[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
f : Matrix n m R
x✝² x✝¹ : n → R₁
x✝ : m → R₂
⊢ (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) (x✝² + x✝¹) x✝ =
    (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) x✝² x✝ +
      (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) x✝¹ x✝
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.add_apply, map_add, add_mul, sum_add_distrib]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
f : Matrix n m R
x✝² : R₁
x✝¹ : n → R₁
x✝ : m → R₂
⊢ (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) (x✝² • x✝¹) x✝ =
    ↑σ₁ x✝² • (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) x✝¹ x✝
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.smul_apply, smul_eq_mul, RingHom.map_mul, mul_assoc, mul_sum]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
f : Matrix n m R
x✝² : n → R₁
x✝¹ x✝ : m → R₂
⊢ (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) x✝² (x✝¹ + x✝) =
    (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) x✝² x✝¹ +
      (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) x✝² x✝
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.add_apply, map_add, mul_add, sum_add_distrib]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
f : Matrix n m R
x✝² : R₂
x✝¹ : n → R₁
x✝ : m → R₂
⊢ (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) x✝¹ (x✝² • x✝) =
    ↑σ₂ x✝² • (fun v w => ∑ i : n, ∑ j : m, ↑σ₁ (v i) * f i j * ↑σ₂ (w j)) x✝¹ x✝
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.smul_apply, smul_eq_mul, RingHom.map_mul, mul_assoc, mul_left_comm, mul_sum]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m R
i : n
j : m
⊢ ↑(↑(toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ f) (↑(LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1))
      (↑(LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) =
    f i j
[PROOFSTEP]
rw [Matrix.toLinearMap₂'Aux, mk₂'ₛₗ_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m R
i : n
j : m
⊢ ∑ i_1 : n,
      ∑ j_1 : m,
        ↑σ₁ (↑(LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1 i_1) * f i_1 j_1 *
          ↑σ₂ (↑(LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1 j_1) =
    f i j
[PROOFSTEP]
have : (∑ i', ∑ j', (if i = i' then 1 else 0) * f i' j' * if j = j' then 1 else 0) = f i j :=
  by
  simp_rw [mul_assoc, ← Finset.mul_sum]
  simp only [boole_mul, Finset.sum_ite_eq, Finset.mem_univ, if_true, mul_comm (f _ _)]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m R
i : n
j : m
⊢ (∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) * f i' j' * if j = j' then 1 else 0) = f i j
[PROOFSTEP]
simp_rw [mul_assoc, ← Finset.mul_sum]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m R
i : n
j : m
⊢ (∑ x : n, (if i = x then 1 else 0) * ∑ x_1 : m, f x x_1 * if j = x_1 then 1 else 0) = f i j
[PROOFSTEP]
simp only [boole_mul, Finset.sum_ite_eq, Finset.mem_univ, if_true, mul_comm (f _ _)]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m R
i : n
j : m
this : (∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) * f i' j' * if j = j' then 1 else 0) = f i j
⊢ ∑ i_1 : n,
      ∑ j_1 : m,
        ↑σ₁ (↑(LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1 i_1) * f i_1 j_1 *
          ↑σ₂ (↑(LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1 j_1) =
    f i j
[PROOFSTEP]
rw [← this]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m R
i : n
j : m
this : (∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) * f i' j' * if j = j' then 1 else 0) = f i j
⊢ ∑ i_1 : n,
      ∑ j_1 : m,
        ↑σ₁ (↑(LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1 i_1) * f i_1 j_1 *
          ↑σ₂ (↑(LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1 j_1) =
    ∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) * f i' j' * if j = j' then 1 else 0
[PROOFSTEP]
exact Finset.sum_congr rfl fun _ _ => Finset.sum_congr rfl fun _ _ => by simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m R
i : n
j : m
this : (∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) * f i' j' * if j = j' then 1 else 0) = f i j
x✝³ : n
x✝² : x✝³ ∈ univ
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ ↑σ₁ (↑(LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1 x✝³) * f x✝³ x✝¹ *
