[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨u, u_open, x₀u, hu⟩ : ∃ u, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball (g x₀) 1
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
[PROOFSTEP]
exact mem_nhdsWithin.1 (hcg (ball_mem_nhds _ zero_lt_one))
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
[PROOFSTEP]
filter_upwards [tendstoUniformlyOn_iff.1 (hlφ u u_open x₀u) 1 zero_lt_one, hiφ] with i hi h'i
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
[PROOFSTEP]
have A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ :=
  by
  refine' Integrable.smul_of_top_right (hmg.mono (diff_subset _ _) le_rfl) _
  apply memℒp_top_of_bound ((integrable_of_integral_eq_one h'i).aestronglyMeasurable.mono_set (diff_subset _ _)) 1
  filter_upwards [self_mem_ae_restrict (hs.diff u_open.measurableSet)] with x hx
  simpa only [Pi.zero_apply, dist_zero_left] using (hi x hx).le
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
[PROOFSTEP]
refine' Integrable.smul_of_top_right (hmg.mono (diff_subset _ _) le_rfl) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
⊢ Memℒp (fun x => φ i x) ⊤
[PROOFSTEP]
apply memℒp_top_of_bound ((integrable_of_integral_eq_one h'i).aestronglyMeasurable.mono_set (diff_subset _ _)) 1
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (s \ u), ‖φ i x‖ ≤ 1
[PROOFSTEP]
filter_upwards [self_mem_ae_restrict (hs.diff u_open.measurableSet)] with x hx
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ‖φ i x‖ ≤ 1
[PROOFSTEP]
simpa only [Pi.zero_apply, dist_zero_left] using (hi x hx).le
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
[PROOFSTEP]
have B : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u) μ :=
  by
  apply Integrable.smul_of_top_left
  · exact IntegrableOn.mono_set (integrable_of_integral_eq_one h'i) (inter_subset_left _ _)
  · apply memℒp_top_of_bound (hmg.mono_set (inter_subset_left _ _)).aestronglyMeasurable (‖g x₀‖ + 1)
    filter_upwards [self_mem_ae_restrict (hs.inter u_open.measurableSet)] with x hx
    rw [inter_comm] at hx
    exact (norm_lt_of_mem_ball (hu x hx)).le
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u)
[PROOFSTEP]
apply Integrable.smul_of_top_left
[GOAL]
case hφ
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
⊢ Integrable fun x => φ i x
[PROOFSTEP]
exact IntegrableOn.mono_set (integrable_of_integral_eq_one h'i) (inter_subset_left _ _)
[GOAL]
case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
⊢ Memℒp (fun x => g x) ⊤
[PROOFSTEP]
apply memℒp_top_of_bound (hmg.mono_set (inter_subset_left _ _)).aestronglyMeasurable (‖g x₀‖ + 1)
[GOAL]
case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (s ∩ u), ‖g x‖ ≤ ‖g x₀‖ + 1
[PROOFSTEP]
filter_upwards [self_mem_ae_restrict (hs.inter u_open.measurableSet)] with x hx
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
x : α
hx : x ∈ s ∩ u
⊢ ‖g x‖ ≤ ‖g x₀‖ + 1
[PROOFSTEP]
rw [inter_comm] at hx
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
x : α
hx : x ∈ u ∩ s
⊢ ‖g x‖ ≤ ‖g x₀‖ + 1
[PROOFSTEP]
exact (norm_lt_of_mem_ball (hu x hx)).le
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
B : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u)
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
[PROOFSTEP]
convert A.union B
[GOAL]
case h.e'_6
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) 1
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < 1
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u)
B : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u)
⊢ s = s \ u ∪ s ∩ u
[PROOFSTEP]
simp only [diff_union_inter]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
refine' Metric.tendsto_nhds.2 fun ε εpos => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε
[PROOFSTEP]
obtain ⟨δ, hδ, δpos⟩ : ∃ δ, (δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + δ < ε ∧ 0 < δ :=
  by
  have A : Tendsto (fun δ => (δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + δ) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((0 * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + 0)) :=
    by
    apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
    exact (tendsto_id.mul tendsto_const_nhds).add tendsto_id
  rw [zero_mul, zero_add] at A
  exact (((tendsto_order.1 A).2 ε εpos).and self_mem_nhdsWithin).exists
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∃ δ, δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε ∧ 0 < δ
[PROOFSTEP]
have A : Tendsto (fun δ => (δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + δ) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((0 * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + 0)) :=
  by
  apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
  exact (tendsto_id.mul tendsto_const_nhds).add tendsto_id
