content: /**
   * File: min_path_sum.dart
   * Created Time: 2023-08-11
   * Author: liuyuxin (gvenusleo@gmail.com)
   */
  
  import 'dart:math';
  
  /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
  int minPathSumDFS(List<List<int>> grid, int i, int j) {
    // 若為左上角單元格，則終止搜尋
    if (i == 0 && j == 0) {
      return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
    if (i < 0 || j < 0) {
      // 在 Dart 中，int 型別是固定範圍的整數，不存在表示“無窮大”的值
      return BigInt.from(2).pow(31).toInt();
    }
    // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
    int up = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
    int left = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
    // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
    return min(left, up) + grid[i][j];
  }
  
  /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
  int minPathSumDFSMem(List<List<int>> grid, List<List<int>> mem, int i, int j) {
    // 若為左上角單元格，則終止搜尋
    if (i == 0 && j == 0) {
      return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
    if (i < 0 || j < 0) {
      // 在 Dart 中，int 型別是固定範圍的整數，不存在表示“無窮大”的值
      return BigInt.from(2).pow(31).toInt();
    }
    // 若已有記錄，則直接返回
    if (mem[i][j] != -1) {
      return mem[i][j];
    }
    // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
    int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
    int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
    // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
    mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j];
    return mem[i][j];
  }
  
  /* 最小路徑和：動態規劃 */
  int minPathSumDP(List<List<int>> grid) {
    int n = grid.length, m = grid[0].length;
    // 初始化 dp 表
    List<List<int>> dp = List.generate(n, (i) => List.filled(m, 0));
    dp[0][0] = grid[0][0];
    // 狀態轉移：首行
    for (int j = 1; j < m; j++) {
      dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 狀態轉移：首列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
      }
    }
    return dp[n - 1][m - 1];
  }
  
  /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
  int minPathSumDPComp(List<List<int>> grid) {
    int n = grid.length, m = grid[0].length;
    // 初始化 dp 表
    List<int> dp = List.filled(m, 0);
    dp[0] = grid[0][0];
    for (int j = 1; j < m; j++) {
      dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      // 狀態轉移：首列
      dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
      // 狀態轉移：其餘列
      for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
      }
    }
    return dp[m - 1];
  }
  
  /* Driver Code */
  void main() {
    List<List<int>> grid = [
      [1, 3, 1, 5],
      [2, 2, 4, 2],
      [5, 3, 2, 1],
      [4, 3, 5, 2],
    ];
    int n = grid.length, m = grid[0].length;
  
  // 暴力搜尋
    int res = minPathSumDFS(grid, n - 1, m - 1);
    print("從左上角到右下角的最小路徑和為 $res");
  
  // 記憶化搜尋
    List<List<int>> mem = List.generate(n, (i) => List.filled(m, -1));
    res = minPathSumDFSMem(grid, mem, n - 1, m - 1);
    print("從左上角到右下角的最小路徑和為 $res");
  
  // 動態規劃
    res = minPathSumDP(grid);
    print("從左上角到右下角的最小路徑和為 $res");
  
  // 空間最佳化後的動態規劃
    res = minPathSumDPComp(grid);
    print("從左上角到右下角的最小路徑和為 $res");
  }
  