[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (_x : α), 0 ∂μ = 0
[PROOFSTEP]
rw [laverage, lintegral_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂0 = 0
[PROOFSTEP]
simp [laverage]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) / ↑↑μ univ
[PROOFSTEP]
rw [laverage_eq', lintegral_smul_measure, ENNReal.div_eq_inv_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [laverage, measure_univ, inv_one, one_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ↑↑μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
cases' eq_or_ne μ 0 with hμ hμ
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ = 0
⊢ ↑↑μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [hμ, lintegral_zero_measure, laverage_zero_measure, mul_zero]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
⊢ ↑↑μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [laverage_eq, ENNReal.mul_div_cancel' (measure_univ_ne_zero.2 hμ) (measure_ne_top _ _)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = (∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) / ↑↑μ s
[PROOFSTEP]
rw [laverage_eq, restrict_apply_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂(↑↑μ s)⁻¹ • Measure.restrict μ s
[PROOFSTEP]
simp only [laverage_eq', restrict_apply_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g✝ f g : α → ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α), g x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [laverage_eq, lintegral_congr_ae h]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
h : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [setLaverage_eq, set_lintegral_congr h, measure_congr h]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [laverage_eq, set_lintegral_congr_fun hs h]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hμ := eq_or_ne μ 0
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂0 ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂0 < ⊤
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hμ : μ ≠ 0
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [laverage_eq]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hμ : μ ≠ 0
⊢ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) / ↑↑μ univ < ⊤
[PROOFSTEP]
exact div_lt_top hf (measure_univ_ne_zero.2 hμ)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
by_cases hμ : IsFiniteMeasure μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : ¬IsFiniteMeasure μ
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : ¬IsFiniteMeasure μ
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
rw [not_isFiniteMeasure_iff] at hμ
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ univ = ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
simp [laverage_eq, hμ]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
by_cases hν : IsFiniteMeasure ν
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
hν : IsFiniteMeasure ν
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
hν : ¬IsFiniteMeasure ν
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
hν : ¬IsFiniteMeasure ν
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
rw [not_isFiniteMeasure_iff] at hν
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
hν : ↑↑ν univ = ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
simp [laverage_eq, hν]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
hν : IsFiniteMeasure ν
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
haveI := hμ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
hν : IsFiniteMeasure ν
this : IsFiniteMeasure μ
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
haveI := hν
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
hν : IsFiniteMeasure ν
this✝ : IsFiniteMeasure μ
this : IsFiniteMeasure ν
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    ↑↑μ univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ↑↑ν univ / (↑↑μ univ + ↑↑ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
simp only [← ENNReal.mul_div_right_comm, measure_mul_laverage, ← ENNReal.add_div, ← lintegral_add_measure, ←
  Measure.add_apply, ← laverage_eq]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
h : ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ ↑↑μ s * ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have := Fact.mk h.lt_top
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
h : ↑↑μ s ≠ ⊤
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ ↑↑μ s * ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← measure_mul_laverage, restrict_apply_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ =
    ↑↑μ s / (↑↑μ s + ↑↑μ t) * ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ + ↑↑μ t / (↑↑μ s + ↑↑μ t) * ⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [restrict_union₀ hd ht, laverage_add_measure, restrict_apply_univ, restrict_apply_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hs₀ : ↑↑μ s ≠ 0
ht₀ : ↑↑μ t ≠ 0
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ≥0∞ (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨μ s / (μ s + μ t), μ t / (μ s + μ t), ENNReal.div_pos hs₀ <| add_ne_top.2 ⟨hsμ, htμ⟩,
    ENNReal.div_pos ht₀ <| add_ne_top.2 ⟨hsμ, htμ⟩, _, (laverage_union hd ht).symm⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hs₀ : ↑↑μ s ≠ 0
ht₀ : ↑↑μ t ≠ 0
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
⊢ ↑↑μ s / (↑↑μ s + ↑↑μ t) + ↑↑μ t / (↑↑μ s + ↑↑μ t) = 1
[PROOFSTEP]
rw [← ENNReal.add_div, ENNReal.div_self (add_eq_zero.not.2 fun h => hs₀ h.1) (add_ne_top.2 ⟨hsμ, htμ⟩)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ≥0∞]⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
by_cases hs₀ : μ s = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hs₀ : ↑↑μ s = 0
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ≥0∞]⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
rw [← ae_eq_empty] at hs₀
