[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ‖f x - y₀‖₊
[PROOFSTEP]
have := edist_approxOn_le hf h₀ x n
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : edist (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) (f x) ≤ edist y₀ (f x)
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ‖f x - y₀‖₊
[PROOFSTEP]
rw [edist_comm y₀] at this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : edist (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) (f x) ≤ edist (f x) y₀
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ‖f x - y₀‖₊
[PROOFSTEP]
simp only [edist_nndist, nndist_eq_nnnorm] at this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ↑‖f x - y₀‖₊
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ‖f x - y₀‖₊
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
[PROOFSTEP]
have := edist_approxOn_y0_le hf h₀ x n
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : edist y₀ (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) ≤ edist y₀ (f x) + edist y₀ (f x)
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
[PROOFSTEP]
repeat' rw [edist_comm y₀, edist_eq_coe_nnnorm_sub] at this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : edist y₀ (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) ≤ edist y₀ (f x) + edist y₀ (f x)
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
[PROOFSTEP]
rw [edist_comm y₀, edist_eq_coe_nnnorm_sub] at this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖₊ ≤ edist y₀ (f x) + edist y₀ (f x)
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
[PROOFSTEP]
rw [edist_comm y₀, edist_eq_coe_nnnorm_sub] at this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖₊ ≤ ↑‖f x - y₀‖₊ + ↑‖f x - y₀‖₊
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
[PROOFSTEP]
rw [edist_comm y₀, edist_eq_coe_nnnorm_sub] at this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖₊ ≤ ↑‖f x - y₀‖₊ + ↑‖f x - y₀‖₊
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
h₀ : 0 ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ ‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖ ≤ ‖f x‖ + ‖f x‖
[PROOFSTEP]
have := edist_approxOn_y0_le hf h₀ x n
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
h₀ : 0 ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : edist 0 (↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x) ≤ edist 0 (f x) + edist 0 (f x)
⊢ ‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖ ≤ ‖f x‖ + ‖f x‖
[PROOFSTEP]
simp [edist_comm (0 : E), edist_eq_coe_nnnorm] at this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
h₀ : 0 ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : ↑‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖₊ ≤ ↑‖f x‖₊ + ↑‖f x‖₊
⊢ ‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖ ≤ ‖f x‖ + ‖f x‖
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
by_cases hp_zero : p = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : p = 0
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simpa only [hp_zero, snorm_exponent_zero] using tendsto_const_nhds
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have hp : 0 < p.toReal := toReal_pos hp_zero hp_ne_top
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
suffices Tendsto (fun n => ∫⁻ x, (‖approxOn f hf s y₀ h₀ n x - f x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p.toReal ∂μ) atTop (𝓝 0)
  by
  simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_zero hp_ne_top]
  convert continuous_rpow_const.continuousAt.tendsto.comp this
  simp [zero_rpow_of_pos (_root_.inv_pos.mpr hp)]
    -- We simply check the conditions of the Dominated Convergence Theorem:
      -- (1) The function "`p`-th power of distance between `f` and the approximation" is measurable
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
this : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_zero hp_ne_top]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
this : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : β), ↑‖(↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p))
    atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
convert continuous_rpow_const.continuousAt.tendsto.comp this
[GOAL]
case h.e'_5.h.e'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
this : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop (𝓝 0)
⊢ 0 = 0 ^ (1 / ENNReal.toReal p)
[PROOFSTEP]
simp [zero_rpow_of_pos (_root_.inv_pos.mpr hp)]
  -- We simply check the conditions of the Dominated Convergence Theorem:
    -- (1) The function "`p`-th power of distance between `f` and the approximation" is measurable
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have hF_meas : ∀ n, Measurable fun x => (‖approxOn f hf s y₀ h₀ n x - f x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p.toReal := by
  simpa only [← edist_eq_coe_nnnorm_sub] using fun n =>
    (approxOn f hf s y₀ h₀ n).measurable_bind (fun y x => edist y (f x) ^ p.toReal) fun y =>
      (measurable_edist_right.comp hf).pow_const p.toReal
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
⊢ ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p
[PROOFSTEP]
simpa only [← edist_eq_coe_nnnorm_sub] using fun n =>
  (approxOn f hf s y₀ h₀ n).measurable_bind (fun y x => edist y (f x) ^ p.toReal) fun y =>
    (measurable_edist_right.comp hf).pow_const p.toReal
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have h_bound :
  ∀ n,
    (fun x => (‖approxOn f hf s y₀ h₀ n x - f x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p.toReal) ≤ᵐ[μ] fun x => (‖f x - y₀‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p.toReal :=
  fun n => eventually_of_forall fun x => rpow_le_rpow (coe_mono (nnnorm_approxOn_le hf h₀ x n)) toReal_nonneg
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_bound :
  ∀ (n : ℕ),
    (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ≤ᵐ[μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have h_fin : (∫⁻ a : β, (‖f a - y₀‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p.toReal ∂μ) ≠ ⊤ :=
  (lintegral_rpow_nnnorm_lt_top_of_snorm_lt_top hp_zero hp_ne_top hi).ne
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_bound :
  ∀ (n : ℕ),
    (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ≤ᵐ[μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have h_lim : ∀ᵐ a : β ∂μ, Tendsto (fun n => (‖approxOn f hf s y₀ h₀ n a - f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p.toReal) atTop (𝓝 0) :=
  by
  filter_upwards [hμ] with a ha
  have : Tendsto (fun n => (approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a) atTop (𝓝 (f a - f a)) :=
    (tendsto_approxOn hf h₀ ha).sub tendsto_const_nhds
  convert continuous_rpow_const.continuousAt.tendsto.comp (tendsto_coe.mpr this.nnnorm)
  simp [zero_rpow_of_pos hp]
    -- Then we apply the Dominated Convergence Theorem
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_bound :
  ∀ (n : ℕ),
    (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ≤ᵐ[μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (a : β) ∂μ, Tendsto (fun n => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hμ] with a ha
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_bound :
  ∀ (n : ℕ),
    (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ≤ᵐ[μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ ≠ ⊤
a : β
ha : f a ∈ closure s
⊢ Tendsto (fun n => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have : Tendsto (fun n => (approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a) atTop (𝓝 (f a - f a)) :=
  (tendsto_approxOn hf h₀ ha).sub tendsto_const_nhds
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_bound :
  ∀ (n : ℕ),
    (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ≤ᵐ[μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ ≠ ⊤
a : β
ha : f a ∈ closure s
this : Tendsto (fun n => ↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a) atTop (𝓝 (f a - f a))
⊢ Tendsto (fun n => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
convert continuous_rpow_const.continuousAt.tendsto.comp (tendsto_coe.mpr this.nnnorm)
[GOAL]
case h.e'_5.h.e'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_bound :
  ∀ (n : ℕ),
    (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ≤ᵐ[μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ ≠ ⊤
a : β
ha : f a ∈ closure s
this : Tendsto (fun n => ↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a) atTop (𝓝 (f a - f a))
⊢ 0 = ↑‖f a - f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p
[PROOFSTEP]
simp [zero_rpow_of_pos hp]
  -- Then we apply the Dominated Convergence Theorem
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < ENNReal.toReal p
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_bound :
  ∀ (n : ℕ),
    (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ≤ᵐ[μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p
h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : β) ∂μ, Tendsto (fun n => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simpa using tendsto_lintegral_of_dominated_convergence _ hF_meas h_bound h_fin h_lim
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
⊢ Memℒp (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n).aestronglyMeasurable, _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
⊢ snorm (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
suffices snorm (fun x => approxOn f fmeas s y₀ h₀ n x - y₀) p μ < ⊤
  by
  have : Memℒp (fun x => approxOn f fmeas s y₀ h₀ n x - y₀) p μ :=
    ⟨(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n - const β y₀).aestronglyMeasurable, this⟩
  convert snorm_add_lt_top this hi₀
  ext x
  simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
this : snorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
⊢ snorm (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
have : Memℒp (fun x => approxOn f fmeas s y₀ h₀ n x - y₀) p μ :=
  ⟨(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n - const β y₀).aestronglyMeasurable, this⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
this✝ : snorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
this : Memℒp (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p
⊢ snorm (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
convert snorm_add_lt_top this hi₀
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
this✝ : snorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
this : Memℒp (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p
⊢ ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) = (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) + fun x => y₀
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
this✝ : snorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
this : Memℒp (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p
x : β
⊢ ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x = ((fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) + fun x => y₀) x
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
⊢ snorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
have hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p μ :=
  by
  have h_meas : Measurable fun x => ‖f x - y₀‖ :=
    by
    simp only [← dist_eq_norm]
    exact (continuous_id.dist continuous_const).measurable.comp fmeas
  refine' ⟨h_meas.aemeasurable.aestronglyMeasurable, _⟩
  rw [snorm_norm]
  convert snorm_add_lt_top hf hi₀.neg with x