      ↑σ₂ (↑(LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1 x✝¹) =
    (if i = x✝³ then 1 else 0) * f x✝³ x✝¹ * if j = x✝¹ then 1 else 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
f : (n → R₁) →ₛₗ[σ₁] (m → R₂) →ₛₗ[σ₂] R
⊢ toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂
      (↑(toMatrix₂Aux (fun i => ↑(stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j => ↑(stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) f) =
    f
[PROOFSTEP]
refine' ext_basis (Pi.basisFun R₁ n) (Pi.basisFun R₂ m) fun i j => _
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
f : (n → R₁) →ₛₗ[σ₁] (m → R₂) →ₛₗ[σ₂] R
i : n
j : m
⊢ ↑(↑(toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂
              (↑(toMatrix₂Aux (fun i => ↑(stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j => ↑(stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) f))
          (↑(Pi.basisFun R₁ n) i))
      (↑(Pi.basisFun R₂ m) j) =
    ↑(↑f (↑(Pi.basisFun R₁ n) i)) (↑(Pi.basisFun R₂ m) j)
[PROOFSTEP]
simp_rw [Pi.basisFun_apply, Matrix.toLinearMap₂'Aux_stdBasis, LinearMap.toMatrix₂Aux_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
f : Matrix n m R
⊢ ↑(toMatrix₂Aux (fun i => ↑(LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j =>
          ↑(LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1)
      (toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ f) =
    f
[PROOFSTEP]
ext i j
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
f : Matrix n m R
i : n
j : m
⊢ ↑(toMatrix₂Aux (fun i => ↑(LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j =>
          ↑(LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1)
      (toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ f) i j =
    f i j
[PROOFSTEP]
simp_rw [LinearMap.toMatrix₂Aux_apply, Matrix.toLinearMap₂'Aux_stdBasis]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : CommRing R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
M : Matrix n m R
v : n → R
w : m → R
⊢ ↑(↑(↑toLinearMap₂' M) v) w = v ⬝ᵥ mulVec M w
[PROOFSTEP]
simp_rw [Matrix.toLinearMap₂'_apply, Matrix.dotProduct, Matrix.mulVec, Matrix.dotProduct]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : CommRing R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
M : Matrix n m R
v : n → R
w : m → R
⊢ ∑ i : n, ∑ j : m, v i * M i j * w j = ∑ x : n, v x * ∑ x_1 : m, M x x_1 * w x_1
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_congr rfl fun _ _ => _
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : CommRing R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
M : Matrix n m R
v : n → R
w : m → R
x✝¹ : n
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ ∑ j : m, v x✝¹ * M x✝¹ j * w j = v x✝¹ * ∑ x : m, M x✝¹ x * w x
[PROOFSTEP]
rw [Finset.mul_sum]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : CommRing R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
M : Matrix n m R
v : n → R
w : m → R
x✝¹ : n
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ ∑ j : m, v x✝¹ * M x✝¹ j * w j = ∑ x : m, v x✝¹ * (M x✝¹ x * w x)
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_congr rfl fun _ _ => _
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : CommRing R₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
M : Matrix n m R
v : n → R
w : m → R
x✝³ : n
x✝² : x✝³ ∈ univ
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ v x✝³ * M x✝³ x✝¹ * w x✝¹ = v x✝³ * (M x✝³ x✝¹ * w x✝¹)
[PROOFSTEP]
rw [← mul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
⊢ ↑toMatrix₂' (compl₁₂ B l r) = (↑toMatrix' l)ᵀ * ↑toMatrix₂' B * ↑toMatrix' r
[PROOFSTEP]
ext i j
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ ↑toMatrix₂' (compl₁₂ B l r) i j = ((↑toMatrix' l)ᵀ * ↑toMatrix₂' B * ↑toMatrix' r) i j
[PROOFSTEP]
simp only [LinearMap.toMatrix₂'_apply, LinearMap.compl₁₂_apply, transpose_apply, Matrix.mul_apply, LinearMap.toMatrix',
  LinearEquiv.coe_mk, sum_mul]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ ↑(↑B (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1)) =
    ∑ x : m,
      ∑ x_1 : n,
        ↑of (fun i j => ↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x_1 i *
            ↑(↑B (↑(stdBasis R (fun x => R) x_1) 1)) (↑(stdBasis R (fun x => R) x) 1) *