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hs₀ : s =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ≥0∞]⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
rw [restrict_congr_set (hs₀.union EventuallyEq.rfl), empty_union]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hs₀ : s =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ ⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ [⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ≥0∞]⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
exact right_mem_segment _ _ _
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hs₀ : ¬↑↑μ s = 0
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ≥0∞]⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
refine' ⟨μ s / (μ s + μ t), μ t / (μ s + μ t), zero_le _, zero_le _, _, (laverage_union hd ht).symm⟩
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hs₀ : ¬↑↑μ s = 0
⊢ ↑↑μ s / (↑↑μ s + ↑↑μ t) + ↑↑μ t / (↑↑μ s + ↑↑μ t) = 1
[PROOFSTEP]
rw [← ENNReal.add_div, ENNReal.div_self (add_eq_zero.not.2 fun h => hs₀ h.1) (add_ne_top.2 ⟨hsμ, htμ⟩)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s
hs₀ : ↑↑μ s ≠ 0
hsc₀ : ↑↑μ sᶜ ≠ 0
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ≥0∞ (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍⁻ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
simpa only [union_compl_self, restrict_univ] using
  laverage_union_mem_openSegment aedisjoint_compl_right hs.compl hs₀ hsc₀ (measure_ne_top _ _) (measure_ne_top _ _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : NeZero μ
c : ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (_x : α), c ∂μ = c
[PROOFSTEP]
simp only [laverage, lintegral_const, measure_univ, mul_one]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs₀ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (_x : α) in s, c ∂μ = c
[PROOFSTEP]
simp only [setLaverage_eq, lintegral_const, Measure.restrict_apply, MeasurableSet.univ, univ_inter, div_eq_mul_inv,
  mul_assoc, ENNReal.mul_inv_cancel hs₀ hs, mul_one]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (_x : α), ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hμ := eq_or_ne μ 0
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure 0
⊢ ∫⁻ (_x : α), ⨍⁻ (a : α), f a ∂0 ∂0 = ∫⁻ (x : α), f x ∂0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
⊢ ∫⁻ (_x : α), ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [lintegral_const, laverage_eq, ENNReal.div_mul_cancel (measure_univ_ne_zero.2 hμ) (measure_ne_top _ _)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
⊢ ⨍ (x : α), 0 ∂μ = 0
[PROOFSTEP]
rw [average, integral_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂0 = 0
[PROOFSTEP]
rw [average, smul_zero, integral_zero_measure]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ = (ENNReal.toReal (↑↑μ univ))⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [average_eq', integral_smul_measure, ENNReal.toReal_inv]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [average, measure_univ, inv_one, one_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ univ) • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
cases' eq_or_ne μ 0 with hμ hμ
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ = 0
⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ univ) • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [hμ, integral_zero_measure, average_zero_measure, smul_zero]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0
⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ univ) • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [average_eq, smul_inv_smul₀]
[GOAL]
case inr.hc
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0
⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ univ) ≠ 0
[PROOFSTEP]
refine' (ENNReal.toReal_pos _ <| measure_ne_top _ _).ne'
[GOAL]
case inr.hc
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0
⊢ ↑↑μ univ ≠ 0
[PROOFSTEP]
rwa [Ne.def, measure_univ_eq_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = (ENNReal.toReal (↑↑μ s))⁻¹ • ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [average_eq, restrict_apply_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂(↑↑μ s)⁻¹ • Measure.restrict μ s
[PROOFSTEP]
simp only [average_eq', restrict_apply_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g✝ f g : α → E
h : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ = ⨍ (x : α), g x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [average_eq, integral_congr_ae h]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
h : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [setAverage_eq, set_integral_congr_set_ae h, measure_congr h]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in s, g x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [average_eq, set_integral_congr_ae hs h]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ ν✝ : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
f : α → E
hμ : Integrable f
hν : Integrable f
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
    (ENNReal.toReal (↑↑μ univ) / (ENNReal.toReal (↑↑μ univ) + ENNReal.toReal (↑↑ν univ))) • ⨍ (x : α), f x ∂μ +
      (ENNReal.toReal (↑↑ν univ) / (ENNReal.toReal (↑↑μ univ) + ENNReal.toReal (↑↑ν univ))) • ⨍ (x : α), f x ∂ν
[PROOFSTEP]
simp only [div_eq_inv_mul, mul_smul, measure_smul_average, ← smul_add, ← integral_add_measure hμ hν, ←
  ENNReal.toReal_add (measure_ne_top μ _) (measure_ne_top ν _)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ ν✝ : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
f : α → E
hμ : Integrable f
hν : Integrable f
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂(μ + ν) = (ENNReal.toReal (↑↑μ univ + ↑↑ν univ))⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν)
[PROOFSTEP]
rw [average_eq, Measure.add_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
h : ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ s) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
haveI := Fact.mk h.lt_top
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
h : ↑↑μ s ≠ ⊤
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ s) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← measure_smul_average, restrict_apply_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ =
    (ENNReal.toReal (↑↑μ s) / (ENNReal.toReal (↑↑μ s) + ENNReal.toReal (↑↑μ t))) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ +
      (ENNReal.toReal (↑↑μ t) / (ENNReal.toReal (↑↑μ s) + ENNReal.toReal (↑↑μ t))) • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
haveI := Fact.mk hsμ.lt_top
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ =
    (ENNReal.toReal (↑↑μ s) / (ENNReal.toReal (↑↑μ s) + ENNReal.toReal (↑↑μ t))) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ +
      (ENNReal.toReal (↑↑μ t) / (ENNReal.toReal (↑↑μ s) + ENNReal.toReal (↑↑μ t))) • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
haveI := Fact.mk htμ.lt_top
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
this✝ : Fact (↑↑μ s < ⊤)
this : Fact (↑↑μ t < ⊤)
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ =
    (ENNReal.toReal (↑↑μ s) / (ENNReal.toReal (↑↑μ s) + ENNReal.toReal (↑↑μ t))) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ +
      (ENNReal.toReal (↑↑μ t) / (ENNReal.toReal (↑↑μ s) + ENNReal.toReal (↑↑μ t))) • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [restrict_union₀ hd ht, average_add_measure hfs hft, restrict_apply_univ, restrict_apply_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hs₀ : ↑↑μ s ≠ 0
ht₀ : ↑↑μ t ≠ 0
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
replace hs₀ : 0 < (μ s).toReal
[GOAL]
case hs₀
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hs₀ : ↑↑μ s ≠ 0
ht₀ : ↑↑μ t ≠ 0
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
⊢ 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
ht₀ : ↑↑μ t ≠ 0
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hs₀ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ s)
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
exact ENNReal.toReal_pos hs₀ hsμ
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
ht₀ : ↑↑μ t ≠ 0
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hs₀ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ s)
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
replace ht₀ : 0 < (μ t).toReal
[GOAL]
case ht₀
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
ht₀ : ↑↑μ t ≠ 0
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hs₀ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ s)
⊢ 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ t)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hs₀ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ s)
ht₀ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ t)
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
exact ENNReal.toReal_pos ht₀ htμ
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hs₀ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ s)
ht₀ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ t)
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
refine' mem_openSegment_iff_div.mpr ⟨(μ s).toReal, (μ t).toReal, hs₀, ht₀, (average_union hd ht hsμ htμ hfs hft).symm⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ]⨍ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
by_cases hse : μ s = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hse : ↑↑μ s = 0
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ]⨍ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
rw [← ae_eq_empty] at hse
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hse : s =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ]⨍ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
rw [restrict_congr_set (hse.union EventuallyEq.rfl), empty_union]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hse : s =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ [⨍ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ]⨍ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
exact right_mem_segment _ _ _
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hse : ¬↑↑μ s = 0
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ]⨍ (x : α) in t, f x ∂μ]
[PROOFSTEP]
refine'
  mem_segment_iff_div.mpr
    ⟨(μ s).toReal, (μ t).toReal, ENNReal.toReal_nonneg, ENNReal.toReal_nonneg, _,
      (average_union hd ht hsμ htμ hfs hft).symm⟩
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t
hsμ : ↑↑μ s ≠ ⊤
htμ : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s
hft : IntegrableOn f t
hse : ¬↑↑μ s = 0
⊢ 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ s) + ENNReal.toReal (↑↑μ t)
[PROOFSTEP]
calc
  0 < (μ s).toReal := ENNReal.toReal_pos hse hsμ
  _ ≤ _ := le_add_of_nonneg_right ENNReal.toReal_nonneg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s
hs₀ : ↑↑μ s ≠ 0
hsc₀ : ↑↑μ sᶜ ≠ 0
hfi : Integrable f
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
simpa only [union_compl_self, restrict_univ] using
  average_union_mem_openSegment aedisjoint_compl_right hs.compl hs₀ hsc₀ (measure_ne_top _ _) (measure_ne_top _ _)
    hfi.integrableOn hfi.integrableOn
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : NeZero μ
c : E
⊢ ⨍ (_x : α), c ∂μ = c
[PROOFSTEP]
rw [average, integral_const, measure_univ, ENNReal.one_toReal, one_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
⊢ ∫ (x : α), ⨍ (a : α), f a ∂μ ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
⊢ ∫ (x : α), f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ ∂μ = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ ∫ (x : α), f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ ∂μ = 0
[PROOFSTEP]
rw [integral_sub hf (integrable_const _), integral_average, sub_self]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ ∫ (x : α), f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ ∂μ = 0