  simp [sub_eq_add_neg]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
⊢ Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p
[PROOFSTEP]
have h_meas : Measurable fun x => ‖f x - y₀‖ :=
  by
  simp only [← dist_eq_norm]
  exact (continuous_id.dist continuous_const).measurable.comp fmeas
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
⊢ Measurable fun x => ‖f x - y₀‖
[PROOFSTEP]
simp only [← dist_eq_norm]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
⊢ Measurable fun x => dist (f x) y₀
[PROOFSTEP]
exact (continuous_id.dist continuous_const).measurable.comp fmeas
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
h_meas : Measurable fun x => ‖f x - y₀‖
⊢ Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨h_meas.aemeasurable.aestronglyMeasurable, _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
h_meas : Measurable fun x => ‖f x - y₀‖
⊢ snorm (fun x => ‖f x - y₀‖) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [snorm_norm]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
h_meas : Measurable fun x => ‖f x - y₀‖
⊢ snorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
convert snorm_add_lt_top hf hi₀.neg with x
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
h_meas : Measurable fun x => ‖f x - y₀‖
x : β
⊢ f x - y₀ = (f + -fun x => y₀) x
[PROOFSTEP]
simp [sub_eq_add_neg]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p
⊢ snorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
have : ∀ᵐ x ∂μ, ‖approxOn f fmeas s y₀ h₀ n x - y₀‖ ≤ ‖‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖‖ :=
  by
  refine' eventually_of_forall _
  intro x
  convert norm_approxOn_y₀_le fmeas h₀ x n using 1
  rw [Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg]
  exact add_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ‖↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖‖
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_forall _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p
⊢ ∀ (x : β), ‖↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖‖
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p
x : β
⊢ ‖↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖‖
[PROOFSTEP]
convert norm_approxOn_y₀_le fmeas h₀ x n using 1
[GOAL]
case h.e'_4
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p
x : β
⊢ ‖‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖‖ = ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
[PROOFSTEP]
rw [Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg]
[GOAL]
case h.e'_4
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p
x : β
⊢ 0 ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
[PROOFSTEP]
exact add_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p
this : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ‖↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖‖
⊢ snorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
calc
  snorm (fun x => approxOn f fmeas s y₀ h₀ n x - y₀) p μ ≤ snorm (fun x => ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖) p μ :=
    snorm_mono_ae this
  _ < ⊤ := snorm_add_lt_top hf' hf'
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
n : ℕ
⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ Set.range f ∪ {0}) n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
refine' tendsto_approxOn_Lp_snorm fmeas _ hp_ne_top _ _
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
[PROOFSTEP]
apply eventually_of_forall
[GOAL]
case refine'_1.hp
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
⊢ ∀ (x : β), f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
case refine'_1.hp
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
x : β
⊢ f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
[PROOFSTEP]
apply subset_closure
[GOAL]
case refine'_1.hp.a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
x : β
⊢ f x ∈ Set.range f ∪ {0}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
⊢ snorm (fun x => f x - 0) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
simpa using hf
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : Memℒp f p
n : ℕ
⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : Memℒp f p
n : ℕ
⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : Memℒp f p
n : ℕ
⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : Memℒp f p
⊢ Tendsto
    (fun n =>
      Memℒp.toLp ↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ Set.range f ∪ {0}) n)
        (_ : Memℒp (↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ Set.range f ∪ {0}) n)) p))
    atTop (𝓝 (Memℒp.toLp f hf))
[PROOFSTEP]
simpa only [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp''] using tendsto_approxOn_range_Lp_snorm hp_ne_top fmeas hf.2
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, snorm (f - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
borelize E
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ ∃ g, snorm (f - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
let f' := hf.1.mk f
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
⊢ ∃ g, snorm (f - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
rsuffices ⟨g, hg, g_mem⟩ : ∃ g : β →ₛ E, snorm (f' - ⇑g) p μ < ε ∧ Memℒp g p μ
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
g : β →ₛ E
hg : snorm (f' - ↑g) p μ < ε
g_mem : Memℒp (↑g) p
⊢ ∃ g, snorm (f - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨g, _, g_mem⟩
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
g : β →ₛ E
hg : snorm (f' - ↑g) p μ < ε
g_mem : Memℒp (↑g) p
⊢ snorm (f - ↑g) p μ < ε
[PROOFSTEP]
suffices snorm (f - ⇑g) p μ = snorm (f' - ⇑g) p μ by rwa [this]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
g : β →ₛ E
hg : snorm (f' - ↑g) p μ < ε
g_mem : Memℒp (↑g) p
this : snorm (f - ↑g) p μ = snorm (f' - ↑g) p μ
⊢ snorm (f - ↑g) p μ < ε
[PROOFSTEP]
rwa [this]
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
g : β →ₛ E
hg : snorm (f' - ↑g) p μ < ε
g_mem : Memℒp (↑g) p
⊢ snorm (f - ↑g) p μ = snorm (f' - ↑g) p μ
[PROOFSTEP]
apply snorm_congr_ae
[GOAL]
case intro.intro.hfg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
g : β →ₛ E
hg : snorm (f' - ↑g) p μ < ε
g_mem : Memℒp (↑g) p
⊢ f - ↑g =ᵐ[μ] f' - ↑g
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hf.1.ae_eq_mk] with x hx
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
g : β →ₛ E
hg : snorm (f' - ↑g) p μ < ε
g_mem : Memℒp (↑g) p
x : β
hx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) x
⊢ (f - ↑g) x = (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) - ↑g) x
[PROOFSTEP]
simpa only [Pi.sub_apply, sub_left_inj] using hx
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
⊢ ∃ g, snorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
have hf' : Memℒp f' p μ := hf.ae_eq hf.1.ae_eq_mk
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
hf' : Memℒp f' p
⊢ ∃ g, snorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
have f'meas : Measurable f' := hf.1.measurable_mk
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
hf' : Memℒp f' p
f'meas : Measurable f'
⊢ ∃ g, snorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
have : SeparableSpace (range f' ∪ {0} : Set E) :=
  StronglyMeasurable.separableSpace_range_union_singleton hf.1.stronglyMeasurable_mk
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
hf' : Memℒp f' p
f'meas : Measurable f'
this : SeparableSpace ↑(Set.range f' ∪ {0})
⊢ ∃ g, snorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
rcases((tendsto_approxOn_range_Lp_snorm hp_ne_top f'meas hf'.2).eventually <| gt_mem_nhds hε.bot_lt).exists with ⟨n, hn⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
hf' : Memℒp f' p
f'meas : Measurable f'
this : SeparableSpace ↑(Set.range f' ∪ {0})
n : ℕ
hn : snorm (↑(approxOn f' f'meas (Set.range f' ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ Set.range f' ∪ {0}) n) - f') p μ < ε
⊢ ∃ g, snorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
rw [← snorm_neg, neg_sub] at hn
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)
hf' : Memℒp f' p
f'meas : Measurable f'
this : SeparableSpace ↑(Set.range f' ∪ {0})
n : ℕ
hn : snorm (f' - ↑(approxOn f' f'meas (Set.range f' ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ Set.range f' ∪ {0}) n)) p μ < ε
⊢ ∃ g, snorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p
[PROOFSTEP]
exact ⟨_, hn, memℒp_approxOn_range f'meas hf' _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : HasFiniteIntegral fun x => f x - y₀
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ∂μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simpa [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] using
  tendsto_approxOn_Lp_snorm hf h₀ one_ne_top hμ (by simpa [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] using hi)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : HasFiniteIntegral fun x => f x - y₀
⊢ snorm (fun x => f x - y₀) 1 μ < ⊤
[PROOFSTEP]
simpa [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] using hi
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Integrable fun x => y₀
n : ℕ
⊢ Integrable ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)
[PROOFSTEP]
rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hf hi₀ ⊢
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f 1
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) 1
n : ℕ
⊢ Memℒp (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) 1
[PROOFSTEP]
exact memℒp_approxOn fmeas hf h₀ hi₀ n
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
n : ℕ
x : β
⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ Set.range f ∪ {0}) n) x - f x‖₊ ∂μ)
    atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
apply tendsto_approxOn_L1_nnnorm fmeas
[GOAL]
case hμ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
[PROOFSTEP]
apply eventually_of_forall
[GOAL]
case hμ.hp
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
⊢ ∀ (x : β), f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
case hμ.hp
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
x : β
⊢ f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
[PROOFSTEP]
apply subset_closure
[GOAL]
case hμ.hp.a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
x : β
⊢ f x ∈ Set.range f ∪ {0}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case hi
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
⊢ HasFiniteIntegral fun x => f x - 0
[PROOFSTEP]
simpa using hf.2
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : Integrable f
n : ℕ
⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
p : ℝ
f : α →ₛ F
μ : Measure α
⊢ snorm' (↑f) p μ = (∑ y in SimpleFunc.range f, ↑‖y‖₊ ^ p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p)
[PROOFSTEP]
have h_map : (fun a => (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p) = f.map fun a : F => (‖a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p := by simp; rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
p : ℝ
f : α →ₛ F
μ : Measure α
⊢ (fun a => ↑‖↑f a‖₊ ^ p) = ↑(map (fun a => ↑‖a‖₊ ^ p) f)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
p : ℝ
f : α →ₛ F
μ : Measure α
⊢ (fun a => ↑‖↑f a‖₊ ^ p) = (fun a => ↑‖a‖₊ ^ p) ∘ ↑f
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
p : ℝ
f : α →ₛ F
μ : Measure α
h_map : (fun a => ↑‖↑f a‖₊ ^ p) = ↑(map (fun a => ↑‖a‖₊ ^ p) f)
⊢ snorm' (↑f) p μ = (∑ y in SimpleFunc.range f, ↑‖y‖₊ ^ p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p)
[PROOFSTEP]
