[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
have hxz := hxy.trans hyz
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
rw [← sub_pos] at hxy hxz hyz
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
suffices f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
  by
  ring_nf at this ⊢
  linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
this : f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
ring_nf at this ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
this : f y * (y - x)⁻¹ + f y * (-y + z)⁻¹ ≤ (y - x)⁻¹ * f x + (-y + z)⁻¹ * f z
⊢ f y * (y - x)⁻¹ - (y - x)⁻¹ * f x ≤ -(f y * (-y + z)⁻¹) + (-y + z)⁻¹ * f z
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
set a := (z - y) / (z - x)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
set b := (y - x) / (z - x)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
have hy : a • x + b • z = y := by
  field_simp
  rw [div_eq_iff] <;> [ring; linarith]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ a • x + b • z = y
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ ((z - y) * x + (y - x) * z) / (z - x) = y
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_iff] <;> [ring; linarith]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ ((z - y) * x + (y - x) * z) / (z - x) = y
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) * x + (y - x) * z = y * (z - x)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ z - x ≠ 0
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
have key :=
  hf.2 hx hz (show 0 ≤ a by apply div_nonneg <;> linarith) (show 0 ≤ b by apply div_nonneg <;> linarith)
    (show a + b = 1 by
      field_simp
      rw [div_eq_iff] <;> [ring; linarith])
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ 0 ≤ a
[PROOFSTEP]
apply div_nonneg
[GOAL]
case ha
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ 0 ≤ z - y
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
case hb
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ 0 ≤ z - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ 0 ≤ b
[PROOFSTEP]
apply div_nonneg
[GOAL]
case ha
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ 0 ≤ y - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
case hb
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ 0 ≤ z - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ a + b = 1
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ (z - x) / (z - x) = 1
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_iff] <;> [ring; linarith]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ (z - x) / (z - x) = 1
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ z - x = 1 * (z - x)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ z - x ≠ 0
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
rw [hy] at key
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y ≤ a • f x + b • f z
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
replace key := mul_le_mul_of_nonneg_left key hxz.le
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : (z - x) * f y ≤ (z - x) * (a • f x + b • f z)
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
field_simp [hxy.ne', hyz.ne', hxz.ne', mul_comm (z - x) _] at key ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ (f y * (z - y) + f y * (y - x)) / ((y - x) * (z - y)) ≤ (f x * (z - y) + f z * (y - x)) / ((y - x) * (z - y))
[PROOFSTEP]
rw [div_le_div_right]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ f y * (z - y) + f y * (y - x) ≤ f x * (z - y) + f z * (y - x)
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ 0 < (y - x) * (z - y)
[PROOFSTEP]
nlinarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
[PROOFSTEP]
have := neg_le_neg (ConvexOn.slope_mono_adjacent hf.neg hx hz hxy hyz)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
this : -(((-f) z - (-f) y) / (z - y)) ≤ -(((-f) y - (-f) x) / (y - x))
⊢ (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.neg_apply, ← neg_div, neg_sub', neg_neg] at this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
⊢ (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
[PROOFSTEP]
exact this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
have hxz := hxy.trans hyz
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
have hxz' := hxz.ne
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
hxz' : x ≠ z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
rw [← sub_pos] at hxy hxz hyz
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
suffices f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
  by
  ring_nf at this ⊢
  linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
this : f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
ring_nf at this ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
this : f y * (y - x)⁻¹ + f y * (-y + z)⁻¹ < (y - x)⁻¹ * f x + (-y + z)⁻¹ * f z
⊢ f y * (y - x)⁻¹ - (y - x)⁻¹ * f x < -(f y * (-y + z)⁻¹) + (-y + z)⁻¹ * f z
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