[PROOFSTEP]
refine integral_undef fun h => hf ?_
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : ¬Integrable f
h : Integrable fun x => f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ
⊢ Integrable f
[PROOFSTEP]
convert h.add (integrable_const (⨍ a, f a ∂μ))
[GOAL]
case h.e'_5
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : ¬Integrable f
h : Integrable fun x => f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ
⊢ f = (fun x => f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ) + fun x => ⨍ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
exact (sub_add_cancel _ _).symm
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Integrable f
⊢ ∫ (x : α), ⨍ (a : α), f a ∂μ - f x ∂μ = 0
[PROOFSTEP]
rw [integral_sub (integrable_const _) hf, integral_average, sub_self]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / ↑↑μ univ
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hμ := eq_or_ne μ 0
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae 0] f
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂0) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂0) / ↑↑0 univ
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hμ : μ ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / ↑↑μ univ
[PROOFSTEP]
rw [average_eq, smul_eq_mul, ← toReal_inv, ofReal_mul toReal_nonneg,
  ofReal_toReal (inv_ne_top.2 <| measure_univ_ne_zero.2 hμ), ofReal_integral_eq_lintegral_ofReal hf hf₀,
  ENNReal.div_eq_inv_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : IntegrableOn f s
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] f
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α) in s, ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / ↑↑μ s
[PROOFSTEP]
simpa using ofReal_average hf hf₀
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
⊢ ENNReal.toReal (⨍⁻ (x : α), f x ∂μ) = ⨍ (x : α), ENNReal.toReal (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [average_eq, laverage_eq, smul_eq_mul, toReal_div, div_eq_inv_mul, ←
  integral_toReal hf (hf'.mono fun _ => lt_top_iff_ne_top.2)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, f x ≠ ⊤
⊢ ENNReal.toReal (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) = ⨍ (x : α) in s, ENNReal.toReal (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
simpa [laverage_eq] using toReal_laverage hf hf'
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
refine' pos_iff_ne_zero.2 fun H => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
replace H : (μ.restrict s) {x | f x ≤ ⨍ a in s, f a ∂μ} = 0
[GOAL]
case H
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
⊢ ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
[PROOFSTEP]
rwa [restrict_apply₀, inter_comm]
[GOAL]
case H
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
⊢ NullMeasurableSet {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
exact AEStronglyMeasurable.nullMeasurableSet_le hf.1 aestronglyMeasurable_const
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
haveI := Fact.mk hμ₁.lt_top
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ False
[PROOFSTEP]
refine' (integral_sub_average (μ.restrict s) f).not_gt _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ 0 < ∫ (x : α) in s, f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' (set_integral_pos_iff_support_of_nonneg_ae _ _).2 _
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' eq_bot_mono (measure_mono fun x hx => _) H
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
x : α
hx : x ∈ {x | (fun x => OfNat.ofNat 0 x ≤ (fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ) x) x}ᶜ
⊢ x ∈ {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.zero_apply, sub_nonneg, mem_compl_iff, mem_setOf_eq, not_le] at hx
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
x : α
hx : f x < ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ
⊢ x ∈ {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
exact hx.le
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ IntegrableOn (fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ) s
[PROOFSTEP]
exact hf.sub (integrableOn_const.2 <| Or.inr <| lt_top_iff_ne_top.2 hμ₁)
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ 0 < ↑↑μ ((support fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ) ∩ s)
[PROOFSTEP]
rwa [pos_iff_ne_zero, inter_comm, ← diff_compl, ← diff_inter_self_eq_diff, measure_diff_null]
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ ↑↑μ ((support fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ)ᶜ ∩ s) = 0
[PROOFSTEP]
refine' eq_bot_mono (measure_mono _) (measure_inter_eq_zero_of_restrict H)
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
H : ↑↑(Measure.restrict μ s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (↑↑μ s < ⊤)
⊢ (support fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ)ᶜ ∩ s ⊆ {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} ∩ s
[PROOFSTEP]
exact inter_subset_inter_left _ fun a ha => (sub_eq_zero.1 <| of_not_not ha).le
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
simpa [integral_neg, neg_div] using measure_le_setAverage_pos hμ hμ₁ hf.neg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f
⊢ 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
simpa using measure_le_setAverage_pos (Measure.measure_univ_ne_zero.2 hμ) (measure_ne_top _ _) hf.integrableOn
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f
⊢ 0 < ↑↑μ {x | ⨍ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
simpa using measure_setAverage_le_pos (Measure.measure_univ_ne_zero.2 hμ) (measure_ne_top _ _) hf.integrableOn
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f
hN : ↑↑μ N = 0
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
have := measure_le_average_pos hμ hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f