rw [snorm', h_map, lintegral_eq_lintegral, map_lintegral]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
have hp_pos_real : 0 < p.toReal := ENNReal.toReal_pos hp_pos hp_ne_top
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
have hf_snorm := Memℒp.snorm_lt_top hf
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : snorm (↑f) p μ < ⊤
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [snorm_eq_snorm' hp_pos hp_ne_top, f.snorm'_eq, ←
  @ENNReal.lt_rpow_one_div_iff _ _ (1 / p.toReal) (by simp [hp_pos_real]),
  @ENNReal.top_rpow_of_pos (1 / (1 / p.toReal)) (by simp [hp_pos_real]), ENNReal.sum_lt_top_iff] at hf_snorm
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : (∑ y in SimpleFunc.range f, ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / ENNReal.toReal p) < ⊤
⊢ 0 < 1 / ENNReal.toReal p
[PROOFSTEP]
simp [hp_pos_real]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∑ y in SimpleFunc.range f, ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤ ^ (1 / (1 / ENNReal.toReal p))
⊢ 0 < 1 / (1 / ENNReal.toReal p)
[PROOFSTEP]
simp [hp_pos_real]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
by_cases hyf : y ∈ f.range
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : ¬y ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : ¬y ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
suffices h_empty : f ⁻¹' { y } = ∅
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : ¬y ∈ SimpleFunc.range f
h_empty : ↑f ⁻¹' {y} = ∅
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [h_empty, measure_empty]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : ¬y ∈ SimpleFunc.range f
h_empty : ↑f ⁻¹' {y} = ∅
⊢ 0 < ⊤
[PROOFSTEP]
exact ENNReal.coe_lt_top
[GOAL]
case h_empty
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : ¬y ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑f ⁻¹' {y} = ∅
[PROOFSTEP]
ext1 x
[GOAL]
case h_empty.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : ¬y ∈ SimpleFunc.range f
x : α
⊢ x ∈ ↑f ⁻¹' {y} ↔ x ∈ ∅
[PROOFSTEP]
rw [Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff, mem_empty_iff_false, iff_false_iff]
[GOAL]
case h_empty.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : ¬y ∈ SimpleFunc.range f
x : α
⊢ ¬↑f x = y
[PROOFSTEP]
refine' fun hxy => hyf _
[GOAL]
case h_empty.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : ¬y ∈ SimpleFunc.range f
x : α
hxy : ↑f x = y
⊢ y ∈ SimpleFunc.range f
[PROOFSTEP]
rw [mem_range, Set.mem_range]
[GOAL]
case h_empty.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : ¬y ∈ SimpleFunc.range f
x : α
hxy : ↑f x = y
⊢ ∃ y_1, ↑f y_1 = y
[PROOFSTEP]
exact ⟨x, hxy⟩
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hf_snorm : ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range f → ↑‖a‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
specialize hf_snorm y hyf
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [ENNReal.mul_lt_top_iff] at hf_snorm
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p < ⊤ ∧ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤ ∨ ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p = 0 ∨ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) = 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
cases hf_snorm with
| inl hf_snorm => exact hf_snorm.2
| inr hf_snorm =>
  cases hf_snorm with
  | inl hf_snorm =>
    refine' absurd _ hy_ne
    simpa [hp_pos_real] using hf_snorm
  | inr hf_snorm => simp [hf_snorm]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p < ⊤ ∧ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤ ∨ ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p = 0 ∨ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) = 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
cases hf_snorm with
| inl hf_snorm => exact hf_snorm.2
| inr hf_snorm =>
  cases hf_snorm with
  | inl hf_snorm =>
    refine' absurd _ hy_ne
    simpa [hp_pos_real] using hf_snorm
  | inr hf_snorm => simp [hf_snorm]
[GOAL]
case pos.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p < ⊤ ∧ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]

| inl hf_snorm => exact hf_snorm.2
[GOAL]
case pos.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p < ⊤ ∧ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
exact hf_snorm.2
[GOAL]
case pos.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p = 0 ∨ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) = 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]

| inr hf_snorm =>
  cases hf_snorm with
  | inl hf_snorm =>
    refine' absurd _ hy_ne
    simpa [hp_pos_real] using hf_snorm
  | inr hf_snorm => simp [hf_snorm]
[GOAL]
case pos.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p = 0 ∨ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) = 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
cases hf_snorm with
| inl hf_snorm =>
  refine' absurd _ hy_ne
  simpa [hp_pos_real] using hf_snorm
| inr hf_snorm => simp [hf_snorm]
[GOAL]
case pos.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p = 0 ∨ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) = 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
cases hf_snorm with
| inl hf_snorm =>
  refine' absurd _ hy_ne
  simpa [hp_pos_real] using hf_snorm
| inr hf_snorm => simp [hf_snorm]
[GOAL]
case pos.inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p = 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]

| inl hf_snorm =>
  refine' absurd _ hy_ne
  simpa [hp_pos_real] using hf_snorm
[GOAL]
case pos.inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p = 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
refine' absurd _ hy_ne
[GOAL]
case pos.inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p = 0
⊢ y = 0
[PROOFSTEP]
simpa [hp_pos_real] using hf_snorm
[GOAL]
case pos.inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) = 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]

| inr hf_snorm => simp [hf_snorm]
[GOAL]
case pos.inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < ENNReal.toReal p
hyf : y ∈ SimpleFunc.range f
hf_snorm : ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) = 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
simp [hf_snorm]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ Memℒp (↑f) p
[PROOFSTEP]
by_cases hp0 : p = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : p = 0
⊢ Memℒp (↑f) p
[PROOFSTEP]
rw [hp0, memℒp_zero_iff_aestronglyMeasurable]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : p = 0
⊢ AEStronglyMeasurable (↑f) μ
[PROOFSTEP]
exact f.aestronglyMeasurable
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
⊢ Memℒp (↑f) p
[PROOFSTEP]
by_cases hp_top : p = ∞
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : p = ⊤
⊢ Memℒp (↑f) p
[PROOFSTEP]
rw [hp_top]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : p = ⊤
⊢ Memℒp ↑f ⊤
[PROOFSTEP]
exact memℒp_top f μ
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ Memℒp (↑f) p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨f.aestronglyMeasurable, _⟩
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ snorm (↑f) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [snorm_eq_snorm' hp0 hp_top, f.snorm'_eq]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ (∑ y in SimpleFunc.range f, ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / ENNReal.toReal p) < ⊤
[PROOFSTEP]
refine' ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg (by simp) (ENNReal.sum_lt_top_iff.mpr fun y _ => _).ne
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ 0 ≤ 1 / ENNReal.toReal p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
by_cases hy0 : y = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ SimpleFunc.range f
hy0 : y = 0
⊢ ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
simp [hy0, ENNReal.toReal_pos hp0 hp_top]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ SimpleFunc.range f
hy0 : ¬y = 0
⊢ ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
refine' ENNReal.mul_lt_top _ (hf y hy0).ne
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ SimpleFunc.range f
hy0 : ¬y = 0
⊢ ↑‖y‖₊ ^ ENNReal.toReal p ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
exact (ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg ENNReal.toReal_nonneg ENNReal.coe_ne_top).ne
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
g : α →ₛ F
⊢ Integrable ↑f → Integrable ↑g → Integrable ↑(pair f g)
[PROOFSTEP]
simpa only [integrable_iff_finMeasSupp] using FinMeasSupp.pair
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ ↑↑μ (support ↑f) < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [support_eq]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ ↑↑μ (⋃ (y : β) (_ : y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
refine' (measure_biUnion_finset_le _ _).trans_lt (ENNReal.sum_lt_top_iff.mpr fun y hy => _)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
y : β
hy : y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [Finset.mem_filter] at hy
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
y : β
hy : y ∈ SimpleFunc.range f ∧ y ≠ 0
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
exact hf y hy.2
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hcs : Memℒp (↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0))) p
⊢ ↑↑μ s < ⊤
[PROOFSTEP]
have : Function.support (const α c) = Set.univ := Function.support_const hc
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hcs : Memℒp (↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0))) p
this : support ↑(const α c) = Set.univ
⊢ ↑↑μ s < ⊤
[PROOFSTEP]
simpa only [memℒp_iff_finMeasSupp hp_pos hp_ne_top, finMeasSupp_iff_support, support_indicator, Set.inter_univ,
  this] using hcs
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ ∀ {a b : { x // x ∈ Lp E p }},
    a ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f} →
      b ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f} →
        a + b ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f}
[PROOFSTEP]
rintro f g ⟨s, hs⟩ ⟨t, ht⟩
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ Lp E p }
s : α →ₛ E
hs : AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f
t : α →ₛ E
ht : AEEqFun.mk ↑t (_ : AEStronglyMeasurable (↑t) μ) = ↑g
⊢ f + g ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f}
[PROOFSTEP]
use s + t
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ Lp E p }
s : α →ₛ E
hs : AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f
t : α →ₛ E
ht : AEEqFun.mk ↑t (_ : AEStronglyMeasurable (↑t) μ) = ↑g
⊢ AEEqFun.mk ↑(s + t) (_ : AEStronglyMeasurable (↑(s + t)) μ) = ↑(f + g)
[PROOFSTEP]
simp only [← hs, ← ht, AEEqFun.mk_add_mk, AddSubgroup.coe_add, AEEqFun.mk_eq_mk, SimpleFunc.coe_add]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ ∀ {x : { x // x ∈ Lp E p }},
    x ∈
        {
              toAddSubsemigroup :=
                { carrier := {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f},
                  add_mem' :=
                    (_ :
                      ∀ {f g : { x // x ∈ Lp E p }},
                        f ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f} →
                          g ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f} →
                            f + g ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f}) },
              zero_mem' := (_ : ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑0) }.toAddSubsemigroup.carrier →