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ Tendsto (fun δ => δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 (0 * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 0))
[PROOFSTEP]
apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ Tendsto (fun δ => δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ) (𝓝 0) (𝓝 (0 * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 0))
[PROOFSTEP]
exact (tendsto_id.mul tendsto_const_nhds).add tendsto_id
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : Tendsto (fun δ => δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 (0 * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 0))
⊢ ∃ δ, δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε ∧ 0 < δ
[PROOFSTEP]
rw [zero_mul, zero_add] at A
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : Tendsto (fun δ => δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 0)
⊢ ∃ δ, δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε ∧ 0 < δ
[PROOFSTEP]
exact (((tendsto_order.1 A).2 ε εpos).and self_mem_nhdsWithin).exists
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε
[PROOFSTEP]
suffices ∀ᶠ i in l, ‖∫ x in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ (δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + δ
  by
  filter_upwards [this] with i hi
  simp only [dist_zero_right]
  exact hi.trans_lt hδ
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
this : ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε
[PROOFSTEP]
filter_upwards [this] with i hi
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
this : ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
i : ι
hi : ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
⊢ dist (∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) 0 < ε
[PROOFSTEP]
simp only [dist_zero_right]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
this : ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
i : ι
hi : ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ < ε
[PROOFSTEP]
exact hi.trans_lt hδ
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
[PROOFSTEP]
obtain ⟨u, u_open, x₀u, hu⟩ : ∃ u, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball (g x₀) δ
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
[PROOFSTEP]
exact mem_nhdsWithin.1 (hcg (ball_mem_nhds _ δpos))
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
[PROOFSTEP]
filter_upwards [tendstoUniformlyOn_iff.1 (hlφ u u_open x₀u) δ δpos, hiφ, hnφ,
  integrableOn_peak_smul_of_integrableOn_of_continuousWithinAt hs hlφ hiφ hmg hcg] with i hi h'i hφpos h''i
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
[PROOFSTEP]
have B : ‖∫ x in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ :=
  calc
    ‖∫ x in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ ∫ x in s ∩ u, ‖φ i x • g x‖ ∂μ := norm_integral_le_integral_norm _
    _ ≤ ∫ x in s ∩ u, ‖φ i x‖ * δ ∂μ :=
      by
      refine' set_integral_mono_on _ _ (hs.inter u_open.measurableSet) fun x hx => _
      · exact IntegrableOn.mono_set h''i.norm (inter_subset_left _ _)
      · exact IntegrableOn.mono_set ((integrable_of_integral_eq_one h'i).norm.mul_const _) (inter_subset_left _ _)
      rw [norm_smul]
      apply mul_le_mul_of_nonneg_left _ (norm_nonneg _)
      rw [inter_comm, h'g] at hu
      exact (mem_ball_zero_iff.1 (hu x hx)).le
    _ ≤ ∫ x in s, ‖φ i x‖ * δ ∂μ := by
      apply set_integral_mono_set
      · exact (integrable_of_integral_eq_one h'i).norm.mul_const _
      · exact eventually_of_forall fun x => mul_nonneg (norm_nonneg _) δpos.le
      · apply eventually_of_forall; exact inter_subset_left s u
    _ = ∫ x in s, φ i x * δ ∂μ := by
      apply set_integral_congr hs fun x hx => ?_
      rw [Real.norm_of_nonneg (hφpos _ hx)]
    _ = δ := by rw [integral_mul_right, h'i, one_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ ∫ (x : α) in s ∩ u, ‖φ i x • g x‖ ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s ∩ u, ‖φ i x‖ * δ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' set_integral_mono_on _ _ (hs.inter u_open.measurableSet) fun x hx => _
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ IntegrableOn (fun x => ‖φ i x • g x‖) (s ∩ u)
[PROOFSTEP]
exact IntegrableOn.mono_set h''i.norm (inter_subset_left _ _)
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ IntegrableOn (fun x => ‖φ i x‖ * δ) (s ∩ u)
[PROOFSTEP]
exact IntegrableOn.mono_set ((integrable_of_integral_eq_one h'i).norm.mul_const _) (inter_subset_left _ _)
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
x : α
hx : x ∈ s ∩ u
⊢ ‖φ i x • g x‖ ≤ ‖φ i x‖ * δ
[PROOFSTEP]
rw [norm_smul]
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
x : α
hx : x ∈ s ∩ u
⊢ ‖φ i x‖ * ‖g x‖ ≤ ‖φ i x‖ * δ
[PROOFSTEP]
apply mul_le_mul_of_nonneg_left _ (norm_nonneg _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
x : α
hx : x ∈ s ∩ u
⊢ ‖g x‖ ≤ δ
[PROOFSTEP]
rw [inter_comm, h'g] at hu