set a := (z - y) / (z - x)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
set b := (y - x) / (z - x)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
have hy : a • x + b • z = y := by
  field_simp
  rw [div_eq_iff] <;> [ring; linarith]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ a • x + b • z = y
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ ((z - y) * x + (y - x) * z) / (z - x) = y
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_iff] <;> [ring; linarith]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ ((z - y) * x + (y - x) * z) / (z - x) = y
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) * x + (y - x) * z = y * (z - x)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ z - x ≠ 0
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
have key :=
  hf.2 hx hz hxz' (div_pos hyz hxz) (div_pos hxy hxz)
    (show a + b = 1 by
      field_simp
      rw [div_eq_iff] <;> [ring; linarith])
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ a + b = 1
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ (z - x) / (z - x) = 1
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_iff] <;> [ring; linarith]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ (z - x) / (z - x) = 1
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ z - x = 1 * (z - x)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ z - x ≠ 0
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f (((z - y) / (z - x)) • x + ((y - x) / (z - x)) • z) < ((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
rw [hy] at key
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y < ((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
replace key := mul_lt_mul_of_pos_left key hxz
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : (z - x) * f y < (z - x) * (((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z)
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
[PROOFSTEP]
field_simp [hxy.ne', hyz.ne', hxz.ne', mul_comm (z - x) _] at key ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ (f y * (z - y) + f y * (y - x)) / ((y - x) * (z - y)) < (f x * (z - y) + f z * (y - x)) / ((y - x) * (z - y))
[PROOFSTEP]
rw [div_lt_div_right]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ f y * (z - y) + f y * (y - x) < f x * (z - y) + f z * (y - x)
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy✝ : x < y
hxy : 0 < y - x
hyz✝ : y < z
hyz : 0 < z - y
hxz✝ : x < z
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ 0 < (y - x) * (z - y)
[PROOFSTEP]
nlinarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
[PROOFSTEP]
have := neg_lt_neg (StrictConvexOn.slope_strict_mono_adjacent hf.neg hx hz hxy hyz)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
this : -(((-f) z - (-f) y) / (z - y)) < -(((-f) y - (-f) x) / (y - x))
⊢ (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.neg_apply, ← neg_div, neg_sub', neg_neg] at this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
⊢ (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
[PROOFSTEP]
exact this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
let y := a * x + b * z
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have hxy : x < y := by
  rw [← one_mul x, ← hab, add_mul]
  exact add_lt_add_left ((mul_lt_mul_left hb).2 hxz) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
⊢ x < y
[PROOFSTEP]
rw [← one_mul x, ← hab, add_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
⊢ a * x + b * x < y
[PROOFSTEP]
exact add_lt_add_left ((mul_lt_mul_left hb).2 hxz) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have hyz : y < z := by
  rw [← one_mul z, ← hab, add_mul]
  exact add_lt_add_right ((mul_lt_mul_left ha).2 hxz) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
⊢ y < z
[PROOFSTEP]
rw [← one_mul z, ← hab, add_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
⊢ y < a * z + b * z
[PROOFSTEP]
exact add_lt_add_right ((mul_lt_mul_left ha).2 hxz) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x) :=
  (div_le_div_iff (sub_pos.2 hxy) (sub_pos.2 hyz)).1 (hf hx hz hxy hyz)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have hxz : 0 < z - x := sub_pos.2 (hxy.trans hyz)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have ha : (z - y) / (z - x) = a := by
  rw [eq_comm, ← sub_eq_iff_eq_add'] at hab
  simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', ← hab]
  ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ (z - y) / (z - x) = a
[PROOFSTEP]
rw [eq_comm, ← sub_eq_iff_eq_add'] at hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 1 - a = b
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ (z - y) / (z - x) = a
[PROOFSTEP]
simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', ← hab]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 1 - a = b
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ z - (a * x + (1 - a) * z) = a * (z - x)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have hb : (y - x) / (z - x) = b := by
  rw [eq_comm, ← sub_eq_iff_eq_add] at hab
  simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', ← hab]
  ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
⊢ (y - x) / (z - x) = b
[PROOFSTEP]
rw [eq_comm, ← sub_eq_iff_eq_add] at hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 1 - b = a
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
⊢ (y - x) / (z - x) = b
[PROOFSTEP]
simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', ← hab]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 1 - b = a
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
⊢ (1 - b) * x + b * z - x = b * (z - x)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb✝ : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
hb : (y - x) / (z - x) = b
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
rwa [sub_mul, sub_mul, sub_le_iff_le_add', ← add_sub_assoc, le_sub_iff_add_le, ← mul_add, sub_add_sub_cancel, ←
  le_div_iff hxz, add_div, mul_div_assoc, mul_div_assoc, mul_comm (f x), mul_comm (f z), ha, hb] at this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f
[PROOFSTEP]
rw [← neg_convexOn_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f)
[PROOFSTEP]
refine' convexOn_of_slope_mono_adjacent hs fun hx hz hxy hyz => _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ ((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝) ≤ ((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_le_neg_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ -(((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)) ≤ -(((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝))
[PROOFSTEP]
simp_rw [← neg_div, neg_sub, Pi.neg_apply, neg_sub_neg]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ (f z✝ - f y✝) / (z✝ - y✝) ≤ (f y✝ - f x✝) / (y✝ - x✝)
[PROOFSTEP]
exact hf hx hz hxy hyz
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
let y := a * x + b * z
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have hxy : x < y := by
  rw [← one_mul x, ← hab, add_mul]
  exact add_lt_add_left ((mul_lt_mul_left hb).2 hxz) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
⊢ x < y
[PROOFSTEP]
rw [← one_mul x, ← hab, add_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
⊢ a * x + b * x < y
[PROOFSTEP]
exact add_lt_add_left ((mul_lt_mul_left hb).2 hxz) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have hyz : y < z := by
  rw [← one_mul z, ← hab, add_mul]
  exact add_lt_add_right ((mul_lt_mul_left ha).2 hxz) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
⊢ y < z
[PROOFSTEP]
rw [← one_mul z, ← hab, add_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
⊢ y < a * z + b * z
[PROOFSTEP]
exact add_lt_add_right ((mul_lt_mul_left ha).2 hxz) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x) :=
  (div_lt_div_iff (sub_pos.2 hxy) (sub_pos.2 hyz)).1 (hf hx hz hxy hyz)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have hxz : 0 < z - x := sub_pos.2 (hxy.trans hyz)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have ha : (z - y) / (z - x) = a := by
  rw [eq_comm, ← sub_eq_iff_eq_add'] at hab
  simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', ← hab]
  ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ (z - y) / (z - x) = a
[PROOFSTEP]
rw [eq_comm, ← sub_eq_iff_eq_add'] at hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 1 - a = b
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ (z - y) / (z - x) = a
[PROOFSTEP]
simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', ← hab]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 1 - a = b
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ z - (a * x + (1 - a) * z) = a * (z - x)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
have hb : (y - x) / (z - x) = b := by
  rw [eq_comm, ← sub_eq_iff_eq_add] at hab
  simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', ← hab]
  ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
⊢ (y - x) / (z - x) = b
[PROOFSTEP]
rw [eq_comm, ← sub_eq_iff_eq_add] at hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 1 - b = a
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
⊢ (y - x) / (z - x) = b
[PROOFSTEP]
simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', ← hab]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 1 - b = a
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
⊢ (1 - b) * x + b * z - x = b * (z - x)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb✝ : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
hb : (y - x) / (z - x) = b
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
[PROOFSTEP]
rwa [sub_mul, sub_mul, sub_lt_iff_lt_add', ← add_sub_assoc, lt_sub_iff_add_lt, ← mul_add, sub_add_sub_cancel, ←
  lt_div_iff hxz, add_div, mul_div_assoc, mul_div_assoc, mul_comm (f x), mul_comm (f z), ha, hb] at this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s f
[PROOFSTEP]
rw [← neg_strictConvexOn_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (-f)
[PROOFSTEP]
