernelCofork f
hs : IsColimit s✝
s : Cofork l 0
m : (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)).pt ⟶ s.pt
h : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)) ≫ m = Cofork.π s
⊢ Cofork.π s✝ ≫ m =
    Cofork.π s✝ ≫ (fun s => IsColimit.desc hs (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0))) s
[PROOFSTEP]
simpa using h
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
Z : C
l : Z ⟶ Y
i : X ≅ Z
h : i.hom ≫ l = f
⊢ l ≫ π f = 0
[PROOFSTEP]
simp [i.eq_inv_comp.2 h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Y ⟶ Z
s : CokernelCofork f
hs : IsColimit s
i : s.pt ≅ Z
h : Cofork.π s ≫ i.hom = l
⊢ f ≫ l = 0
[PROOFSTEP]
simp [← h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Y ⟶ Z
s : CokernelCofork f
hs : IsColimit s
i : s.pt ≅ Z
h : Cofork.π s ≫ i.hom = l
j : WalkingParallelPair
⊢ NatTrans.app s.ι j ≫ i.hom = NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ l (_ : f ≫ l = 0)).ι j
[PROOFSTEP]
cases j
[GOAL]
case zero
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Y ⟶ Z
s : CokernelCofork f
hs : IsColimit s
i : s.pt ≅ Z
h : Cofork.π s ≫ i.hom = l
⊢ NatTrans.app s.ι zero ≫ i.hom = NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ l (_ : f ≫ l = 0)).ι zero
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case zero
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Y ⟶ Z
s : CokernelCofork f
hs : IsColimit s
i : s.pt ≅ Z
h : Cofork.π s ≫ i.hom = l
⊢ NatTrans.app s.ι zero ≫ i.hom = f ≫ l
[PROOFSTEP]
rw [← h]
[GOAL]
case zero
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Y ⟶ Z
s : CokernelCofork f
hs : IsColimit s
i : s.pt ≅ Z
h : Cofork.π s ≫ i.hom = l
⊢ NatTrans.app s.ι zero ≫ i.hom = f ≫ Cofork.π s ≫ i.hom
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : Y ⟶ Z
s : CokernelCofork f
hs : IsColimit s
i : s.pt ≅ Z
h : Cofork.π s ≫ i.hom = l
⊢ NatTrans.app s.ι one ≫ i.hom = NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ l (_ : f ≫ l = 0)).ι one
[PROOFSTEP]
exact h
[GOAL]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasCokernel f
Z : C
l : Y ⟶ Z
i : cokernel f ≅ Z
h : π f ≫ i.hom = l
⊢ f ≫ l = 0
[PROOFSTEP]
simp [← h]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel (G.map f)
⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map f = 0
[PROOFSTEP]
simp only [← G.map_comp, kernel.condition, Functor.map_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel (G.map f)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
⊢ G.map h ≫ G.map f = 0
[PROOFSTEP]
simp only [← G.map_comp, w, Functor.map_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel (G.map f)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
⊢ G.map (kernel.lift f h w) ≫ kernelComparison f G = kernel.lift (G.map f) (G.map h) (_ : G.map h ≫ G.map f = 0)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel (G.map f)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
⊢ (G.map (kernel.lift f h w) ≫ kernelComparison f G) ≫ equalizer.ι (G.map f) 0 =
    kernel.lift (G.map f) (G.map h) (_ : G.map h ≫ G.map f = 0) ≫ equalizer.ι (G.map f) 0
[PROOFSTEP]
simp [← G.map_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map f ≫ G.map q = G.map p ≫ G.map g
[PROOFSTEP]
rw [← G.map_comp, hpq, G.map_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map f = 0
[PROOFSTEP]
rw [← G.map_comp, kernel.condition, G.map_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (kernel.ι g) ≫ G.map g = 0
[PROOFSTEP]
rw [← G.map_comp, kernel.condition, G.map_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map p = G.map (kernel.map f g p q hpq) ≫ G.map (kernel.ι g)
[PROOFSTEP]
simp only [← G.map_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (kernel.ι f ≫ p) = G.map (kernel.map f g p q hpq ≫ kernel.ι g)
[PROOFSTEP]
exact G.congr_map (kernel.lift_ι _ _ _).symm
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel (G.map f)
⊢ G.map f ≫ G.map (coequalizer.π f 0) = 0
[PROOFSTEP]
simp only [← G.map_comp, cokernel.condition, Functor.map_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel (G.map f)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
⊢ G.map f ≫ G.map h = 0
[PROOFSTEP]
simp only [← G.map_comp, w, Functor.map_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel (G.map f)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
⊢ cokernelComparison f G ≫ G.map (cokernel.desc f h w) = cokernel.desc (G.map f) (G.map h) (_ : G.map f ≫ G.map h = 0)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel (G.map f)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
⊢ coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernelComparison f G ≫ G.map (cokernel.desc f h w) =
    coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernel.desc (G.map f) (G.map h) (_ : G.map f ≫ G.map h = 0)
[PROOFSTEP]
simp [← G.map_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map f ≫ G.map q = G.map p ≫ G.map g
[PROOFSTEP]
rw [← G.map_comp, hpq, G.map_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map f ≫ G.map (coequalizer.π f 0) = 0
[PROOFSTEP]
rw [← G.map_comp, cokernel.condition, G.map_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map g ≫ G.map (coequalizer.π g 0) = 0
[PROOFSTEP]
rw [← G.map_comp, cokernel.condition, G.map_zero]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (coequalizer.π f 0) ≫ G.map (cokernel.map f g p q hpq) = G.map q ≫ G.map (coequalizer.π g 0)
[PROOFSTEP]
simp only [← G.map_comp]
[GOAL]
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (coequalizer.π f 0 ≫ cokernel.map f g p q hpq) = G.map (q ≫ coequalizer.π g 0)
[PROOFSTEP]
exact G.congr_map (cokernel.π_desc _ _ _)