hN : ↑↑μ N = 0
this : 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← measure_diff_null hN] at this
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f
hN : ↑↑μ N = 0
this : 0 < ↑↑μ ({x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} \ N)
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx, hxN⟩ := nonempty_of_measure_ne_zero this.ne'
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f
hN : ↑↑μ N = 0
this : 0 < ↑↑μ ({x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
hxN : ¬x ∈ N
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
exact ⟨x, hxN, hx⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f
hN : ↑↑μ N = 0
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
[PROOFSTEP]
simpa [integral_neg, neg_div] using exists_not_mem_null_le_average hμ hf.neg hN
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f
⊢ 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
simpa only [average_eq_integral] using measure_le_average_pos (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f
⊢ 0 < ↑↑μ {x | ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
simpa only [average_eq_integral] using measure_average_le_pos (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f
⊢ ∃ x, f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
simpa only [average_eq_integral] using exists_le_average (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f
⊢ ∃ x, ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
[PROOFSTEP]
simpa only [average_eq_integral] using exists_average_le (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f
hN : ↑↑μ N = 0
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
simpa only [average_eq_integral] using exists_not_mem_null_le_average (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf hN
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f
hN : ↑↑μ N = 0
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
[PROOFSTEP]
simpa only [average_eq_integral] using exists_not_mem_null_average_le (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf hN
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
obtain h | h := eq_or_ne (∫⁻ a in s, f a ∂μ) ∞
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⊤
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
simpa [mul_top, hμ₁, laverage, h, top_div_of_ne_top hμ₁, pos_iff_ne_zero] using hμ
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
have := measure_le_setAverage_pos hμ hμ₁ (integrable_toReal_of_lintegral_ne_top hf h)
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ}
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
rw [← setOf_inter_eq_sep, ←
  Measure.restrict_apply₀ (hf.aestronglyMeasurable.nullMeasurableSet_le aestronglyMeasurable_const)]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ}
⊢ 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
rw [← setOf_inter_eq_sep, ←
  Measure.restrict_apply₀ (hf.ennreal_toReal.aestronglyMeasurable.nullMeasurableSet_le aestronglyMeasurable_const), ←
  measure_diff_null (measure_eq_top_of_lintegral_ne_top hf h)] at this
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
⊢ 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
refine' this.trans_le (measure_mono _)
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
⊢ {a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤} ⊆
    {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
rintro x ⟨hfx, hx⟩
[GOAL]
case inr.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
x : α
hfx : x ∈ {a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ}
hx : ¬x ∈ {x | f x = ⊤}
⊢ x ∈ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
dsimp at hfx
[GOAL]
case inr.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
x : α
hfx : ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ
hx : ¬x ∈ {x | f x = ⊤}
⊢ x ∈ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
rwa [← toReal_laverage hf, toReal_le_toReal hx (setLaverage_lt_top h).ne] at hfx
[GOAL]
case inr.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
x : α
hfx : ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ
hx : ¬x ∈ {x | f x = ⊤}
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, f x ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
simp_rw [ae_iff, not_ne_iff]
[GOAL]
case inr.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
x : α
hfx : ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ
hx : ¬x ∈ {x | f x = ⊤}
⊢ ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | f a = ⊤} = 0
[PROOFSTEP]
exact measure_eq_top_of_lintegral_ne_top hf h
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
obtain hμ₁ | hμ₁ := eq_or_ne (μ s) ∞
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : ↑↑μ s = ⊤
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
simp [setLaverage_eq, hμ₁]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
obtain ⟨g, hg, hgf, hfg⟩ := exists_measurable_le_lintegral_eq (μ.restrict s) f
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
have hfg' : ⨍⁻ a in s, f a ∂μ = ⨍⁻ a in s, g a ∂μ := by simp_rw [laverage_eq, hfg]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
⊢ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [laverage_eq, hfg]
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
rw [hfg] at hint
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
have := measure_setAverage_le_pos hμ hμ₁ (integrable_toReal_of_lintegral_ne_top hg.aemeasurable hint)
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this : 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x)}
⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
simp_rw [← setOf_inter_eq_sep, ← Measure.restrict_apply₀' hs, hfg']
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this : 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x)}
⊢ 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}
[PROOFSTEP]