      -x ∈
        {
              toAddSubsemigroup :=
                { carrier := {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f},
                  add_mem' :=
                    (_ :
                      ∀ {f g : { x // x ∈ Lp E p }},
                        f ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f} →
                          g ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f} →
                            f + g ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f}) },
              zero_mem' := (_ : ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑0) }.toAddSubsemigroup.carrier
[PROOFSTEP]
rintro f ⟨s, hs⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ Lp E p }
s : α →ₛ E
hs : AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f
⊢ -f ∈
    {
          toAddSubsemigroup :=
            { carrier := {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f},
              add_mem' :=
                (_ :
                  ∀ {f g : { x // x ∈ Lp E p }},
                    f ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f} →
                      g ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f} →
                        f + g ∈ {f | ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f}) },
          zero_mem' := (_ : ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑0) }.toAddSubsemigroup.carrier
[PROOFSTEP]
use-s
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ Lp E p }
s : α →ₛ E
hs : AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f
⊢ AEEqFun.mk ↑(-s) (_ : AEStronglyMeasurable (↑(-s)) μ) = ↑(-f)
[PROOFSTEP]
simp only [← hs, AEEqFun.neg_mk, SimpleFunc.coe_neg, AEEqFun.mk_eq_mk, AddSubgroup.coe_neg]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ k • ↑f ∈ simpleFunc E p μ
[PROOFSTEP]
rcases f with ⟨f, ⟨s, hs⟩⟩
[GOAL]
case mk.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp E p }
s : α →ₛ E
hs : AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f
⊢ k • ↑{ val := f, property := (_ : ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f) } ∈ simpleFunc E p μ
[PROOFSTEP]
use k • s
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp E p }
s : α →ₛ E
hs : AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f
⊢ AEEqFun.mk ↑(k • s) (_ : AEStronglyMeasurable (↑(k • s)) μ) =
    ↑(k • ↑{ val := f, property := (_ : ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f) })
[PROOFSTEP]
apply Eq.trans (AEEqFun.smul_mk k s s.aestronglyMeasurable).symm _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp E p }
s : α →ₛ E
hs : AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f
⊢ k • AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) =
    ↑(k • ↑{ val := f, property := (_ : ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f) })
[PROOFSTEP]
rw [hs]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp E p }
s : α →ₛ E
hs : AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f
⊢ k • ↑f = ↑(k • ↑{ val := f, property := (_ : ∃ s, AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) = ↑f) })
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ 1 • f = f
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑(1 • f) = ↑f
[PROOFSTEP]
exact one_smul _ _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x y : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ (x * y) • f = x • y • f
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x y : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑((x * y) • f) = ↑(x • y • f)
[PROOFSTEP]
exact mul_smul _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x : 𝕜
⊢ x • 0 = 0
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x : 𝕜
⊢ ↑(x • 0) = ↑0
[PROOFSTEP]
exact smul_zero _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x : 𝕜
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ x • (f + g) = x • f + x • g
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x : 𝕜
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑(x • (f + g)) = ↑(x • f + x • g)
[PROOFSTEP]
exact smul_add _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x y : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ (x + y) • f = x • f + y • f
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x y : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑((x + y) • f) = ↑(x • f + y • f)
[PROOFSTEP]
exact add_smul _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ 0 • f = 0
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑(0 • f) = ↑0
[PROOFSTEP]
exact zero_smul _ _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p
hg : Memℒp (↑g) p
⊢ toLp (f - g) (_ : Memℒp (↑f - fun a => ↑g a) p) = toLp f hf - toLp g hg
[PROOFSTEP]
simp only [sub_eq_add_neg, ← toLp_neg, ← toLp_add]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑(toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑↑↑f
[PROOFSTEP]
convert (AEEqFun.coeFn_mk (toSimpleFunc f) (toSimpleFunc f).aestronglyMeasurable).symm using 2
[GOAL]
case h.e'_5.h.e'_6
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑↑f = AEEqFun.mk ↑(toSimpleFunc f) (_ : AEStronglyMeasurable (↑(toSimpleFunc f)) μ)
[PROOFSTEP]
exact (Classical.choose_spec f.2).symm
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p
⊢ ↑(toSimpleFunc (toLp f hfi)) =ᵐ[μ] ↑f
[PROOFSTEP]
rw [← AEEqFun.mk_eq_mk]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p
⊢ AEEqFun.mk ↑(toSimpleFunc (toLp f hfi)) ?m.1694293 = AEEqFun.mk ↑f ?m.1694294
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p
⊢ AEStronglyMeasurable (↑(toSimpleFunc (toLp f hfi))) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p
⊢ AEStronglyMeasurable (↑f) μ
[PROOFSTEP]
exact Classical.choose_spec (toLp f hfi).2
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ ↑(toSimpleFunc 0) =ᵐ[μ] 0
[PROOFSTEP]
filter_upwards [toSimpleFunc_eq_toFun (0 : Lp.simpleFunc E p μ), Lp.coeFn_zero E 1 μ] with _ h₁ _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
a✝¹ : α
h₁ : ↑(toSimpleFunc 0) a✝¹ = ↑↑↑0 a✝¹
a✝ : ↑↑0 a✝¹ = OfNat.ofNat 0 a✝¹
⊢ ↑(toSimpleFunc 0) a✝¹ = OfNat.ofNat 0 a✝¹
[PROOFSTEP]
rwa [h₁]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑(toSimpleFunc (f + g)) =ᵐ[μ] ↑(toSimpleFunc f) + ↑(toSimpleFunc g)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [toSimpleFunc_eq_toFun (f + g), toSimpleFunc_eq_toFun f, toSimpleFunc_eq_toFun g,
  Lp.coeFn_add (f : Lp E p μ) g] with _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑↑↑(f + g) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
      ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
        ↑↑(↑f + ↑g) a✝ = (↑↑↑f + ↑↑↑g) a✝ → ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = (↑(toSimpleFunc f) + ↑(toSimpleFunc g)) a✝
[PROOFSTEP]
simp only [AddSubgroup.coe_add, Pi.add_apply]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
      ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
        ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝ → ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ + ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
iterate 4 intro h; rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
      ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
        ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝ → ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ + ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h : ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
    ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
      ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝ → ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ + ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h : ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
    ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
      ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ + ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝ : ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝
h : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
    ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ + ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝ : ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝
h : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
    ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝¹ : ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝
h✝ : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
h : ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝
⊢ ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝¹ : ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝
h✝ : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
h : ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝
⊢ ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝² : ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝
h✝¹ : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
h✝ : ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝
h : ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝
⊢ ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑(toSimpleFunc (-f)) =ᵐ[μ] -↑(toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [toSimpleFunc_eq_toFun (-f), toSimpleFunc_eq_toFun f, Lp.coeFn_neg (f : Lp E p μ)] with _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑↑↑(-f) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(-↑f) a✝ = (-↑↑↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = (-↑(toSimpleFunc f)) a✝
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.neg_apply, AddSubgroup.coe_neg]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑(-↑↑f) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = -↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
repeat intro h; rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑(-↑↑f) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = -↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h : ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑(-↑↑f) a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = -↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h : ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑(-↑↑f) a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝ → ↑(-↑↑f) a✝ = -↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝ : ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑(-↑↑f) a✝
h : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
⊢ ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝ → ↑(-↑↑f) a✝ = -↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝ : ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑(-↑↑f) a✝
h : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
⊢ ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝ → ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝¹ : ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑(-↑↑f) a✝
h✝ : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
h : ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝
⊢ ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]

[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑(toSimpleFunc (f - g)) =ᵐ[μ] ↑(toSimpleFunc f) - ↑(toSimpleFunc g)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [toSimpleFunc_eq_toFun (f - g), toSimpleFunc_eq_toFun f, toSimpleFunc_eq_toFun g,
  Lp.coeFn_sub (f : Lp E p μ) g] with _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑↑↑(f - g) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
      ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
        ↑↑(↑f - ↑g) a✝ = (↑↑↑f - ↑↑↑g) a✝ → ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = (↑(toSimpleFunc f) - ↑(toSimpleFunc g)) a✝
[PROOFSTEP]
simp only [AddSubgroup.coe_sub, Pi.sub_apply]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
      ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
        ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ - ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
repeat' intro h; rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
      ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
        ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ - ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h : ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
    ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
      ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ - ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h : ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
    ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
      ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ - ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝ : ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝
h : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
    ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ - ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝ : ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝
h : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ →
    ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝¹ : ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝
h✝ : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
h : ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝
⊢ ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑(toSimpleFunc g) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝¹ : ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝
h✝ : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
h : ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝
⊢ ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝² : ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝
h✝¹ : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
h✝ : ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝
h : ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝
⊢ ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ↑(toSimpleFunc (k • f)) =ᵐ[μ] k • ↑(toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [toSimpleFunc_eq_toFun (k • f), toSimpleFunc_eq_toFun f, Lp.coeFn_smul k (f : Lp E p μ)] with _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑↑(k • f) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ →
      ↑↑(k • ↑f) a✝ = (k • ↑↑↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = (k • ↑(toSimpleFunc f)) a✝
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.smul_apply, coe_smul]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑(k • ↑f) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = k • ↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
repeat intro h; rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑(k • ↑f) a✝ →
    ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = k • ↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h : ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑(k • ↑f) a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = k • ↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h : ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑(k • ↑f) a✝
⊢ ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝ : ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑(k • ↑f) a✝
h : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
⊢ ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑(toSimpleFunc f) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝ : ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑(k • ↑f) a✝
h : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
⊢ ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
a✝ : α
h✝¹ : ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑(k • ↑f) a✝
h✝ : ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝
h : ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝
⊢ ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]

[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ‖f‖ = ENNReal.toReal (snorm (↑(toSimpleFunc f)) p μ)
[PROOFSTEP]
simpa [toLp_toSimpleFunc] using norm_toLp (toSimpleFunc f) (simpleFunc.memℒp f)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ P f
[PROOFSTEP]
suffices ∀ f : α →ₛ E, ∀ hf : Memℒp f p μ, P (toLp f hf)
  by
  rw [← toLp_toSimpleFunc f]
  apply this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
this : ∀ (f : α →ₛ E) (hf : Memℒp (↑f) p), P (toLp f hf)
⊢ P f
[PROOFSTEP]
rw [← toLp_toSimpleFunc f]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
this : ∀ (f : α →ₛ E) (hf : Memℒp (↑f) p), P (toLp f hf)
⊢ P (toLp (toSimpleFunc f) (_ : Memℒp (↑(toSimpleFunc f)) p))
[PROOFSTEP]
apply this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f : { x // x ∈ simpleFunc E p μ }
⊢ ∀ (f : α →ₛ E) (hf : Memℒp (↑f) p), P (toLp f hf)
[PROOFSTEP]
clear f
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
⊢ ∀ (f : α →ₛ E) (hf : Memℒp (↑f) p), P (toLp f hf)
[PROOFSTEP]
apply SimpleFunc.induction
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
⊢ ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s)
    (hf : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p),
    P (toLp (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) hf)
[PROOFSTEP]
intro c s hs hf
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
⊢ P (toLp (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) hf)
[PROOFSTEP]
by_cases hc : c = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : c = 0
⊢ P (toLp (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) hf)
[PROOFSTEP]
convert h_ind 0 MeasurableSet.empty (by simp) using 1
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : c = 0
⊢ ↑↑μ ∅ < ⊤
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case h.e'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : c = 0
⊢ toLp (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) hf =
    indicatorConst p (_ : MeasurableSet ∅) (_ : ↑↑μ ∅ ≠ ⊤) 0
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case h.e'_1.a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : c = 0
⊢ ↑(toLp (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) hf) =
    ↑(indicatorConst p (_ : MeasurableSet ∅) (_ : ↑↑μ ∅ ≠ ⊤) 0)
[PROOFSTEP]
simp [hc]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : ¬c = 0
⊢ P (toLp (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) hf)
[PROOFSTEP]
exact h_ind c hs (SimpleFunc.measure_lt_top_of_memℒp_indicator hp_pos hp_ne_top hc hs hf)
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
⊢ ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄,
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) →
      (∀ (hf : Memℒp (↑f) p), P (toLp f hf)) →
        (∀ (hf : Memℒp (↑g) p), P (toLp g hf)) → ∀ (hf : Memℒp (↑(f + g)) p), P (toLp (f + g) hf)
[PROOFSTEP]
intro f g hfg hf hg hfg'
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f g : α →ₛ E
hfg : Disjoint (support ↑f) (support ↑g)
hf : ∀ (hf : Memℒp (↑f) p), P (toLp f hf)
hg : ∀ (hf : Memℒp (↑g) p), P (toLp g hf)
hfg' : Memℒp (↑(f + g)) p
⊢ P (toLp (f + g) hfg')
[PROOFSTEP]
obtain ⟨hf', hg'⟩ : Memℒp f p μ ∧ Memℒp g p μ :=
  (memℒp_add_of_disjoint hfg f.stronglyMeasurable g.stronglyMeasurable).mp hfg'
[GOAL]
case h_add.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ simpleFunc E p μ } → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f g : α →ₛ E
hfg : Disjoint (support ↑f) (support ↑g)
hf : ∀ (hf : Memℒp (↑f) p), P (toLp f hf)
hg : ∀ (hf : Memℒp (↑g) p), P (toLp g hf)
hfg' : Memℒp (↑(f + g)) p
hf' : Memℒp (↑f) p
hg' : Memℒp (↑g) p
⊢ P (toLp (f + g) hfg')
[PROOFSTEP]
exact h_add hf' hg' hfg (hf hf') (hg hg')
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ DenseEmbedding Subtype.val
[PROOFSTEP]
borelize E
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ DenseEmbedding Subtype.val
[PROOFSTEP]
apply simpleFunc.uniformEmbedding.denseEmbedding
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ DenseRange Subtype.val
[PROOFSTEP]
intro f
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : { x // x ∈ Lp E p }
⊢ f ∈ closure (Set.range Subtype.val)
[PROOFSTEP]
rw [mem_closure_iff_seq_limit]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : { x // x ∈ Lp E p }
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)
[PROOFSTEP]
have hfi' : Memℒp f p μ := Lp.memℒp f
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : { x // x ∈ Lp E p }
hfi' : Memℒp (↑↑f) p
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)
[PROOFSTEP]
haveI : SeparableSpace (range f ∪ {0} : Set E) := (Lp.stronglyMeasurable f).separableSpace_range_union_singleton
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : { x // x ∈ Lp E p }
hfi' : Memℒp (↑↑f) p
this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨fun n =>
    toLp (SimpleFunc.approxOn f (Lp.stronglyMeasurable f).measurable (range f ∪ {0}) 0 _ n)
      (SimpleFunc.memℒp_approxOn_range (Lp.stronglyMeasurable f).measurable hfi' n),
    fun n => mem_range_self _, _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : { x // x ∈ Lp E p }
hfi' : Memℒp (↑↑f) p
this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})
⊢ Tendsto
    (fun n =>
      ↑(toLp (SimpleFunc.approxOn ↑↑f (_ : Measurable ↑↑f) (Set.range ↑↑f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ Set.range ↑↑f ∪ {0}) n)
          (_ :
            Memℒp
              (↑(SimpleFunc.approxOn ↑↑f (_ : Measurable ↑↑f) (Set.range ↑↑f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ Set.range ↑↑f ∪ {0}) n))
              p)))
    atTop (𝓝 f)
[PROOFSTEP]
convert SimpleFunc.tendsto_approxOn_range_Lp hp_ne_top (Lp.stronglyMeasurable f).measurable hfi'
[GOAL]
case h.e'_5.h.e'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : { x // x ∈ Lp E p }
hfi' : Memℒp (↑↑f) p
this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})
⊢ f = Memℒp.toLp (↑↑f) hfi'
[PROOFSTEP]
rw [toLp_coeFn f (Lp.memℒp f)]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g : { x // x ∈ simpleFunc G p μ }
⊢ ↑↑↑f ≤ᵐ[μ] ↑↑↑g ↔ f ≤ g
[PROOFSTEP]
rw [← Subtype.coe_le_coe, ← Lp.coeFn_le]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
⊢ CovariantClass { x // x ∈ simpleFunc G p μ } { x // x ∈ simpleFunc G p μ } (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun f g₁ g₂ hg₁₂ => _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g₁ g₂ : { x // x ∈ simpleFunc G p μ }
hg₁₂ : g₁ ≤ g₂
⊢ f + g₁ ≤ f + g₂
[PROOFSTEP]
rw [← Lp.simpleFunc.coeFn_le] at hg₁₂ ⊢
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g₁ g₂ : { x // x ∈ simpleFunc G p μ }
hg₁₂ : ↑↑↑g₁ ≤ᵐ[μ] ↑↑↑g₂
⊢ ↑↑↑(f + g₁) ≤ᵐ[μ] ↑↑↑(f + g₂)
[PROOFSTEP]
have h_add_1 : ((f + g₁ : Lp.simpleFunc G p μ) : α → G) =ᵐ[μ] (f : α → G) + g₁ := Lp.coeFn_add _ _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g₁ g₂ : { x // x ∈ simpleFunc G p μ }
hg₁₂ : ↑↑↑g₁ ≤ᵐ[μ] ↑↑↑g₂
h_add_1 : ↑↑↑(f + g₁) =ᵐ[μ] ↑↑↑f + ↑↑↑g₁
⊢ ↑↑↑(f + g₁) ≤ᵐ[μ] ↑↑↑(f + g₂)
[PROOFSTEP]