          ↑of (fun i j => ↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
[PROOFSTEP]
rw [sum_comm]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ ↑(↑B (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1)) =
    ∑ y : n,
      ∑ x : m,
        ↑of (fun i j => ↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i *
            ↑(↑B (↑(stdBasis R (fun x => R) y) 1)) (↑(stdBasis R (fun x => R) x) 1) *
          ↑of (fun i j => ↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
[PROOFSTEP]
conv_lhs => rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) (l _) (r _)]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
| ↑(↑B (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) (l _) (r _)]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
| ↑(↑B (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) (l _) (r _)]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
| ↑(↑B (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) (l _) (r _)]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ (Finsupp.sum (↑(Pi.basisFun R n).repr (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) fun i xi =>
      Finsupp.sum (↑(Pi.basisFun R m).repr (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))) fun j yj =>
        xi • yj • ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i)) (↑(Pi.basisFun R m) j)) =
    ∑ y : n,
      ∑ x : m,
        ↑of (fun i j => ↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i *
            ↑(↑B (↑(stdBasis R (fun x => R) y) 1)) (↑(stdBasis R (fun x => R) x) 1) *
          ↑of (fun i j => ↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
[PROOFSTEP]
rw [Finsupp.sum_fintype]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ (∑ i_1 : n,
      Finsupp.sum (↑(Pi.basisFun R m).repr (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))) fun j yj =>
        ↑(↑(Pi.basisFun R n).repr (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i_1 •
          yj • ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i_1)) (↑(Pi.basisFun R m) j)) =
    ∑ y : n,
      ∑ x : m,
        ↑of (fun i j => ↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i *
            ↑(↑B (↑(stdBasis R (fun x => R) y) 1)) (↑(stdBasis R (fun x => R) x) 1) *
          ↑of (fun i j => ↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
[PROOFSTEP]
apply sum_congr rfl
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (x : n),
    x ∈ univ →
      (Finsupp.sum (↑(Pi.basisFun R m).repr (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))) fun j yj =>
          ↑(↑(Pi.basisFun R n).repr (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) x •
            yj • ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) x)) (↑(Pi.basisFun R m) j)) =
        ∑ x_1 : m,
          ↑of (fun i j => ↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x i *
              ↑(↑B (↑(stdBasis R (fun x => R) x) 1)) (↑(stdBasis R (fun x => R) x_1) 1) *
            ↑of (fun i j => ↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x_1 j
[PROOFSTEP]
rintro i' -
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ (Finsupp.sum (↑(Pi.basisFun R m).repr (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))) fun j yj =>
      ↑(↑(Pi.basisFun R n).repr (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i' •
        yj • ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i')) (↑(Pi.basisFun R m) j)) =
    ∑ x : m,
      ↑of (fun i j => ↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) i' i *
          ↑(↑B (↑(stdBasis R (fun x => R) i') 1)) (↑(stdBasis R (fun x => R) x) 1) *
        ↑of (fun i j => ↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
[PROOFSTEP]
rw [Finsupp.sum_fintype]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∑ i_1 : m,
      ↑(↑(Pi.basisFun R n).repr (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i' •
        ↑(↑(Pi.basisFun R m).repr (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))) i_1 •
          ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i')) (↑(Pi.basisFun R m) i_1) =
    ∑ x : m,
      ↑of (fun i j => ↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) i' i *
          ↑(↑B (↑(stdBasis R (fun x => R) i') 1)) (↑(stdBasis R (fun x => R) x) 1) *