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ s ∩ u → g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
x : α
hx : x ∈ s ∩ u
⊢ ‖g x‖ ≤ δ
[PROOFSTEP]
exact (mem_ball_zero_iff.1 (hu x hx)).le
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ ∫ (x : α) in s ∩ u, ‖φ i x‖ * δ ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, ‖φ i x‖ * δ ∂μ
[PROOFSTEP]
apply set_integral_mono_set
[GOAL]
case hfi
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ IntegrableOn (fun x => ‖φ i x‖ * δ) s
[PROOFSTEP]
exact (integrable_of_integral_eq_one h'i).norm.mul_const _
[GOAL]
case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => ‖φ i x‖ * δ
[PROOFSTEP]
exact eventually_of_forall fun x => mul_nonneg (norm_nonneg _) δpos.le
[GOAL]
case hst
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ s ∩ u ≤ᶠ[ae μ] s
[PROOFSTEP]
apply eventually_of_forall
[GOAL]
case hst.hp
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ ∀ (x : α), (s ∩ u) x ≤ s x
[PROOFSTEP]
exact inter_subset_left s u
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ ∫ (x : α) in s, ‖φ i x‖ * δ ∂μ = ∫ (x : α) in s, φ i x * δ ∂μ
[PROOFSTEP]
apply set_integral_congr hs fun x hx => ?_
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖φ i x‖ * δ = φ i x * δ
[PROOFSTEP]
rw [Real.norm_of_nonneg (hφpos _ hx)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
⊢ ∫ (x : α) in s, φ i x * δ ∂μ = δ
[PROOFSTEP]
rw [integral_mul_right, h'i, one_mul]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
[PROOFSTEP]
have C : ‖∫ x in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ :=
  calc
    ‖∫ x in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ ∫ x in s \ u, ‖φ i x • g x‖ ∂μ := norm_integral_le_integral_norm _
    _ ≤ ∫ x in s \ u, δ * ‖g x‖ ∂μ :=
      by
      refine' set_integral_mono_on _ _ (hs.diff u_open.measurableSet) fun x hx => _
      · exact IntegrableOn.mono_set h''i.norm (diff_subset _ _)
      · exact IntegrableOn.mono_set (hmg.norm.const_mul _) (diff_subset _ _)
      rw [norm_smul]
      apply mul_le_mul_of_nonneg_right _ (norm_nonneg _)
      simpa only [Pi.zero_apply, dist_zero_left] using (hi x hx).le
    _ ≤ δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ := by
      rw [integral_mul_left]
      apply mul_le_mul_of_nonneg_left (set_integral_mono_set hmg.norm _ _) δpos.le
      · exact eventually_of_forall fun x => norm_nonneg _
      · apply eventually_of_forall; exact diff_subset s u
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
⊢ ∫ (x : α) in s \ u, ‖φ i x • g x‖ ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s \ u, δ * ‖g x‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' set_integral_mono_on _ _ (hs.diff u_open.measurableSet) fun x hx => _
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
⊢ IntegrableOn (fun x => ‖φ i x • g x‖) (s \ u)
[PROOFSTEP]
exact IntegrableOn.mono_set h''i.norm (diff_subset _ _)
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
⊢ IntegrableOn (fun x => δ * ‖g x‖) (s \ u)
[PROOFSTEP]
exact IntegrableOn.mono_set (hmg.norm.const_mul _) (diff_subset _ _)
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ‖φ i x • g x‖ ≤ δ * ‖g x‖
[PROOFSTEP]
rw [norm_smul]
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ‖φ i x‖ * ‖g x‖ ≤ δ * ‖g x‖
[PROOFSTEP]
apply mul_le_mul_of_nonneg_right _ (norm_nonneg _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ‖φ i x‖ ≤ δ
[PROOFSTEP]
simpa only [Pi.zero_apply, dist_zero_left] using (hi x hx).le
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
⊢ ∫ (x : α) in s \ u, δ * ‖g x‖ ∂μ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [integral_mul_left]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
⊢ δ * ∫ (a : α) in s \ u, ‖g a‖ ∂μ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
apply mul_le_mul_of_nonneg_left (set_integral_mono_set hmg.norm _ _) δpos.le
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun a => ‖g a‖
[PROOFSTEP]
exact eventually_of_forall fun x => norm_nonneg _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
⊢ s \ u ≤ᶠ[ae μ] s
[PROOFSTEP]
apply eventually_of_forall
[GOAL]
case hp
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
⊢ ∀ (x : α), (s \ u) x ≤ s x
[PROOFSTEP]
exact diff_subset s u
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
C : ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ
[PROOFSTEP]
calc
  ‖∫ x in s, φ i x • g x ∂μ‖ = ‖(∫ x in s \ u, φ i x • g x ∂μ) + ∫ x in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ :=
    by
    conv_lhs => rw [← diff_union_inter s u]
    rw [integral_union (disjoint_sdiff_inter _ _) (hs.inter u_open.measurableSet) (h''i.mono_set (diff_subset _ _))
        (h''i.mono_set (inter_subset_left _ _))]
  _ ≤ ‖∫ x in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ + ‖∫ x in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ := (norm_add_le _ _)