rw [← setOf_inter_eq_sep, ← Measure.restrict_apply₀' hs, ←
  measure_diff_null (measure_eq_top_of_lintegral_ne_top hg.aemeasurable hint)] at this
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤})
⊢ 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}
[PROOFSTEP]
refine' this.trans_le (measure_mono _)
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤})
⊢ {a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤} ⊆
    {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}
[PROOFSTEP]
rintro x ⟨hfx, hx⟩
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤})
x : α
hfx : x ∈ {a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)}
hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤}
⊢ x ∈ {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}
[PROOFSTEP]
dsimp at hfx
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤})
x : α
hfx : ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x)
hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤}
⊢ x ∈ {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}
[PROOFSTEP]
rw [← toReal_laverage hg.aemeasurable, toReal_le_toReal (setLaverage_lt_top hint).ne hx] at hfx
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤})
x : α
hfx : ⨍⁻ (x : α) in s, g x ∂μ ≤ g x
hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤}
⊢ x ∈ {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}
case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤})
x : α
hfx : ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x)
hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤}
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, g x ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
exact hfx.trans (hgf _)
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤})
x : α
hfx : ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x)
hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤}
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, g x ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
simp_rw [ae_iff, not_ne_iff]
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : ↑↑μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s
hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this :
  0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤})
x : α
hfx : ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x)
hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤}
⊢ ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | g a = ⊤} = 0
[PROOFSTEP]
exact measure_eq_top_of_lintegral_ne_top hg.aemeasurable hint
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ 0 < ↑↑μ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
simpa [hint] using @measure_setLaverage_le_pos _ _ _ _ f (measure_univ_ne_zero.2 hμ) nullMeasurableSet_univ
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : ↑↑μ N = 0
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
[PROOFSTEP]
have := measure_laverage_le_pos hμ hint
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : ↑↑μ N = 0
this : 0 < ↑↑μ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
[PROOFSTEP]
rw [← measure_diff_null hN] at this
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : ↑↑μ N = 0
this : 0 < ↑↑μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N)
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx, hxN⟩ := nonempty_of_measure_ne_zero this.ne'
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : ↑↑μ N = 0
this : 0 < ↑↑μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
hxN : ¬x ∈ N
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
[PROOFSTEP]
exact ⟨x, hxN, hx⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f
⊢ 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
simpa using measure_le_setLaverage_pos (measure_univ_ne_zero.2 hμ) (measure_ne_top _ _) hf.restrict
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f
hN : ↑↑μ N = 0
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
have := measure_le_laverage_pos hμ hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f
hN : ↑↑μ N = 0
this : 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← measure_diff_null hN] at this
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f
hN : ↑↑μ N = 0
this : 0 < ↑↑μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N)
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx, hxN⟩ := nonempty_of_measure_ne_zero this.ne'
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f
hN : ↑↑μ N = 0
this : 0 < ↑↑μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}
hxN : ¬x ∈ N
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
exact ⟨x, hxN, hx⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f
⊢ 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ}
[PROOFSTEP]
simpa only [laverage_eq_lintegral] using measure_le_laverage_pos (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ 0 < ↑↑μ {x | ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
[PROOFSTEP]
simpa only [laverage_eq_lintegral] using measure_laverage_le_pos (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hint
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f
⊢ ∃ x, f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
simpa only [laverage_eq_lintegral] using exists_le_laverage (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∃ x, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
[PROOFSTEP]
simpa only [laverage_eq_lintegral] using exists_laverage_le (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hint
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f
hN : ↑↑μ N = 0
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
[PROOFSTEP]
simpa only [laverage_eq_lintegral] using exists_not_mem_null_le_laverage (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf hN
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : ↑↑μ N = 0
⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