        ↑of (fun i j => ↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
[PROOFSTEP]
apply sum_congr rfl
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (x : m),
    x ∈ univ →
      ↑(↑(Pi.basisFun R n).repr (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i' •
          ↑(↑(Pi.basisFun R m).repr (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))) x •
            ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i')) (↑(Pi.basisFun R m) x) =
        ↑of (fun i j => ↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) i' i *
            ↑(↑B (↑(stdBasis R (fun x => R) i') 1)) (↑(stdBasis R (fun x => R) x) 1) *
          ↑of (fun i j => ↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
[PROOFSTEP]
rintro j' -
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
j' : m
⊢ ↑(↑(Pi.basisFun R n).repr (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i' •
      ↑(↑(Pi.basisFun R m).repr (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))) j' •
        ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i')) (↑(Pi.basisFun R m) j') =
    ↑of (fun i j => ↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) i' i *
        ↑(↑B (↑(stdBasis R (fun x => R) i') 1)) (↑(stdBasis R (fun x => R) j') 1) *
      ↑of (fun i j => ↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) j' j
[PROOFSTEP]
simp only [smul_eq_mul, Pi.basisFun_repr, mul_assoc, mul_comm, mul_left_comm, Pi.basisFun_apply, of_apply]
[GOAL]
case a.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (i_1 : m),
    ↑(↑(Pi.basisFun R n).repr (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i' •
        0 • ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i')) (↑(Pi.basisFun R m) i_1) =
      0
[PROOFSTEP]
intros
[GOAL]
case a.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
i✝ : m
⊢ ↑(↑(Pi.basisFun R n).repr (↑l (↑(stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i' •
      0 • ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i')) (↑(Pi.basisFun R m) i✝) =
    0
[PROOFSTEP]
simp only [zero_smul, smul_zero]
[GOAL]
case a.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (i : n),
    (Finsupp.sum (↑(Pi.basisFun R m).repr (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))) fun j yj =>
        0 • yj • ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i)) (↑(Pi.basisFun R m) j)) =
      0
[PROOFSTEP]
intros
[GOAL]
case a.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i✝ : n
⊢ (Finsupp.sum (↑(Pi.basisFun R m).repr (↑r (↑(stdBasis R (fun x => R) j) 1))) fun j yj =>
      0 • yj • ↑(↑B (↑(Pi.basisFun R n) i✝)) (↑(Pi.basisFun R m) j)) =
    0
[PROOFSTEP]
simp only [zero_smul, Finsupp.sum_zero]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (n' → R) →ₗ[R] n → R
⊢ ↑toMatrix₂' (comp B f) = (↑toMatrix' f)ᵀ * ↑toMatrix₂' B
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.compl₂_id (B.comp f), ← LinearMap.compl₁₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (n' → R) →ₗ[R] n → R
⊢ ↑toMatrix₂' (compl₁₂ B f id) = (↑toMatrix' f)ᵀ * ↑toMatrix₂' B
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (m' → R) →ₗ[R] m → R
⊢ ↑toMatrix₂' (compl₂ B f) = ↑toMatrix₂' B * ↑toMatrix' f
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.comp_id B, ← LinearMap.compl₁₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (m' → R) →ₗ[R] m → R
⊢ ↑toMatrix₂' (compl₁₂ B id f) = ↑toMatrix₂' (comp B id) * ↑toMatrix' f
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
N : Matrix m m' R
⊢ M * ↑toMatrix₂' B * N = ↑toMatrix₂' (compl₁₂ B (↑toLin' Mᵀ) (↑toLin' N))
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
⊢ M * ↑toMatrix₂' B = ↑toMatrix₂' (comp B (↑toLin' Mᵀ))
[PROOFSTEP]
simp only [B.toMatrix₂'_comp, transpose_transpose, toMatrix'_toLin']
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R
⊢ ↑toMatrix₂' B * M = ↑toMatrix₂' (compl₂ B (↑toLin' M))
[PROOFSTEP]
simp only [B.toMatrix₂'_compl₂, toMatrix'_toLin']
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
σ₁ : R₁ →+* R
σ₂ : R₂ →+* R
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
M : Matrix n m R
P : Matrix n n' R
Q : Matrix m m' R
⊢ ↑toMatrix₂' (compl₁₂ (↑toLinearMap₂' M) (↑toLin' P) (↑toLin' Q)) = ↑toMatrix₂' (↑toLinearMap₂' (Pᵀ * M * Q))