refine' strictConvexOn_of_slope_strict_mono_adjacent hs fun hx hz hxy hyz => _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ ((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝) < ((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_lt_neg_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ -(((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)) < -(((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝))
[PROOFSTEP]
simp_rw [← neg_div, neg_sub, Pi.neg_apply, neg_sub_neg]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ (f z✝ - f y✝) / (z✝ - y✝) < (f y✝ - f x✝) / (y✝ - x✝)
[PROOFSTEP]
exact hf hx hz hxy hyz
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
[PROOFSTEP]
have hxy' : 0 < y - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ 0 < y - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
[PROOFSTEP]
have hyz' : 0 < z - y := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ 0 < z - y
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
[PROOFSTEP]
have hxz' : 0 < z - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
⊢ 0 < z - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
[PROOFSTEP]
rw [← le_div_iff' hxz']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
[PROOFSTEP]
have ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x) := by positivity
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ 0 ≤ (z - y) / (z - x)
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
[PROOFSTEP]
have hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x) := by positivity
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
⊢ 0 ≤ (y - x) / (z - x)
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
[PROOFSTEP]
calc
  f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z) := ?_
  _ ≤ (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z := (hf.2 hx hz ha hb ?_)
  _ = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x) := ?_
[GOAL]
case calc_1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z)
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case calc_1.e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ y = (z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z
[PROOFSTEP]
field_simp [hxy'.ne', hyz'.ne', hxz'.ne']
[GOAL]
case calc_1.e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ y * (z - x) = (z - y) * x + (y - x) * z
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case calc_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ Div.div (z - y) (z - x) + Div.div (y - x) (z - x) = 1
[PROOFSTEP]
show (z - y) / (z - x) + (y - x) / (z - x) = 1
[GOAL]
case calc_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) + (y - x) / (z - x) = 1
[PROOFSTEP]
field_simp [hxy'.ne', hyz'.ne', hxz'.ne']
[GOAL]
case calc_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
[PROOFSTEP]
field_simp [hxy'.ne', hyz'.ne', hxz'.ne']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f x) / (z - x)
[PROOFSTEP]
have hxy' : 0 < y - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ 0 < y - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f x) / (z - x)
[PROOFSTEP]
have hxz' : 0 < z - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ 0 < z - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f x) / (z - x)
[PROOFSTEP]
rw [div_le_div_iff hxy' hxz']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f y - f x) * (z - x) ≤ (f z - f x) * (y - x)
[PROOFSTEP]
linarith only [hf.secant_mono_aux1 hx hz hxy hyz]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f z - f x) / (z - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
have hyz' : 0 < z - y := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ 0 < z - y
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
⊢ (f z - f x) / (z - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
have hxz' : 0 < z - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
⊢ 0 < z - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f z - f x) / (z - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
rw [div_le_div_iff hxz' hyz']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f z - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (z - x)
[PROOFSTEP]
linarith only [hf.secant_mono_aux1 hx hz hxy hyz]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x ≤ y
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
rcases eq_or_lt_of_le hxy with (rfl | hxy)
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
hy : x ∈ s
hya : x ≠ a
hxy : x ≤ x
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f x - f a) / (x - a)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
cases' lt_or_gt_of_ne hxa with hxa hxa
[GOAL]
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
cases' lt_or_gt_of_ne hya with hya hya
[GOAL]
case inr.inl.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
convert hf.secant_mono_aux3 hx ha hxy hya using 1
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ (f x - f a) / (x - a) = (f a - f x) / (a - x)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_div_neg_eq]