have h_add_2 : ((f + g₂ : Lp.simpleFunc G p μ) : α → G) =ᵐ[μ] (f : α → G) + g₂ := Lp.coeFn_add _ _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g₁ g₂ : { x // x ∈ simpleFunc G p μ }
hg₁₂ : ↑↑↑g₁ ≤ᵐ[μ] ↑↑↑g₂
h_add_1 : ↑↑↑(f + g₁) =ᵐ[μ] ↑↑↑f + ↑↑↑g₁
h_add_2 : ↑↑↑(f + g₂) =ᵐ[μ] ↑↑↑f + ↑↑↑g₂
⊢ ↑↑↑(f + g₁) ≤ᵐ[μ] ↑↑↑(f + g₂)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [h_add_1, h_add_2, hg₁₂] with _ h1 h2 h3
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g₁ g₂ : { x // x ∈ simpleFunc G p μ }
hg₁₂ : ↑↑↑g₁ ≤ᵐ[μ] ↑↑↑g₂
h_add_1 : ↑↑↑(f + g₁) =ᵐ[μ] ↑↑↑f + ↑↑↑g₁
h_add_2 : ↑↑↑(f + g₂) =ᵐ[μ] ↑↑↑f + ↑↑↑g₂
a✝ : α
h1 : ↑↑↑(f + g₁) a✝ = (↑↑↑f + ↑↑↑g₁) a✝
h2 : ↑↑↑(f + g₂) a✝ = (↑↑↑f + ↑↑↑g₂) a✝
h3 : ↑↑↑g₁ a✝ ≤ ↑↑↑g₂ a✝
⊢ ↑↑↑(f + g₁) a✝ ≤ ↑↑↑(f + g₂) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h1, h2, Pi.add_apply, Pi.add_apply]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g₁ g₂ : { x // x ∈ simpleFunc G p μ }
hg₁₂ : ↑↑↑g₁ ≤ᵐ[μ] ↑↑↑g₂
h_add_1 : ↑↑↑(f + g₁) =ᵐ[μ] ↑↑↑f + ↑↑↑g₁
h_add_2 : ↑↑↑(f + g₂) =ᵐ[μ] ↑↑↑f + ↑↑↑g₂
a✝ : α
h1 : ↑↑↑(f + g₁) a✝ = (↑↑↑f + ↑↑↑g₁) a✝
h2 : ↑↑↑(f + g₂) a✝ = (↑↑↑f + ↑↑↑g₂) a✝
h3 : ↑↑↑g₁ a✝ ≤ ↑↑↑g₂ a✝
⊢ ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g₁ a✝ ≤ ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g₂ a✝
[PROOFSTEP]
exact add_le_add le_rfl h3
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f : { x // x ∈ simpleFunc G p μ }
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑↑f ↔ 0 ≤ f
[PROOFSTEP]
rw [← Subtype.coe_le_coe, Lp.coeFn_nonneg, AddSubmonoid.coe_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f : { x // x ∈ simpleFunc G p μ }
hf : 0 ≤ f
⊢ ∃ f', 0 ≤ f' ∧ ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑f'
[PROOFSTEP]
rcases f with ⟨⟨f, hp⟩, g, (rfl : _ = f)⟩
[GOAL]
case mk.mk.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
g : α →ₛ G
hp : AEEqFun.mk ↑g (_ : AEStronglyMeasurable (↑g) μ) ∈ Lp G p
hf :
  0 ≤
    { val := { val := AEEqFun.mk ↑g (_ : AEStronglyMeasurable (↑g) μ), property := hp },
      property :=
        (_ :
          ∃ s,
            AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) =
              ↑{ val := AEEqFun.mk ↑g (_ : AEStronglyMeasurable (↑g) μ), property := hp }) }
⊢ ∃ f',
    0 ≤ f' ∧
      ↑↑↑{ val := { val := AEEqFun.mk ↑g (_ : AEStronglyMeasurable (↑g) μ), property := hp },
                property :=
                  (_ :
                    ∃ s,
                      AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) =
                        ↑{ val := AEEqFun.mk ↑g (_ : AEStronglyMeasurable (↑g) μ), property := hp }) } =ᵐ[μ]
        ↑f'
[PROOFSTEP]
change 0 ≤ᵐ[μ] g at hf
[GOAL]
case mk.mk.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
g : α →ₛ G
hp : AEEqFun.mk ↑g (_ : AEStronglyMeasurable (↑g) μ) ∈ Lp G p
hf : 0 ≤ᵐ[μ] ↑g
⊢ ∃ f',
    0 ≤ f' ∧
      ↑↑↑{ val := { val := AEEqFun.mk ↑g (_ : AEStronglyMeasurable (↑g) μ), property := hp },
                property :=
                  (_ :
                    ∃ s,
                      AEEqFun.mk ↑s (_ : AEStronglyMeasurable (↑s) μ) =
                        ↑{ val := AEEqFun.mk ↑g (_ : AEStronglyMeasurable (↑g) μ), property := hp }) } =ᵐ[μ]
        ↑f'
[PROOFSTEP]
refine ⟨g ⊔ 0, le_sup_right, (AEEqFun.coeFn_mk _ _).trans ?_⟩
[GOAL]
case mk.mk.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
g : α →ₛ G
hp : AEEqFun.mk ↑g (_ : AEStronglyMeasurable (↑g) μ) ∈ Lp G p
hf : 0 ≤ᵐ[μ] ↑g
⊢ ↑g =ᵐ[μ] ↑(g ⊔ 0)
[PROOFSTEP]
exact hf.mono fun x hx ↦ (sup_of_le_left hx).symm
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
⊢ g ∈ closure (Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G))
[PROOFSTEP]
borelize G
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
⊢ g ∈ closure (Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G))
[PROOFSTEP]
rw [mem_closure_iff_seq_limit]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
have hg_memℒp : Memℒp (g : α → G) p μ := Lp.memℒp (g : Lp G p μ)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
have zero_mem : (0 : G) ∈ (range (g : α → G) ∪ {0} : Set G) ∩ {y | 0 ≤ y} := by
  simp only [union_singleton, mem_inter_iff, mem_insert_iff, eq_self_iff_true, true_or_iff, mem_setOf_eq, le_refl,
    and_self_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
⊢ 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
[PROOFSTEP]
simp only [union_singleton, mem_inter_iff, mem_insert_iff, eq_self_iff_true, true_or_iff, mem_setOf_eq, le_refl,
  and_self_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
have : SeparableSpace ((range (g : α → G) ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y} : Set G) :=
  by
  apply IsSeparable.separableSpace
  apply IsSeparable.mono _ (Set.inter_subset_left _ _)
  exact (Lp.stronglyMeasurable (g : Lp G p μ)).isSeparable_range.union (finite_singleton _).isSeparable
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
⊢ SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
[PROOFSTEP]
apply IsSeparable.separableSpace
[GOAL]
case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
⊢ IsSeparable ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
[PROOFSTEP]
apply IsSeparable.mono _ (Set.inter_subset_left _ _)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
⊢ IsSeparable (Set.range ↑↑↑g ∪ {0})
[PROOFSTEP]
exact (Lp.stronglyMeasurable (g : Lp G p μ)).isSeparable_range.union (finite_singleton _).isSeparable
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
have g_meas : Measurable (g : α → G) := (Lp.stronglyMeasurable (g : Lp G p μ)).measurable
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
let x n := SimpleFunc.approxOn g g_meas ((range (g : α → G) ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
have hx_nonneg : ∀ n, 0 ≤ x n := by
  intro n a
  change x n a ∈ {y : G | 0 ≤ y}
  have A : (range (g : α → G) ∪ {0} : Set G) ∩ {y | 0 ≤ y} ⊆ {y | 0 ≤ y} := inter_subset_right _ _
  apply A
  exact SimpleFunc.approxOn_mem g_meas _ n a
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
[PROOFSTEP]
intro n a
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
n : ℕ
a : α
⊢ ↑0 a ≤ ↑(x n) a
[PROOFSTEP]
change x n a ∈ {y : G | 0 ≤ y}
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
n : ℕ
a : α
⊢ ↑(x n) a ∈ {y | 0 ≤ y}
[PROOFSTEP]
have A : (range (g : α → G) ∪ {0} : Set G) ∩ {y | 0 ≤ y} ⊆ {y | 0 ≤ y} := inter_subset_right _ _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
n : ℕ
a : α
A : (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y} ⊆ {y | 0 ≤ y}
⊢ ↑(x n) a ∈ {y | 0 ≤ y}
[PROOFSTEP]
apply A
[GOAL]
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
n : ℕ
a : α
A : (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y} ⊆ {y | 0 ≤ y}
⊢ ↑(x n) a ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
[PROOFSTEP]
exact SimpleFunc.approxOn_mem g_meas _ n a
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
have hx_memℒp : ∀ n, Memℒp (x n) p μ := SimpleFunc.memℒp_approxOn _ hg_memℒp _ ⟨aestronglyMeasurable_const, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
⊢ snorm (fun x => 0) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
have h_toLp := fun n => Memℒp.coeFn_toLp (hx_memℒp n)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
have hx_nonneg_Lp : ∀ n, 0 ≤ toLp (x n) (hx_memℒp n) := by
  intro n
  rw [← Lp.simpleFunc.coeFn_le, Lp.simpleFunc.toLp_eq_toLp]
  filter_upwards [Lp.simpleFunc.coeFn_zero p μ G, h_toLp n] with a ha0 ha_toLp
  rw [ha0, ha_toLp]
  exact hx_nonneg n a
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
[PROOFSTEP]
intro n
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
n : ℕ
⊢ 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
[PROOFSTEP]
rw [← Lp.simpleFunc.coeFn_le, Lp.simpleFunc.toLp_eq_toLp]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
n : ℕ
⊢ ↑↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p))
[PROOFSTEP]
filter_upwards [Lp.simpleFunc.coeFn_zero p μ G, h_toLp n] with a ha0 ha_toLp
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
n : ℕ
a : α
ha0 : ↑↑↑0 a = OfNat.ofNat 0 a
ha_toLp :
  ↑↑(Memℒp.toLp ↑(SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n)
            (_ : Memℒp (↑(x n)) p))
      a =
    ↑(SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n) a
⊢ ↑↑↑0 a ≤
    ↑↑(Memℒp.toLp ↑(SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n)
            (_ : Memℒp (↑(x n)) p))
      a
[PROOFSTEP]
rw [ha0, ha_toLp]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
n : ℕ
a : α
ha0 : ↑↑↑0 a = OfNat.ofNat 0 a
ha_toLp :
  ↑↑(Memℒp.toLp ↑(SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n)
            (_ : Memℒp (↑(x n)) p))
      a =
    ↑(SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n) a
⊢ OfNat.ofNat 0 a ≤ ↑(SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n) a
[PROOFSTEP]
exact hx_nonneg n a
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
have hx_tendsto : Tendsto (fun n : ℕ => snorm ((x n : α → G) - (g : α → G)) p μ) atTop (𝓝 0) :=
  by
  apply SimpleFunc.tendsto_approxOn_Lp_snorm g_meas zero_mem hp_ne_top
  · have hg_nonneg : (0 : α → G) ≤ᵐ[μ] g := (Lp.coeFn_nonneg _).mpr g.2
    refine' hg_nonneg.mono fun a ha => subset_closure _
    simpa using ha
  · simp_rw [sub_zero]; exact hg_memℒp.snorm_lt_top
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
apply SimpleFunc.tendsto_approxOn_Lp_snorm g_meas zero_mem hp_ne_top
[GOAL]
case hμ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑↑↑g x ∈ closure ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
[PROOFSTEP]
have hg_nonneg : (0 : α → G) ≤ᵐ[μ] g := (Lp.coeFn_nonneg _).mpr g.2
[GOAL]
case hμ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hg_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑↑g
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑↑↑g x ∈ closure ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
[PROOFSTEP]
refine' hg_nonneg.mono fun a ha => subset_closure _
[GOAL]
case hμ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hg_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑↑g
a : α
ha : OfNat.ofNat 0 a ≤ ↑↑↑g a
⊢ ↑↑↑g a ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
[PROOFSTEP]
simpa using ha
[GOAL]
case hi
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
⊢ snorm (fun x => ↑↑↑g x - 0) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
simp_rw [sub_zero]
[GOAL]
case hi
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
⊢ snorm (fun x => ↑↑↑g x) p μ < ⊤
[PROOFSTEP]
exact hg_memℒp.snorm_lt_top
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨fun n => (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G) ⟨toLp (x n) (hx_memℒp n), hx_nonneg_Lp n⟩, fun n => mem_range_self _,
    _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto
    (fun n =>
      coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G
        { val := toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p), property := (_ : 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) })
    atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
suffices Tendsto (fun n : ℕ => (toLp (x n) (hx_memℒp n) : Lp G p μ)) atTop (𝓝 (g : Lp G p μ))
  by
  rw [tendsto_iff_dist_tendsto_zero] at this ⊢
  simp_rw [Subtype.dist_eq]
  exact this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝² : MeasurableSpace G := borel G
this✝¹ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this✝ : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => ↑(toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p))) atTop (𝓝 ↑g)