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
i : n
j : m
⊢ ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B i j = ↑(↑B (↑b₁ i)) (↑b₂ j)
[PROOFSTEP]
simp only [LinearMap.toMatrix₂, LinearEquiv.trans_apply, LinearMap.toMatrix₂'_apply, LinearEquiv.trans_apply,
  LinearMap.toMatrix₂'_apply, LinearEquiv.arrowCongr_apply, Basis.equivFun_symm_stdBasis, LinearEquiv.refl_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
i : n
j : m
⊢ ↑(toMatrix₂Aux ↑b₁ ↑b₂) B i j = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B i j
[PROOFSTEP]
rw [LinearMap.toMatrix₂_apply, LinearMap.toMatrix₂Aux_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
⊢ toLinearMap₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) = toLinearMap₂'
[PROOFSTEP]
ext M
[GOAL]
case h.h.h.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
M : Matrix n m R
i✝¹ : n
i✝ : m
⊢ ↑(comp (↑(comp (↑(toLinearMap₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) M) (single i✝¹)) 1) (single i✝)) 1 =
    ↑(comp (↑(comp (↑toLinearMap₂' M) (single i✝¹)) 1) (single i✝)) 1
[PROOFSTEP]
simp only [Matrix.toLinearMap₂_apply, Matrix.toLinearMap₂'_apply, Pi.basisFun_repr, coe_comp, Function.comp_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
⊢ toMatrix₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) = toMatrix₂'
[PROOFSTEP]
ext B
[GOAL]
case h.a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
i✝ : n
x✝ : m
⊢ ↑(toMatrix₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) B i✝ x✝ = ↑toMatrix₂' B i✝ x✝
[PROOFSTEP]
rw [LinearMap.toMatrix₂_apply, LinearMap.toMatrix₂'_apply, Pi.basisFun_apply, Pi.basisFun_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
⊢ ↑(toMatrix₂ b₁' b₂') (compl₁₂ B l r) = (↑(toMatrix b₁' b₁) l)ᵀ * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B * ↑(toMatrix b₂' b₂) r
[PROOFSTEP]
ext i j
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ ↑(toMatrix₂ b₁' b₂') (compl₁₂ B l r) i j = ((↑(toMatrix b₁' b₁) l)ᵀ * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B * ↑(toMatrix b₂' b₂) r) i j
[PROOFSTEP]
simp only [LinearMap.toMatrix₂_apply, compl₁₂_apply, transpose_apply, Matrix.mul_apply, LinearMap.toMatrix_apply,
  LinearEquiv.coe_mk, sum_mul]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ ↑(↑B (↑l (↑b₁' i))) (↑r (↑b₂' j)) =
    ∑ x : m, ∑ x_1 : n, ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) x_1 * ↑(↑B (↑b₁ x_1)) (↑b₂ x) * ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) x
[PROOFSTEP]
rw [sum_comm]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ ↑(↑B (↑l (↑b₁' i))) (↑r (↑b₂' j)) =
    ∑ y : n, ∑ x : m, ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) y * ↑(↑B (↑b₁ y)) (↑b₂ x) * ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) x
[PROOFSTEP]
conv_lhs => rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul b₁ b₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
| ↑(↑B (↑l (↑b₁' i))) (↑r (↑b₂' j))
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul b₁ b₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
| ↑(↑B (↑l (↑b₁' i))) (↑r (↑b₂' j))
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul b₁ b₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
| ↑(↑B (↑l (↑b₁' i))) (↑r (↑b₂' j))
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul b₁ b₂]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ (Finsupp.sum (↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) fun i xi =>
      Finsupp.sum (↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) fun j yj => xi • yj • ↑(↑B (↑b₁ i)) (↑b₂ j)) =
    ∑ y : n, ∑ x : m, ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) y * ↑(↑B (↑b₁ y)) (↑b₂ x) * ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) x
[PROOFSTEP]
rw [Finsupp.sum_fintype]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ (∑ i_1 : n,
      Finsupp.sum (↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) fun j yj => ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i_1 • yj • ↑(↑B (↑b₁ i_1)) (↑b₂ j)) =
    ∑ y : n, ∑ x : m, ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) y * ↑(↑B (↑b₁ y)) (↑b₂ x) * ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) x
[PROOFSTEP]
apply sum_congr rfl
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (x : n),