  _ ≤ (δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + δ := add_le_add C B
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
C : ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ = ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ + ∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖
[PROOFSTEP]
conv_lhs => rw [← diff_union_inter s u]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
C : ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
| ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖
[PROOFSTEP]
rw [← diff_union_inter s u]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
C : ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
| ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖
[PROOFSTEP]
rw [← diff_union_inter s u]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
C : ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
| ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖
[PROOFSTEP]
rw [← diff_union_inter s u]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hmg : IntegrableOn g s
h'g : g x₀ = 0
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + δ < ε
δpos : 0 < δ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ∀ (x : α), x ∈ u ∩ s → g x ∈ ball (g x₀) δ
i : ι
hi : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ i x) < δ
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = 1
hφpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ
C : ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s \ u ∪ s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ =
    ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ + ∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖
[PROOFSTEP]
rw [integral_union (disjoint_sdiff_inter _ _) (hs.inter u_open.measurableSet) (h''i.mono_set (diff_subset _ _))
    (h''i.mono_set (inter_subset_left _ _))]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
let h := g - fun _ => g x₀
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
have A : Tendsto (fun i : ι => (∫ x in s, φ i x • h x ∂μ) + (∫ x in s, φ i x ∂μ) • g x₀) l (𝓝 (0 + (1 : ℝ) • g x₀)) :=
  by
  refine' Tendsto.add _ (Tendsto.smul (tendsto_const_nhds.congr' hiφ.symm) tendsto_const_nhds)
  apply tendsto_set_integral_peak_smul_of_integrableOn_of_continuousWithinAt_aux hs hnφ hlφ hiφ
  · apply Integrable.sub hmg
    apply integrableOn_const.2
    simp only [h's.lt_top, or_true_iff]
  · simp only [Pi.sub_apply, sub_self]
  · exact hcg.sub continuousWithinAt_const
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀) l (𝓝 (0 + 1 • g x₀))
[PROOFSTEP]
refine' Tendsto.add _ (Tendsto.smul (tendsto_const_nhds.congr' hiφ.symm) tendsto_const_nhds)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ) l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
apply tendsto_set_integral_peak_smul_of_integrableOn_of_continuousWithinAt_aux hs hnφ hlφ hiφ
[GOAL]
case hmg
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
⊢ IntegrableOn (fun x => h x) s
[PROOFSTEP]
apply Integrable.sub hmg
[GOAL]
case hmg
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
⊢ Integrable fun x => g x₀
[PROOFSTEP]
apply integrableOn_const.2
[GOAL]
case hmg
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
⊢ g x₀ = 0 ∨ ↑↑μ s < ⊤
[PROOFSTEP]
simp only [h's.lt_top, or_true_iff]
[GOAL]
case h'g
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
⊢ h x₀ = 0
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.sub_apply, sub_self]
[GOAL]
case hcg
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => h x) s x₀
[PROOFSTEP]
exact hcg.sub continuousWithinAt_const
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀) l (𝓝 (0 + 1 • g x₀))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
simp only [one_smul, zero_add] at A
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • (g - fun x => g x₀) x ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀) l (𝓝 (g x₀))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
refine' Tendsto.congr' _ A
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • (g - fun x => g x₀) x ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀) l (𝓝 (g x₀))
⊢ (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • (g - fun x => g x₀) x ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀) =ᶠ[l] fun i =>
    ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ
[PROOFSTEP]
filter_upwards [integrableOn_peak_smul_of_integrableOn_of_continuousWithinAt hs hlφ hiφ hmg hcg, hiφ] with i hi h'i
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • (g - fun x => g x₀) x ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀) l (𝓝 (g x₀))
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = OfNat.ofNat 1 i