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ (f y - f a) / (y - a) = (f a - f y) / (a - y)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_div_neg_eq]
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ -(f x - f a) / -(x - a) = (f a - f x) / (a - x)
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ -(f y - f a) / -(y - a) = (f a - f y) / (a - y)
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case inr.inl.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y > a
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
convert hf.slope_mono_adjacent hx hy hxa hya using 1
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y > a
⊢ (f x - f a) / (x - a) = (f a - f x) / (a - x)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_div_neg_eq]
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y > a
⊢ -(f x - f a) / -(x - a) = (f a - f x) / (a - x)
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x > a
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
exact hf.secant_mono_aux2 ha hy hxa hxy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (z - x) * f y < (z - y) * f x + (y - x) * f z
[PROOFSTEP]
have hxy' : 0 < y - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ 0 < y - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ (z - x) * f y < (z - y) * f x + (y - x) * f z
[PROOFSTEP]
have hyz' : 0 < z - y := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ 0 < z - y
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
⊢ (z - x) * f y < (z - y) * f x + (y - x) * f z
[PROOFSTEP]
have hxz' : 0 < z - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
⊢ 0 < z - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (z - x) * f y < (z - y) * f x + (y - x) * f z
[PROOFSTEP]
rw [← lt_div_iff' hxz']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ f y < ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
[PROOFSTEP]
have ha : 0 < (z - y) / (z - x) := by positivity
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ 0 < (z - y) / (z - x)
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
⊢ f y < ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
[PROOFSTEP]
have hb : 0 < (y - x) / (z - x) := by positivity
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
⊢ 0 < (y - x) / (z - x)
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ f y < ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
[PROOFSTEP]
calc
  f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z) := ?_
  _ < (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z := (hf.2 hx hz (by linarith) ha hb ?_)
  _ = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x) := ?_
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ x ≠ z
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
case calc_1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z)
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case calc_1.e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ y = (z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z
[PROOFSTEP]
field_simp [hxy'.ne', hyz'.ne', hxz'.ne']
[GOAL]
case calc_1.e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ y * (z - x) = (z - y) * x + (y - x) * z
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case calc_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ Div.div (z - y) (z - x) + Div.div (y - x) (z - x) = 1
[PROOFSTEP]
show (z - y) / (z - x) + (y - x) / (z - x) = 1
[GOAL]
case calc_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) + (y - x) / (z - x) = 1
[PROOFSTEP]
field_simp [hxy'.ne', hyz'.ne', hxz'.ne']
[GOAL]
case calc_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
[PROOFSTEP]
field_simp [hxy'.ne', hyz'.ne', hxz'.ne']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f x) / (z - x)
[PROOFSTEP]
have hxy' : 0 < y - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ 0 < y - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f x) / (z - x)
[PROOFSTEP]
have hxz' : 0 < z - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ 0 < z - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f x) / (z - x)
[PROOFSTEP]
rw [div_lt_div_iff hxy' hxz']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f y - f x) * (z - x) < (f z - f x) * (y - x)
[PROOFSTEP]
linarith only [hf.secant_strict_mono_aux1 hx hz hxy hyz]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f z - f x) / (z - x) < (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
have hyz' : 0 < z - y := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ 0 < z - y
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
⊢ (f z - f x) / (z - x) < (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
have hxz' : 0 < z - x := by linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
⊢ 0 < z - x
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f z - f x) / (z - x) < (f z - f y) / (z - y)
[PROOFSTEP]
rw [div_lt_div_iff hxz' hyz']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f z - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (z - x)