    x ∈ univ →
      (Finsupp.sum (↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) fun j yj => ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) x • yj • ↑(↑B (↑b₁ x)) (↑b₂ j)) =
        ∑ x_1 : m, ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) x * ↑(↑B (↑b₁ x)) (↑b₂ x_1) * ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) x_1
[PROOFSTEP]
rintro i' -
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ (Finsupp.sum (↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) fun j yj => ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' • yj • ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ j)) =
    ∑ x : m, ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' * ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ x) * ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) x
[PROOFSTEP]
rw [Finsupp.sum_fintype]
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∑ i_1 : m, ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' • ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) i_1 • ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ i_1) =
    ∑ x : m, ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' * ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ x) * ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) x
[PROOFSTEP]
apply sum_congr rfl
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (x : m),
    x ∈ univ →
      ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' • ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) x • ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ x) =
        ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' * ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ x) * ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) x
[PROOFSTEP]
rintro j' -
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
j' : m
⊢ ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' • ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) j' • ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ j') =
    ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' * ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ j') * ↑(↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) j'
[PROOFSTEP]
simp only [smul_eq_mul, LinearMap.toMatrix_apply, Basis.equivFun_apply, mul_assoc, mul_comm, mul_left_comm]
[GOAL]
case a.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (i_1 : m), ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' • 0 • ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ i_1) = 0
[PROOFSTEP]
intros
[GOAL]
case a.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
i✝ : m
⊢ ↑(↑b₁.repr (↑l (↑b₁' i))) i' • 0 • ↑(↑B (↑b₁ i')) (↑b₂ i✝) = 0
[PROOFSTEP]
simp only [zero_smul, smul_zero]
[GOAL]
case a.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (i : n), (Finsupp.sum (↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) fun j yj => 0 • yj • ↑(↑B (↑b₁ i)) (↑b₂ j)) = 0
[PROOFSTEP]
intros
[GOAL]
case a.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i✝ : n
⊢ (Finsupp.sum (↑b₂.repr (↑r (↑b₂' j))) fun j yj => 0 • yj • ↑(↑B (↑b₁ i✝)) (↑b₂ j)) = 0
[PROOFSTEP]
simp only [zero_smul, Finsupp.sum_zero]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₁' →ₗ[R] M₁
⊢ ↑(toMatrix₂ b₁' b₂) (comp B f) = (↑(toMatrix b₁' b₁) f)ᵀ * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.compl₂_id (B.comp f), ← LinearMap.compl₁₂, LinearMap.toMatrix₂_compl₁₂ b₁ b₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₁' →ₗ[R] M₁
⊢ (↑(toMatrix b₁' b₁) f)ᵀ * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B * ↑(toMatrix b₂ b₂) id = (↑(toMatrix b₁' b₁) f)ᵀ * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₂' →ₗ[R] M₂
⊢ ↑(toMatrix₂ b₁ b₂') (compl₂ B f) = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B * ↑(toMatrix b₂' b₂) f
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.comp_id B, ← LinearMap.compl₁₂, LinearMap.toMatrix₂_compl₁₂ b₁ b₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₂' →ₗ[R] M₂
⊢ (↑(toMatrix b₁ b₁) id)ᵀ * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B * ↑(toMatrix b₂' b₂) f =
    ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) (comp B id) * ↑(toMatrix b₂' b₂) f