⊢ ∫ (x : α) in s, φ i x • (g - fun x => g x₀) x ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀ = ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.sub_apply, smul_sub]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • (g - fun x => g x₀) x ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀) l (𝓝 (g x₀))
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = OfNat.ofNat 1 i
⊢ ∫ (x : α) in s, φ i x • g x - φ i x • g x₀ ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀ = ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [integral_sub hi, integral_smul_const, sub_add_cancel]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
h's : ↑↑μ s ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) =ᶠ[l] 1
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
h : α → E := g - fun x => g x₀
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • (g - fun x => g x₀) x ∂μ + (∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ) • g x₀) l (𝓝 (g x₀))
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s
h'i : ∫ (x : α) in s, φ i x ∂μ = OfNat.ofNat 1 i
⊢ Integrable fun x => φ i x • g x₀
[PROOFSTEP]
exact Integrable.smul_const (integrable_of_integral_eq_one h'i) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
let φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ x in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
have hnφ : ∀ n, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x := by
  intro n x hx
  apply mul_nonneg (inv_nonneg.2 _) (pow_nonneg (hnc x hx) _)
  exact set_integral_nonneg hs.measurableSet fun x hx => pow_nonneg (hnc x hx) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
⊢ ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
[PROOFSTEP]
intro n x hx
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ 0 ≤ φ n x
[PROOFSTEP]
apply mul_nonneg (inv_nonneg.2 _) (pow_nonneg (hnc x hx) _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
[PROOFSTEP]
exact set_integral_nonneg hs.measurableSet fun x hx => pow_nonneg (hnc x hx) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
have I : ∀ n, IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ := fun n => ContinuousOn.integrableOn_compact hs (hc.pow n)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
have J : ∀ n, 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x : α => c x ^ n :=
  by
  intro n
  filter_upwards [ae_restrict_mem hs.measurableSet] with x hx
  exact pow_nonneg (hnc x hx) n
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
[PROOFSTEP]
intro n
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
n : ℕ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
[PROOFSTEP]
filter_upwards [ae_restrict_mem hs.measurableSet] with x hx
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ OfNat.ofNat 0 x ≤ c x ^ n
[PROOFSTEP]
exact pow_nonneg (hnc x hx) n
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
have P : ∀ n, (0 : ℝ) < ∫ x in s, c x ^ n ∂μ := by
  intro n
  refine' (set_integral_pos_iff_support_of_nonneg_ae (J n) (I n)).2 _
  obtain ⟨u, u_open, x₀_u, hu⟩ : ∃ u : Set α, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi 0 :=
    _root_.continuousOn_iff.1 hc x₀ h₀ (Ioi (0 : ℝ)) isOpen_Ioi hnc₀
  apply (hμ u u_open x₀_u).trans_le
  exact measure_mono fun x hx => ⟨ne_of_gt (pow_pos (a := c x) (hu hx) _), hx.2⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
[PROOFSTEP]
intro n
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
n : ℕ
⊢ 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' (set_integral_pos_iff_support_of_nonneg_ae (J n) (I n)).2 _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
n : ℕ
⊢ 0 < ↑↑μ ((Function.support fun x => c x ^ n) ∩ s)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨u, u_open, x₀_u, hu⟩ : ∃ u : Set α, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi 0 :=
  _root_.continuousOn_iff.1 hc x₀ h₀ (Ioi (0 : ℝ)) isOpen_Ioi hnc₀
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
n : ℕ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀_u : x₀ ∈ u
hu : u ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi 0
⊢ 0 < ↑↑μ ((Function.support fun x => c x ^ n) ∩ s)
[PROOFSTEP]
apply (hμ u u_open x₀_u).trans_le
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
n : ℕ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀_u : x₀ ∈ u
hu : u ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi 0
⊢ ↑↑μ (u ∩ s) ≤ ↑↑μ ((Function.support fun x => c x ^ n) ∩ s)
[PROOFSTEP]
exact measure_mono fun x hx => ⟨ne_of_gt (pow_pos (a := c x) (hu hx) _), hx.2⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
have hiφ : ∀ n, ∫ x in s, φ n x ∂μ = 1 := fun n => by rw [integral_mul_left, inv_mul_cancel (P n).ne']
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
[PROOFSTEP]
rw [integral_mul_left, inv_mul_cancel (P n).ne']
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
have A : ∀ u : Set α, IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u) :=
  by