[PROOFSTEP]
linarith only [hf.secant_strict_mono_aux1 hx hz hxy hyz]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
cases' lt_or_gt_of_ne hxa with hxa hxa
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
cases' lt_or_gt_of_ne hya with hya hya
[GOAL]
case inl.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
convert hf.secant_strict_mono_aux3 hx ha hxy hya using 1
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ (f x - f a) / (x - a) = (f a - f x) / (a - x)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_div_neg_eq]
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ (f y - f a) / (y - a) = (f a - f y) / (a - y)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_div_neg_eq]
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ -(f x - f a) / -(x - a) = (f a - f x) / (a - x)
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ -(f y - f a) / -(y - a) = (f a - f y) / (a - y)
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case inl.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y > a
⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
convert hf.slope_strict_mono_adjacent hx hy hxa hya using 1
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y > a
⊢ (f x - f a) / (x - a) = (f a - f x) / (a - x)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_div_neg_eq]
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y > a
⊢ -(f x - f a) / -(x - a) = (f a - f x) / (a - x)
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x > a
⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
exact hf.secant_strict_mono_aux2 ha hy hxa hxy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
⊢ (f y - f a) / (y - a) < (f x - f a) / (x - a)
[PROOFSTEP]
have key := hf.neg.secant_strict_mono ha hx hy hxa hya hxy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : ((-f) x - (-f) a) / (x - a) < ((-f) y - (-f) a) / (y - a)
⊢ (f y - f a) / (y - a) < (f x - f a) / (x - a)
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.neg_apply] at key
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : (-f x - -f a) / (x - a) < (-f y - -f a) / (y - a)
⊢ (f y - f a) / (y - a) < (f x - f a) / (x - a)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_lt_neg_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : (-f x - -f a) / (x - a) < (-f y - -f a) / (y - a)
⊢ -((f x - f a) / (x - a)) < -((f y - f a) / (y - a))
[PROOFSTEP]
convert key using 1
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : (-f x - -f a) / (x - a) < (-f y - -f a) / (y - a)
⊢ -((f x - f a) / (x - a)) = (-f x - -f a) / (x - a)
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : (-f x - -f a) / (x - a) < (-f y - -f a) / (y - a)
⊢ -((f y - f a) / (y - a)) = (-f y - -f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : (-f x - -f a) / (x - a) < (-f y - -f a) / (y - a)
⊢ (f a - f x) / (x - a) = (-f x + f a) / (x - a)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : (-f x - -f a) / (x - a) < (-f y - -f a) / (y - a)
⊢ (f a - f y) / (y - a) = (-f y + f a) / (y - a)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
⊢ StrictMonoOn f (s ∩ Set.Ici y)
[PROOFSTEP]
intro u hu v hv huv
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
⊢ f u < f v
[PROOFSTEP]
have step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z :=
  by
  intros z hz
  refine hf.lt_right_of_left_lt hx hz.1 ?_ hxy'
  rw [openSegment_eq_Ioo (hxy.trans hz.2)]
  exact ⟨hxy, hz.2⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
⊢ ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
[PROOFSTEP]
intros z hz
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ f y < f z
[PROOFSTEP]
refine hf.lt_right_of_left_lt hx hz.1 ?_ hxy'
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ y ∈ openSegment 𝕜 x z
[PROOFSTEP]
rw [openSegment_eq_Ioo (hxy.trans hz.2)]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ y ∈ Set.Ioo x z
[PROOFSTEP]
exact ⟨hxy, hz.2⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
⊢ f u < f v
[PROOFSTEP]
rcases eq_or_lt_of_le hu.2 with (rfl | hu2)
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu : y ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : y < v
⊢ f y < f v
[PROOFSTEP]
exact step1 ⟨hv.1, huv⟩
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ f u < f v
[PROOFSTEP]
refine' hf.lt_right_of_left_lt _ hv.1 _ (step1 ⟨hu.1, hu2⟩)
[GOAL]
case inr.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ s
[PROOFSTEP]
apply hf.1.segment_subset hx hu.1
[GOAL]
case inr.refine'_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ segment 𝕜 x u
[PROOFSTEP]
rw [segment_eq_Icc (hxy.le.trans hu.2)]
[GOAL]
case inr.refine'_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ Set.Icc x u
[PROOFSTEP]
exact ⟨hxy.le, hu.2⟩
[GOAL]
case inr.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ u ∈ openSegment 𝕜 y v
[PROOFSTEP]
rw [openSegment_eq_Ioo (hu2.trans huv)]
[GOAL]
case inr.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ u ∈ Set.Ioo y v
[PROOFSTEP]
exact ⟨hu2, huv⟩