⊢ Tendsto
    (fun n =>
      coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G
        { val := toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p), property := (_ : 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) })
    atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
rw [tendsto_iff_dist_tendsto_zero] at this ⊢
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝² : MeasurableSpace G := borel G
this✝¹ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this✝ : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun b => dist ↑(toLp (x b) (_ : Memℒp (↑(x b)) p)) ↑g) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto
    (fun b =>
      dist
        (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G
          { val := toLp (x b) (_ : Memℒp (↑(x b)) p), property := (_ : 0 ≤ toLp (x b) (_ : Memℒp (↑(x b)) p)) })
        g)
    atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simp_rw [Subtype.dist_eq]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝² : MeasurableSpace G := borel G
this✝¹ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this✝ : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun b => dist ↑(toLp (x b) (_ : Memℒp (↑(x b)) p)) ↑g) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto
    (fun b =>
      dist
        ↑(coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G
            {
              val :=
                toLp (SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem b)
                  (_ : Memℒp (↑(x b)) p),
              property := (_ : 0 ≤ toLp (x b) (_ : Memℒp (↑(x b)) p)) })
        ↑g)
    atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
exact this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => ↑(toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p))) atTop (𝓝 ↑g)
[PROOFSTEP]
rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑↑↑(toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
refine Filter.Tendsto.congr (fun n => snorm_congr_ae (EventuallyEq.sub ?_ ?_)) hx_tendsto
[GOAL]
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ (fun x_1 => ↑(x n) x_1) =ᵐ[μ] fun x_1 => ↑↑↑(toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) x_1
[PROOFSTEP]
symm
[GOAL]
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ (fun x_1 => ↑↑↑(toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) x_1) =ᵐ[μ] fun x_1 => ↑(x n) x_1
[PROOFSTEP]
rw [Lp.simpleFunc.toLp_eq_toLp]
[GOAL]
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ (fun x_1 => ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) x_1) =ᵐ[μ] fun x_1 => ↑(x n) x_1
[PROOFSTEP]
exact h_toLp n
[GOAL]
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)) =ᵐ[μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) (_ : Memℒp (↑(x n)) p)
hx_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ (fun x => ↑↑↑g x) =ᵐ[μ] fun x => ↑↑↑g x
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ Lp E p } → Prop
h_ind :
  ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p) (hg : Memℒp g p),
    Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
⊢ ∀ (f : { x // x ∈ Lp E p }), P f
[PROOFSTEP]
refine' fun f => (Lp.simpleFunc.denseRange hp_ne_top).induction_on f h_closed _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ Lp E p } → Prop
h_ind :
  ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p) (hg : Memℒp g p),
    Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
f : { x // x ∈ Lp E p }
⊢ ∀ (a : { x // x ∈ ↑(simpleFunc E p μ) }), P ↑a
[PROOFSTEP]
refine' Lp.simpleFunc.induction (α := α) (E := E) (lt_of_lt_of_le zero_lt_one _i.elim).ne' hp_ne_top _ _
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ Lp E p } → Prop
h_ind :
  ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p) (hg : Memℒp g p),
    Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
f : { x // x ∈ Lp E p }
⊢ ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
[PROOFSTEP]
exact fun c s => h_ind c
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : { x // x ∈ Lp E p } → Prop
h_ind :
  ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p) (hg : Memℒp g p),
    Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
f : { x // x ∈ Lp E p }
⊢ ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p) (hg : Memℒp (↑g) p),
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) →
      P ↑(simpleFunc.toLp f hf) → P ↑(simpleFunc.toLp g hg) → P ↑(simpleFunc.toLp f hf + simpleFunc.toLp g hg)
[PROOFSTEP]
exact fun f g hf hg => h_add hf hg
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Memℒp f p → P f
[PROOFSTEP]
have : ∀ f : SimpleFunc α E, Memℒp f p μ → P f :=
  by
  apply SimpleFunc.induction
  · intro c s hs h
    by_cases hc : c = 0
    · subst hc; convert h_ind 0 MeasurableSet.empty (by simp) using 1; ext; simp [const]
    have hp_pos : p ≠ 0 := (lt_of_lt_of_le zero_lt_one _i.elim).ne'
    exact h_ind c hs (SimpleFunc.measure_lt_top_of_memℒp_indicator hp_pos hp_ne_top hc hs h)
  · intro f g hfg hf hg int_fg
    rw [SimpleFunc.coe_add, memℒp_add_of_disjoint hfg f.stronglyMeasurable g.stronglyMeasurable] at int_fg
    refine' h_add hfg int_fg.1 int_fg.2 (hf int_fg.1) (hg int_fg.2)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
⊢ ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p → P ↑f
[PROOFSTEP]
apply SimpleFunc.induction
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
⊢ ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s),
    Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p →
      P ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))
[PROOFSTEP]
intro c s hs h
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
⊢ P ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))
[PROOFSTEP]
by_cases hc : c = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : c = 0
⊢ P ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))
[PROOFSTEP]
subst hc
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
⊢ P ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))
[PROOFSTEP]
convert h_ind 0 MeasurableSet.empty (by simp) using 1
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
⊢ ↑↑μ ∅ < ⊤
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case h.e'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
⊢ ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0)) = Set.indicator ∅ fun x => 0
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h.e'_1.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
x✝ : α
⊢ ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0)) x✝ = Set.indicator ∅ (fun x => 0) x✝
[PROOFSTEP]
simp [const]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : ¬c = 0
⊢ P ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))
[PROOFSTEP]
have hp_pos : p ≠ 0 := (lt_of_lt_of_le zero_lt_one _i.elim).ne'
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : ¬c = 0
hp_pos : p ≠ 0
⊢ P ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))
[PROOFSTEP]
exact h_ind c hs (SimpleFunc.measure_lt_top_of_memℒp_indicator hp_pos hp_ne_top hc hs h)
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
⊢ ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄,
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → (Memℒp (↑f) p → P ↑f) → (Memℒp (↑g) p → P ↑g) → Memℒp (↑(f + g)) p → P ↑(f + g)
[PROOFSTEP]
intro f g hfg hf hg int_fg
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
f g : α →ₛ E
hfg : Disjoint (support ↑f) (support ↑g)
hf : Memℒp (↑f) p → P ↑f
hg : Memℒp (↑g) p → P ↑g
int_fg : Memℒp (↑(f + g)) p
⊢ P ↑(f + g)
[PROOFSTEP]
rw [SimpleFunc.coe_add, memℒp_add_of_disjoint hfg f.stronglyMeasurable g.stronglyMeasurable] at int_fg
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
f g : α →ₛ E
hfg : Disjoint (support ↑f) (support ↑g)
hf : Memℒp (↑f) p → P ↑f
hg : Memℒp (↑g) p → P ↑g
int_fg : Memℒp (↑f) p ∧ Memℒp (↑g) p
⊢ P ↑(f + g)
[PROOFSTEP]
refine' h_add hfg int_fg.1 int_fg.2 (hf int_fg.1) (hg int_fg.2)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
this : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p → P ↑f
⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Memℒp f p → P f
[PROOFSTEP]
have : ∀ f : Lp.simpleFunc E p μ, P f := by
  intro f
  exact
    h_ae (Lp.simpleFunc.toSimpleFunc_eq_toFun f) (Lp.simpleFunc.memℒp f)
      (this (Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) (Lp.simpleFunc.memℒp f))
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
this : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p → P ↑f
⊢ ∀ (f : { x // x ∈ Lp.simpleFunc E p μ }), P ↑↑↑f
[PROOFSTEP]
intro f
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
this : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p → P ↑f
f : { x // x ∈ Lp.simpleFunc E p μ }
⊢ P ↑↑↑f
[PROOFSTEP]
exact
  h_ae (Lp.simpleFunc.toSimpleFunc_eq_toFun f) (Lp.simpleFunc.memℒp f)
    (this (Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) (Lp.simpleFunc.memℒp f))
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
this✝ : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p → P ↑f
this : ∀ (f : { x // x ∈ Lp.simpleFunc E p μ }), P ↑↑↑f
⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Memℒp f p → P f
[PROOFSTEP]
have : ∀ f : Lp E p μ, P f := fun f => (Lp.simpleFunc.denseRange hp_ne_top).induction_on f h_closed this
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (Set.indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p → Memℒp g p → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f p → P f → P g
this✝¹ : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p → P ↑f
this✝ : ∀ (f : { x // x ∈ Lp.simpleFunc E p μ }), P ↑↑↑f
this : ∀ (f : { x // x ∈ Lp E p }), P ↑↑f
⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Memℒp f p → P f
[PROOFSTEP]
exact fun f hf => h_ae hf.coeFn_toLp (Lp.memℒp _) (this (hf.toLp f))
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
rcases eq_or_ne p 0 with (rfl | hp_pos)
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_ne_top : 0 ≠ ⊤
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) 0 μ ≤ ε ∧ P g
hf : Memℒp f 0
⊢ ∃ g, snorm (f - g) 0 μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
rcases h0P (0 : E) MeasurableSet.empty (by simp only [measure_empty, WithTop.zero_lt_top]) hε with ⟨g, _, Pg⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_ne_top : 0 ≠ ⊤
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) 0 μ ≤ ε ∧ P g
hf : Memℒp f 0
⊢ ↑↑μ ∅ < ⊤
[PROOFSTEP]
simp only [measure_empty, WithTop.zero_lt_top]
[GOAL]
case inl.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_ne_top : 0 ≠ ⊤
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) 0 μ ≤ ε ∧ P g
hf : Memℒp f 0
g : α → E
left✝ : snorm (g - Set.indicator ∅ fun x => 0) 0 μ ≤ ε
Pg : P g
⊢ ∃ g, snorm (f - g) 0 μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
exact ⟨g, by simp only [snorm_exponent_zero, zero_le'], Pg⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_ne_top : 0 ≠ ⊤
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) 0 μ ≤ ε ∧ P g
hf : Memℒp f 0
g : α → E
left✝ : snorm (g - Set.indicator ∅ fun x => 0) 0 μ ≤ ε
Pg : P g
⊢ snorm (f - g) 0 μ ≤ ε
[PROOFSTEP]
simp only [snorm_exponent_zero, zero_le']
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
⊢ ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
suffices H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞) (hδ : δ ≠ 0), Memℒp f' p μ → ∃ g, snorm (⇑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