  intro u u_open x₀u
  obtain ⟨t, t_pos, tx₀, ht⟩ : ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t :=
    by
    rcases eq_empty_or_nonempty (s \ u) with (h | h)
    · exact ⟨0, le_rfl, hnc₀, by simp only [h, mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, imp_true_iff]⟩
    obtain ⟨x, hx, h'x⟩ : ∃ x ∈ s \ u, ∀ y ∈ s \ u, c y ≤ c x :=
      IsCompact.exists_isMaxOn (hs.diff u_open) h (hc.mono (diff_subset _ _))
    refine' ⟨c x, hnc x hx.1, h'c x hx.1 _, h'x⟩
    rintro rfl
    exact hx.2 x₀u
  obtain ⟨t', tt', t'x₀⟩ : ∃ t', t < t' ∧ t' < c x₀ := exists_between tx₀
  have t'_pos : 0 < t' := t_pos.trans_lt tt'
  obtain ⟨v, v_open, x₀_v, hv⟩ : ∃ v : Set α, IsOpen v ∧ x₀ ∈ v ∧ v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t' :=
    _root_.continuousOn_iff.1 hc x₀ h₀ (Ioi t') isOpen_Ioi t'x₀
  have M : ∀ n, ∀ x ∈ s \ u, φ n x ≤ (μ (v ∩ s)).toReal⁻¹ * (t / t') ^ n :=
    by
    intro n x hx
    have B : t' ^ n * (μ (v ∩ s)).toReal ≤ ∫ y in s, c y ^ n ∂μ :=
      calc
        t' ^ n * (μ (v ∩ s)).toReal = ∫ _ in v ∩ s, t' ^ n ∂μ := by
          simp only [integral_const, Measure.restrict_apply, MeasurableSet.univ, univ_inter, Algebra.id.smul_eq_mul,
            mul_comm]
        _ ≤ ∫ y in v ∩ s, c y ^ n ∂μ :=
          by
          apply set_integral_mono_on _ _ (v_open.measurableSet.inter hs.measurableSet) _
          · apply integrableOn_const.2 (Or.inr _)
            exact lt_of_le_of_lt (measure_mono (inter_subset_right _ _)) hs.measure_lt_top
          · exact (I n).mono (inter_subset_right _ _) le_rfl
          · intro x hx
            exact pow_le_pow_of_le_left t'_pos.le (le_of_lt (hv hx)) _
        _ ≤ ∫ y in s, c y ^ n ∂μ := set_integral_mono_set (I n) (J n) (eventually_of_forall (inter_subset_right _ _))
    simp_rw [← div_eq_inv_mul, div_pow, div_div]
    apply div_le_div (pow_nonneg t_pos n) _ _ B
    · exact pow_le_pow_of_le_left (hnc _ hx.1) (ht x hx) _
    · apply mul_pos (pow_pos (t_pos.trans_lt tt') _) (ENNReal.toReal_pos (hμ v v_open x₀_v).ne' _)
      have : μ (v ∩ s) ≤ μ s := measure_mono (inter_subset_right _ _)
      exact ne_of_lt (lt_of_le_of_lt this hs.measure_lt_top)
  have N : Tendsto (fun n => (μ (v ∩ s)).toReal⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 ((μ (v ∩ s)).toReal⁻¹ * 0)) :=
    by
    apply Tendsto.mul tendsto_const_nhds _
    apply tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1 (div_nonneg t_pos t'_pos.le)
    exact (div_lt_one t'_pos).2 tt'
  rw [mul_zero] at N
  refine' tendstoUniformlyOn_iff.2 fun ε εpos => _
  filter_upwards [(tendsto_order.1 N).2 ε εpos] with n hn x hx
  simp only [Pi.zero_apply, dist_zero_left, Real.norm_of_nonneg (hnφ n x hx.1)]
  exact (M n x hx).trans_lt hn
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
⊢ ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
[PROOFSTEP]
intro u u_open x₀u
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨t, t_pos, tx₀, ht⟩ : ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t :=
  by
  rcases eq_empty_or_nonempty (s \ u) with (h | h)
  · exact ⟨0, le_rfl, hnc₀, by simp only [h, mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, imp_true_iff]⟩
  obtain ⟨x, hx, h'x⟩ : ∃ x ∈ s \ u, ∀ y ∈ s \ u, c y ≤ c x :=
    IsCompact.exists_isMaxOn (hs.diff u_open) h (hc.mono (diff_subset _ _))
  refine' ⟨c x, hnc x hx.1, h'c x hx.1 _, h'x⟩
  rintro rfl
  exact hx.2 x₀u
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
⊢ ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
[PROOFSTEP]
rcases eq_empty_or_nonempty (s \ u) with (h | h)
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : s \ u = ∅
⊢ ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
[PROOFSTEP]
exact ⟨0, le_rfl, hnc₀, by simp only [h, mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, imp_true_iff]⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : s \ u = ∅
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ 0
[PROOFSTEP]
simp only [h, mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, imp_true_iff]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : Set.Nonempty (s \ u)
⊢ ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx, h'x⟩ : ∃ x ∈ s \ u, ∀ y ∈ s \ u, c y ≤ c x :=
  IsCompact.exists_isMaxOn (hs.diff u_open) h (hc.mono (diff_subset _ _))
[GOAL]
case inr.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : Set.Nonempty (s \ u)
x : α
hx : x ∈ s \ u
h'x : ∀ (y : α), y ∈ s \ u → c y ≤ c x
⊢ ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
[PROOFSTEP]
refine' ⟨c x, hnc x hx.1, h'c x hx.1 _, h'x⟩
[GOAL]
case inr.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : Set.Nonempty (s \ u)
x : α
hx : x ∈ s \ u
h'x : ∀ (y : α), y ∈ s \ u → c y ≤ c x
⊢ x ≠ x₀
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
case inr.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hmg : IntegrableOn g s