[PROOFSTEP]
simpa only [laverage_eq_lintegral] using exists_not_mem_null_laverage_le (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hint hN
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)
[PROOFSTEP]
have g_int : ∀ᶠ i in l, Integrable (g i) μ :=
  by
  filter_upwards [(tendsto_order.1 hg).1 _ zero_lt_one] with i hi
  contrapose hi
  simp only [integral_undef hi, lt_self_iff_false, not_false_eq_true]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [(tendsto_order.1 hg).1 _ zero_lt_one] with i hi
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
i : ι
hi : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
⊢ Integrable (g i)
[PROOFSTEP]
contrapose hi
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
i : ι
hi : ¬Integrable (g i)
⊢ ¬0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [integral_undef hi, lt_self_iff_false, not_false_eq_true]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)
[PROOFSTEP]
have I : ∀ᶠ i in l, ∫ y, g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ y, g i y ∂μ) • c = ∫ y, g i y • f y ∂μ :=
  by
  filter_upwards [f_int, g_int, g_supp, g_bound] with i hif hig hisupp hibound
  rw [← integral_smul_const, ← integral_add]
  · simp only [smul_sub, sub_add_cancel]
  · simp_rw [smul_sub]
    apply Integrable.sub _ (hig.smul_const _)
    have A : Function.support (fun y ↦ g i y • f y) ⊆ a i :=
      by
      apply Subset.trans _ hisupp
      exact Function.support_smul_subset_left _ _
    rw [← integrableOn_iff_integrable_of_support_subset A]
    apply Integrable.smul_of_top_right hif
    exact memℒp_top_of_bound hig.aestronglyMeasurable.restrict (K / (μ (a i)).toReal) (eventually_of_forall hibound)
  · exact hig.smul_const _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
[PROOFSTEP]
filter_upwards [f_int, g_int, g_supp, g_bound] with i hif hig hisupp hibound
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← integral_smul_const, ← integral_add]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ ∫ (a : α), g i a • (f a - c) + g i a • c ∂μ = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [smul_sub, sub_add_cancel]
[GOAL]
case h.hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ Integrable fun y => g i y • (f y - c)
[PROOFSTEP]
simp_rw [smul_sub]
[GOAL]
case h.hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ Integrable fun y => g i y • f y - g i y • c
[PROOFSTEP]
apply Integrable.sub _ (hig.smul_const _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ Integrable fun y => g i y • f y
[PROOFSTEP]
have A : Function.support (fun y ↦ g i y • f y) ⊆ a i :=
  by
  apply Subset.trans _ hisupp
  exact Function.support_smul_subset_left _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i
[PROOFSTEP]
apply Subset.trans _ hisupp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ (support fun y => g i y • f y) ⊆ support (g i)
[PROOFSTEP]
exact Function.support_smul_subset_left _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
A : (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i
⊢ Integrable fun y => g i y • f y
[PROOFSTEP]
rw [← integrableOn_iff_integrable_of_support_subset A]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
A : (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i
⊢ IntegrableOn (fun y => g i y • f y) (a i)
[PROOFSTEP]
apply Integrable.smul_of_top_right hif
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
A : (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i
⊢ Memℒp (fun y => g i y) ⊤
[PROOFSTEP]
exact memℒp_top_of_bound hig.aestronglyMeasurable.restrict (K / (μ (a i)).toReal) (eventually_of_forall hibound)
[GOAL]
case h.hg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i)
hig : Integrable (g i)
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
⊢ Integrable fun x => g i x • c
[PROOFSTEP]
exact hig.smul_const _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)
[PROOFSTEP]
have L0 : Tendsto (fun i ↦ ∫ y, g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0) :=
  by
  have := hf.const_mul K
  simp only [mul_zero] at this
  refine' squeeze_zero_norm' _ this
  filter_upwards [g_supp, g_bound, f_int, (tendsto_order.1 hg).1 _ zero_lt_one] with i hi h'i h''i hi_int
  have mu_ai : μ (a i) < ∞ := by
    rw [lt_top_iff_ne_top]
    intro h
    simp only [h, ENNReal.top_toReal, _root_.div_zero, abs_nonpos_iff] at h'i
    have : ∫ (y : α), g i y ∂μ = ∫ (y : α), 0 ∂μ := by congr; ext y; exact h'i y
    simp [this] at hi_int
  apply (norm_integral_le_integral_norm _).trans
  simp_rw [average_eq, smul_eq_mul, ← integral_mul_left, norm_smul, ← mul_assoc, ← div_eq_mul_inv]
  have : ∀ x, x ∉ a i → ‖g i x‖ * ‖(f x - c)‖ = 0 := by
    intro x hx
    have : g i x = 0 := by rw [← Function.nmem_support]; exact fun h ↦ hx (hi h)
    simp [this]
  rw [← set_integral_eq_integral_of_forall_compl_eq_zero this (μ := μ)]
  refine' integral_mono_of_nonneg (eventually_of_forall (fun x ↦ by positivity)) _ (eventually_of_forall (fun x ↦ _))
  · apply (Integrable.sub h''i _).norm.const_mul
    change IntegrableOn (fun _ ↦ c) (a i) μ
    simp [integrableOn_const, mu_ai]
  · dsimp; gcongr; simpa using h'i x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have := hf.const_mul K
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 (K * 0))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simp only [mul_zero] at this
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
refine' squeeze_zero_norm' _ this
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, ‖∫ (y : α), g n y • (f y - c) ∂μ‖ ≤ K * ⨍ (y : α) in a n, ‖f y - c‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
filter_upwards [g_supp, g_bound, f_int, (tendsto_order.1 hg).1 _ zero_lt_one] with i hi h'i h''i hi_int
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
⊢ ‖∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ‖ ≤ K * ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