⊢ ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
obtain ⟨η, ηpos, hη⟩ := exists_Lp_half E μ p hε
[GOAL]
case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < ε
⊢ ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
rcases hf.exists_simpleFunc_snorm_sub_lt hp_ne_top ηpos.ne' with ⟨f', hf', f'_mem⟩
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < ε
f' : α →ₛ E
hf' : snorm (f - ↑f') p μ < η
f'_mem : Memℒp (↑f') p
⊢ ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
rcases H f' η ηpos.ne' f'_mem with ⟨g, hg, Pg⟩
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < ε
f' : α →ₛ E
hf' : snorm (f - ↑f') p μ < η
f'_mem : Memℒp (↑f') p
g : α → E
hg : snorm (↑f' - g) p μ ≤ η
Pg : P g
⊢ ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
refine' ⟨g, _, Pg⟩
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < ε
f' : α →ₛ E
hf' : snorm (f - ↑f') p μ < η
f'_mem : Memℒp (↑f') p
g : α → E
hg : snorm (↑f' - g) p μ ≤ η
Pg : P g
⊢ snorm (f - g) p μ ≤ ε
[PROOFSTEP]
convert
  (hη _ _ (hf.aestronglyMeasurable.sub f'.aestronglyMeasurable) (f'.aestronglyMeasurable.sub (h2P g Pg)) hf'.le
      hg).le using
  2
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < ε
f' : α →ₛ E
hf' : snorm (f - ↑f') p μ < η
f'_mem : Memℒp (↑f') p
g : α → E
hg : snorm (↑f' - g) p μ ≤ η
Pg : P g
⊢ f - g = f - ↑f' + (↑f' - g)
[PROOFSTEP]
simp only [sub_add_sub_cancel]
[GOAL]
case H
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
⊢ ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
[PROOFSTEP]
apply SimpleFunc.induction
[GOAL]
case H.h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
⊢ ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (δ : ℝ≥0∞),
    δ ≠ 0 →
      Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p →
        ∃ g, snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ δ ∧ P g
[PROOFSTEP]
intro c s hs ε εpos Hs
[GOAL]
case H.h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
⊢ ∃ g, snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
rcases eq_or_ne c 0 with (rfl | hc)
[GOAL]
case H.h_ind.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
⊢ ∃ g, snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
rcases h0P (0 : E) MeasurableSet.empty (by simp only [measure_empty, WithTop.zero_lt_top]) εpos with ⟨g, hg, Pg⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
⊢ ↑↑μ ∅ < ⊤
[PROOFSTEP]
simp only [measure_empty, WithTop.zero_lt_top]
[GOAL]
case H.h_ind.inl.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
g : α → E
hg : snorm (g - Set.indicator ∅ fun x => 0) p μ ≤ ε
Pg : P g
⊢ ∃ g, snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
rw [← snorm_neg, neg_sub] at hg
[GOAL]
case H.h_ind.inl.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
g : α → E
hg : snorm ((Set.indicator ∅ fun x => 0) - g) p μ ≤ ε
Pg : P g
⊢ ∃ g, snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
refine' ⟨g, _, Pg⟩
[GOAL]
case H.h_ind.inl.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
g : α → E
hg : snorm ((Set.indicator ∅ fun x => 0) - g) p μ ≤ ε
Pg : P g
⊢ snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ ε
[PROOFSTEP]
convert hg
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5.h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
g : α → E
hg : snorm ((Set.indicator ∅ fun x => 0) - g) p μ ≤ ε
Pg : P g
⊢ ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0)) = Set.indicator ∅ fun x => 0
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5.h.e'_5.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0))) p
g : α → E
hg : snorm ((Set.indicator ∅ fun x => 0) - g) p μ ≤ ε
Pg : P g
x : α
⊢ ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α 0) (SimpleFunc.const α 0)) x = Set.indicator ∅ (fun x => 0) x
[PROOFSTEP]
simp only [SimpleFunc.const_zero, SimpleFunc.coe_piecewise, SimpleFunc.coe_zero, piecewise_eq_indicator,
  indicator_zero', Pi.zero_apply, indicator_zero]
[GOAL]
case H.h_ind.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : c ≠ 0
⊢ ∃ g, snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
have : μ s < ∞ := SimpleFunc.measure_lt_top_of_memℒp_indicator hp_pos hp_ne_top hc hs Hs
[GOAL]
case H.h_ind.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : c ≠ 0
this : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ∃ g, snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
rcases h0P c hs this εpos with ⟨g, hg, Pg⟩
[GOAL]
case H.h_ind.inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : c ≠ 0
this : ↑↑μ s < ⊤
g : α → E
hg : snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε
Pg : P g
⊢ ∃ g, snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
rw [← snorm_neg, neg_sub] at hg
[GOAL]
case H.h_ind.inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε✝ : ℝ≥0∞
hε : ε✝ ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
Hs : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p
hc : c ≠ 0
this : ↑↑μ s < ⊤
g : α → E
hg : snorm ((Set.indicator s fun x => c) - g) p μ ≤ ε
Pg : P g
⊢ ∃ g, snorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ ε ∧ P g
[PROOFSTEP]
exact ⟨g, hg, Pg⟩
[GOAL]
case H.h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
⊢ ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄,
    Disjoint (support ↑f) (support ↑g) →
      (∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g) →
        (∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑g) p → ∃ g_1, snorm (↑g - g_1) p μ ≤ δ ∧ P g_1) →
          ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑(f + g)) p → ∃ g_1, snorm (↑(f + g) - g_1) p μ ≤ δ ∧ P g_1
[PROOFSTEP]
intro f f' hff' hf hf' δ δpos int_ff'
[GOAL]
case H.h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝¹ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : Memℒp f✝ p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ↑f) (support ↑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : Memℒp (↑(f + f')) p
⊢ ∃ g, snorm (↑(f + f') - g) p μ ≤ δ ∧ P g
[PROOFSTEP]
obtain ⟨η, ηpos, hη⟩ := exists_Lp_half E μ p δpos
[GOAL]
case H.h_add.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝¹ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : Memℒp f✝ p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ↑f) (support ↑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : Memℒp (↑(f + f')) p
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ
⊢ ∃ g, snorm (↑(f + f') - g) p μ ≤ δ ∧ P g
[PROOFSTEP]
rw [SimpleFunc.coe_add, memℒp_add_of_disjoint hff' f.stronglyMeasurable f'.stronglyMeasurable] at int_ff'
[GOAL]
case H.h_add.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝¹ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : Memℒp f✝ p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ↑f) (support ↑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : Memℒp (↑f) p ∧ Memℒp (↑f') p
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ
⊢ ∃ g, snorm (↑(f + f') - g) p μ ≤ δ ∧ P g
[PROOFSTEP]
rcases hf η ηpos.ne' int_ff'.1 with ⟨g, hg, Pg⟩
[GOAL]
case H.h_add.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝¹ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : Memℒp f✝ p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ↑f) (support ↑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : Memℒp (↑f) p ∧ Memℒp (↑f') p
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ
g : α → E
hg : snorm (↑f - g) p μ ≤ η
Pg : P g
⊢ ∃ g, snorm (↑(f + f') - g) p μ ≤ δ ∧ P g
[PROOFSTEP]
rcases hf' η ηpos.ne' int_ff'.2 with ⟨g', hg', Pg'⟩
[GOAL]
case H.h_add.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝¹ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : Memℒp f✝ p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ↑f) (support ↑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : Memℒp (↑f) p ∧ Memℒp (↑f') p
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ
g : α → E
hg : snorm (↑f - g) p μ ≤ η
Pg : P g
g' : α → E
hg' : snorm (↑f' - g') p μ ≤ η
Pg' : P g'
⊢ ∃ g, snorm (↑(f + f') - g) p μ ≤ δ ∧ P g
[PROOFSTEP]
refine' ⟨g + g', _, h1P g g' Pg Pg'⟩
[GOAL]
case H.h_add.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝¹ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : Memℒp f✝ p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ↑f) (support ↑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : Memℒp (↑f) p ∧ Memℒp (↑f') p
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ
g : α → E
hg : snorm (↑f - g) p μ ≤ η
Pg : P g
g' : α → E
hg' : snorm (↑f' - g') p μ ≤ η
Pg' : P g'
⊢ snorm (↑(f + f') - (g + g')) p μ ≤ δ
[PROOFSTEP]
convert (hη _ _ (f.aestronglyMeasurable.sub (h2P g Pg)) (f'.aestronglyMeasurable.sub (h2P g' Pg')) hg hg').le using 2
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝¹ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : Memℒp f✝ p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ↑f) (support ↑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : Memℒp (↑f) p ∧ Memℒp (↑f') p
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ
g : α → E
hg : snorm (↑f - g) p μ ≤ η
Pg : P g
g' : α → E
hg' : snorm (↑f' - g') p μ ≤ η
Pg' : P g'
⊢ ↑(f + f') - (g + g') = ↑f - g + (↑f' - g')
[PROOFSTEP]
rw [SimpleFunc.coe_add]
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝¹ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : Memℒp f✝ p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ↑f) (support ↑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : Memℒp (↑f) p ∧ Memℒp (↑f') p
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ
g : α → E
hg : snorm (↑f - g) p μ ≤ η
Pg : P g
g' : α → E
hg' : snorm (↑f' - g') p μ ≤ η
Pg' : P g'
⊢ ↑f + ↑f' - (g + g') = ↑f - g + (↑f' - g')
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝¹ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : Memℒp f✝ p
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ↑f) (support ↑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p → ∃ g, snorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p → ∃ g, snorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : Memℒp (↑f) p ∧ Memℒp (↑f') p
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ
g : α → E
hg : snorm (↑f - g) p μ ≤ η
Pg : P g
g' : α → E
hg' : snorm (↑f' - g') p μ ≤ η
Pg' : P g'
⊢ ↑f + ↑f' - (g + g') = ↑f - g + (↑f' - g')
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ Lp.simpleFunc E 1 μ }
⊢ Integrable ↑(Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
rw [← memℒp_one_iff_integrable]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : { x // x ∈ Lp.simpleFunc E 1 μ }
⊢ Memℒp (↑(Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) 1
[PROOFSTEP]
exact Lp.simpleFunc.memℒp f
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (indicator s fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f → Integrable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Integrable f → P f → P g
⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Integrable f → P f
[PROOFSTEP]
simp only [← memℒp_one_iff_integrable] at *
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → P (indicator s fun x => c)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f 1 → Memℒp g 1 → P f → P g → P (f + g)
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Memℒp f 1 → P f → P g
⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Memℒp f 1 → P f
[PROOFSTEP]
exact Memℒp.induction one_ne_top (P := P) h_ind h_add h_closed h_ae