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
h : Set.Nonempty (s \ u)
x : α
hx : x ∈ s \ u
h'x : ∀ (y : α), y ∈ s \ u → c y ≤ c x
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x → c y < c x
hnc₀ : 0 < c x
h₀ : x ∈ s
hcg : ContinuousWithinAt g s x
x₀u : x ∈ u
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact hx.2 x₀u
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨t', tt', t'x₀⟩ : ∃ t', t < t' ∧ t' < c x₀ := exists_between tx₀
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
[PROOFSTEP]
have t'_pos : 0 < t' := t_pos.trans_lt tt'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨v, v_open, x₀_v, hv⟩ : ∃ v : Set α, IsOpen v ∧ x₀ ∈ v ∧ v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t' :=
  _root_.continuousOn_iff.1 hc x₀ h₀ (Ioi t') isOpen_Ioi t'x₀
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
[PROOFSTEP]
have M : ∀ n, ∀ x ∈ s \ u, φ n x ≤ (μ (v ∩ s)).toReal⁻¹ * (t / t') ^ n :=
  by
  intro n x hx
  have B : t' ^ n * (μ (v ∩ s)).toReal ≤ ∫ y in s, c y ^ n ∂μ :=
    calc
      t' ^ n * (μ (v ∩ s)).toReal = ∫ _ in v ∩ s, t' ^ n ∂μ := by
        simp only [integral_const, Measure.restrict_apply, MeasurableSet.univ, univ_inter, Algebra.id.smul_eq_mul,
          mul_comm]
      _ ≤ ∫ y in v ∩ s, c y ^ n ∂μ :=
        by
        apply set_integral_mono_on _ _ (v_open.measurableSet.inter hs.measurableSet) _
        · apply integrableOn_const.2 (Or.inr _)
          exact lt_of_le_of_lt (measure_mono (inter_subset_right _ _)) hs.measure_lt_top
        · exact (I n).mono (inter_subset_right _ _) le_rfl
        · intro x hx
          exact pow_le_pow_of_le_left t'_pos.le (le_of_lt (hv hx)) _
      _ ≤ ∫ y in s, c y ^ n ∂μ := set_integral_mono_set (I n) (J n) (eventually_of_forall (inter_subset_right _ _))
  simp_rw [← div_eq_inv_mul, div_pow, div_div]
  apply div_le_div (pow_nonneg t_pos n) _ _ B
  · exact pow_le_pow_of_le_left (hnc _ hx.1) (ht x hx) _
  · apply mul_pos (pow_pos (t_pos.trans_lt tt') _) (ENNReal.toReal_pos (hμ v v_open x₀_v).ne' _)
    have : μ (v ∩ s) ≤ μ s := measure_mono (inter_subset_right _ _)
    exact ne_of_lt (lt_of_le_of_lt this hs.measure_lt_top)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
⊢ ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
[PROOFSTEP]
intro n x hx
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
[PROOFSTEP]
have B : t' ^ n * (μ (v ∩ s)).toReal ≤ ∫ y in s, c y ^ n ∂μ :=
  calc
    t' ^ n * (μ (v ∩ s)).toReal = ∫ _ in v ∩ s, t' ^ n ∂μ := by
      simp only [integral_const, Measure.restrict_apply, MeasurableSet.univ, univ_inter, Algebra.id.smul_eq_mul,
        mul_comm]
    _ ≤ ∫ y in v ∩ s, c y ^ n ∂μ :=
      by
      apply set_integral_mono_on _ _ (v_open.measurableSet.inter hs.measurableSet) _
      · apply integrableOn_const.2 (Or.inr _)
        exact lt_of_le_of_lt (measure_mono (inter_subset_right _ _)) hs.measure_lt_top
      · exact (I n).mono (inter_subset_right _ _) le_rfl
      · intro x hx
        exact pow_le_pow_of_le_left t'_pos.le (le_of_lt (hv hx)) _
    _ ≤ ∫ y in s, c y ^ n ∂μ := set_integral_mono_set (I n) (J n) (eventually_of_forall (inter_subset_right _ _))
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) = ∫ (x : α) in v ∩ s, t' ^ n ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [integral_const, Measure.restrict_apply, MeasurableSet.univ, univ_inter, Algebra.id.smul_eq_mul, mul_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ∫ (x : α) in v ∩ s, t' ^ n ∂μ ≤ ∫ (y : α) in v ∩ s, c y ^ n ∂μ
[PROOFSTEP]
apply set_integral_mono_on _ _ (v_open.measurableSet.inter hs.measurableSet) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ IntegrableOn (fun a => t' ^ n) (v ∩ s)
[PROOFSTEP]
apply integrableOn_const.2 (Or.inr _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ↑↑μ (v ∩ s) < ⊤
[PROOFSTEP]
exact lt_of_le_of_lt (measure_mono (inter_subset_right _ _)) hs.measure_lt_top
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ IntegrableOn (fun a => c a ^ n) (v ∩ s)
[PROOFSTEP]
exact (I n).mono (inter_subset_right _ _) le_rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ∀ (x : α), x ∈ v ∩ s → t' ^ n ≤ c x ^ n
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x✝ : α
hx✝ : x✝ ∈ s \ u
x : α
hx : x ∈ v ∩ s
⊢ t' ^ n ≤ c x ^ n
[PROOFSTEP]
exact pow_le_pow_of_le_left t'_pos.le (le_of_lt (hv hx)) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
[PROOFSTEP]
simp_rw [← div_eq_inv_mul, div_pow, div_div]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ c x ^ n / ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ ≤ t ^ n / (t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))
[PROOFSTEP]
apply div_le_div (pow_nonneg t_pos n) _ _ B
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ c x ^ n ≤ t ^ n
[PROOFSTEP]