have mu_ai : μ (a i) < ∞ := by
  rw [lt_top_iff_ne_top]
  intro h
  simp only [h, ENNReal.top_toReal, _root_.div_zero, abs_nonpos_iff] at h'i
  have : ∫ (y : α), g i y ∂μ = ∫ (y : α), 0 ∂μ := by congr; ext y; exact h'i y
  simp [this] at hi_int
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
⊢ ↑↑μ (a i) < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [lt_top_iff_ne_top]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
⊢ ↑↑μ (a i) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : ↑↑μ (a i) = ⊤
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp only [h, ENNReal.top_toReal, _root_.div_zero, abs_nonpos_iff] at h'i
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : ↑↑μ (a i) = ⊤
h'i : ∀ (x : α), g i x = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
have : ∫ (y : α), g i y ∂μ = ∫ (y : α), 0 ∂μ := by congr; ext y; exact h'i y
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : ↑↑μ (a i) = ⊤
h'i : ∀ (x : α), g i x = 0
⊢ ∫ (y : α), g i y ∂μ = ∫ (y : α), 0 ∂μ
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case e_f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : ↑↑μ (a i) = ⊤
h'i : ∀ (x : α), g i x = 0
⊢ (fun y => g i y) = fun y => 0
[PROOFSTEP]
ext y
[GOAL]
case e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : ↑↑μ (a i) = ⊤
h'i : ∀ (x : α), g i x = 0
y : α
⊢ g i y = 0
[PROOFSTEP]
exact h'i y
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : ↑↑μ (a i) = ⊤
h'i : ∀ (x : α), g i x = 0
this : ∫ (y : α), g i y ∂μ = ∫ (y : α), 0 ∂μ
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp [this] at hi_int
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
⊢ ‖∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ‖ ≤ K * ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
apply (norm_integral_le_integral_norm _).trans
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
⊢ ∫ (a : α), ‖g i a • (f a - c)‖ ∂μ ≤ K * ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [average_eq, smul_eq_mul, ← integral_mul_left, norm_smul, ← mul_assoc, ← div_eq_mul_inv]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
⊢ ∫ (a : α), ‖g i a‖ * ‖f a - c‖ ∂μ ≤
    ∫ (a_1 : α) in a i, K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
have : ∀ x, x ∉ a i → ‖g i x‖ * ‖(f x - c)‖ = 0 := by
  intro x hx
  have : g i x = 0 := by rw [← Function.nmem_support]; exact fun h ↦ hx (hi h)
  simp [this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
⊢ ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
x : α
hx : ¬x ∈ a i
⊢ ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
[PROOFSTEP]
have : g i x = 0 := by rw [← Function.nmem_support]; exact fun h ↦ hx (hi h)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
x : α
hx : ¬x ∈ a i
⊢ g i x = 0
[PROOFSTEP]
rw [← Function.nmem_support]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
x : α
hx : ¬x ∈ a i
⊢ ¬x ∈ support (g i)
[PROOFSTEP]
exact fun h ↦ hx (hi h)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
x : α
hx : ¬x ∈ a i
this : g i x = 0
⊢ ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
[PROOFSTEP]
simp [this]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
⊢ ∫ (a : α), ‖g i a‖ * ‖f a - c‖ ∂μ ≤
    ∫ (a_1 : α) in a i, K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← set_integral_eq_integral_of_forall_compl_eq_zero this (μ := μ)]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
⊢ ∫ (x : α) in a i, ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ ∂μ ≤
    ∫ (a_1 : α) in a i, K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' integral_mono_of_nonneg (eventually_of_forall (fun x ↦ by positivity)) _ (eventually_of_forall (fun x ↦ _))
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
x : α
⊢ OfNat.ofNat 0 x ≤ (fun x => ‖g i x‖ * ‖f x - c‖) x
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
case h.refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
⊢ Integrable fun a_1 => K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖
[PROOFSTEP]
apply (Integrable.sub h''i _).norm.const_mul
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
⊢ Integrable fun x => c
[PROOFSTEP]
change IntegrableOn (fun _ ↦ c) (a i) μ
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
⊢ IntegrableOn (fun x => c) (a i)
[PROOFSTEP]
simp [integrableOn_const, mu_ai]
[GOAL]
case h.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
x : α
⊢ (fun x => ‖g i x‖ * ‖f x - c‖) x ≤ (fun a_1 => K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖) x
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case h.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
x : α
⊢ |g i x| * ‖f x - c‖ ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f x - c‖
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h.refine'_2.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
h''i : IntegrableOn f (a i)
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤
this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
x : α
⊢ |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ)
[PROOFSTEP]
simpa using h'i x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)
[PROOFSTEP]
have := L0.add (hg.smul_const c)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x => ∫ (y : α), g x y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g x y ∂μ) • c) l (𝓝 (0 + 1 • c))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)
[PROOFSTEP]
simp only [one_smul, zero_add] at this
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i)
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i))
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i)
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x => ∫ (y : α), g x y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g x y ∂μ) • c) l (𝓝 c)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)
[PROOFSTEP]
exact Tendsto.congr' I this