exact pow_le_pow_of_le_left (hnc _ hx.1) (ht x hx) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ 0 < t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s))
[PROOFSTEP]
apply mul_pos (pow_pos (t_pos.trans_lt tt') _) (ENNReal.toReal_pos (hμ v v_open x₀_v).ne' _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ ↑↑μ (v ∩ s) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
have : μ (v ∩ s) ≤ μ s := measure_mono (inter_subset_right _ _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
this : ↑↑μ (v ∩ s) ≤ ↑↑μ s
⊢ ↑↑μ (v ∩ s) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
exact ne_of_lt (lt_of_le_of_lt this hs.measure_lt_top)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
[PROOFSTEP]
have N : Tendsto (fun n => (μ (v ∩ s)).toReal⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 ((μ (v ∩ s)).toReal⁻¹ * 0)) :=
  by
  apply Tendsto.mul tendsto_const_nhds _
  apply tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1 (div_nonneg t_pos t'_pos.le)
  exact (div_lt_one t'_pos).2 tt'
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 ((ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * 0))
[PROOFSTEP]
apply Tendsto.mul tendsto_const_nhds _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
⊢ Tendsto (fun x => (t / t') ^ x) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
apply tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1 (div_nonneg t_pos t'_pos.le)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
⊢ t / t' < 1
[PROOFSTEP]
exact (div_lt_one t'_pos).2 tt'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 ((ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * 0))
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
[PROOFSTEP]
rw [mul_zero] at N
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 0)
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
[PROOFSTEP]
refine' tendstoUniformlyOn_iff.2 fun ε εpos => _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ n x) < ε
[PROOFSTEP]
filter_upwards [(tendsto_order.1 N).2 ε εpos] with n hn x hx
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
n : ℕ
hn : (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n < ε
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ dist (OfNat.ofNat 0 x) ((∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n) < ε
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.zero_apply, dist_zero_left, Real.norm_of_nonneg (hnφ n x hx.1)]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
n : ℕ
hn : (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n < ε
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n < ε
[PROOFSTEP]
exact (M n x hx).trans_lt hn
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
have : Tendsto (fun i : ℕ => ∫ x : α in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀)) :=
  tendsto_set_integral_peak_smul_of_integrableOn_of_continuousWithinAt hs.measurableSet hs.measure_lt_top.ne
    (eventually_of_forall hnφ) A (eventually_of_forall hiφ) hmg hcg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
this : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
convert this
[GOAL]
case h.e'_3.h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
this : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
x✝ : ℕ
⊢ (∫ (x : α) in s, c x ^ x✝ ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ x✝ • g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, φ x✝ x • g x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [← smul_smul, integral_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
have : x₀ ∈ s := by rw [← hs.isClosed.closure_eq]; exact closure_mono interior_subset h₀
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ x₀ ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [← hs.isClosed.closure_eq]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ x₀ ∈ closure s
[PROOFSTEP]
exact closure_mono interior_subset h₀
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
[PROOFSTEP]
apply
  tendsto_set_integral_pow_smul_of_unique_maximum_of_isCompact_of_measure_nhdsWithin_pos hs _ hc h'c hnc hnc₀ this hmg
    hcg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
⊢ ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
[PROOFSTEP]
intro u u_open x₀_u
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀_u : x₀ ∈ u
⊢ 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
[PROOFSTEP]
calc
  0 < μ (u ∩ interior s) := (u_open.inter isOpen_interior).measure_pos μ (_root_.mem_closure_iff.1 h₀ u u_open x₀_u)
  _ ≤ μ (u ∩ s) := measure_mono (inter_subset_inter_right _ interior_subset)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : ContinuousOn g s
⊢ x₀ ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [← hs.isClosed.closure_eq]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : ContinuousOn g s
⊢ x₀ ∈ closure s
[PROOFSTEP]
exact closure_mono interior_subset h₀