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
c₁ : Basis n' R M₁
c₂ : Basis m' R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
⊢ (Basis.toMatrix b₁ ↑c₁)ᵀ * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B * Basis.toMatrix b₂ ↑c₂ = ↑(toMatrix₂ c₁ c₂) B
[PROOFSTEP]
simp_rw [← LinearMap.toMatrix_id_eq_basis_toMatrix]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
c₁ : Basis n' R M₁
c₂ : Basis m' R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
⊢ (↑(toMatrix c₁ b₁) id)ᵀ * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B * ↑(toMatrix c₂ b₂) id = ↑(toMatrix₂ c₁ c₂) B
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.toMatrix₂_compl₁₂, LinearMap.compl₁₂_id_id]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
N : Matrix m m' R
⊢ M * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B * N = ↑(toMatrix₂ b₁' b₂') (compl₁₂ B (↑(toLin b₁' b₁) Mᵀ) (↑(toLin b₂' b₂) N))
[PROOFSTEP]
simp_rw [LinearMap.toMatrix₂_compl₁₂ b₁ b₂, toMatrix_toLin, transpose_transpose]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
⊢ M * ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B = ↑(toMatrix₂ b₁' b₂) (comp B (↑(toLin b₁' b₁) Mᵀ))
[PROOFSTEP]
rw [LinearMap.toMatrix₂_comp b₁, toMatrix_toLin, transpose_transpose]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R
⊢ ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B * M = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂') (compl₂ B (↑(toLin b₂' b₂) M))
[PROOFSTEP]
rw [LinearMap.toMatrix₂_compl₂ b₁ b₂, toMatrix_toLin]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
M : Matrix n m R
P : Matrix n n' R
Q : Matrix m m' R
⊢ ↑(toMatrix₂ b₁' b₂') (compl₁₂ (↑(toLinearMap₂ b₁ b₂) M) (↑(toLin b₁' b₁) P) (↑(toLin b₂' b₂) Q)) =
    ↑(toMatrix₂ b₁' b₂') (↑(toLinearMap₂ b₁' b₂') (Pᵀ * M * Q))
[PROOFSTEP]
simp only [LinearMap.toMatrix₂_compl₁₂ b₁ b₂, LinearMap.toMatrix₂_toLinearMap₂, toMatrix_toLin]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ LinearMap.IsAdjointPair (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J') (↑toLin' A) (↑toLin' A') ↔
    Matrix.IsAdjointPair J J' A A'
[PROOFSTEP]
rw [isAdjointPair_iff_comp_eq_compl₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ comp (↑toLinearMap₂' J') (↑toLin' A) = compl₂ (↑toLinearMap₂' J) (↑toLin' A') ↔ Matrix.IsAdjointPair J J' A A'
[PROOFSTEP]
have h : ∀ B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R, B = B' ↔ LinearMap.toMatrix₂' B = LinearMap.toMatrix₂' B' :=
  by
  intro B B'
  constructor <;> intro h
  · rw [h]
  · exact LinearMap.toMatrix₂'.injective h
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ ∀ (B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R), B = B' ↔ ↑toMatrix₂' B = ↑toMatrix₂' B'
[PROOFSTEP]
intro B B'
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
⊢ B = B' ↔ ↑toMatrix₂' B = ↑toMatrix₂' B'
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
⊢ B = B' → ↑toMatrix₂' B = ↑toMatrix₂' B'
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
⊢ ↑toMatrix₂' B = ↑toMatrix₂' B' → B = B'
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
h : B = B'
⊢ ↑toMatrix₂' B = ↑toMatrix₂' B'
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
h : ↑toMatrix₂' B = ↑toMatrix₂' B'
⊢ B = B'
[PROOFSTEP]
exact LinearMap.toMatrix₂'.injective h
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R), B = B' ↔ ↑toMatrix₂' B = ↑toMatrix₂' B'
⊢ comp (↑toLinearMap₂' J') (↑toLin' A) = compl₂ (↑toLinearMap₂' J) (↑toLin' A') ↔ Matrix.IsAdjointPair J J' A A'
[PROOFSTEP]
simp_rw [h, LinearMap.toMatrix₂'_comp, LinearMap.toMatrix₂'_compl₂, LinearMap.toMatrix'_toLin',
  LinearMap.toMatrix'_toLinearMap₂']
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R), B = B' ↔ ↑toMatrix₂' B = ↑toMatrix₂' B'
⊢ Aᵀ * J' = J * A' ↔ Matrix.IsAdjointPair J J' A A'
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ LinearMap.IsAdjointPair (↑(toLinearMap₂ b₁ b₁) J) (↑(toLinearMap₂ b₂ b₂) J') (↑(toLin b₁ b₂) A) (↑(toLin b₂ b₁) A') ↔
    Matrix.IsAdjointPair J J' A A'
[PROOFSTEP]
rw [isAdjointPair_iff_comp_eq_compl₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ comp (↑(toLinearMap₂ b₂ b₂) J') (↑(toLin b₁ b₂) A) = compl₂ (↑(toLinearMap₂ b₁ b₁) J) (↑(toLin b₂ b₁) A') ↔
    Matrix.IsAdjointPair J J' A A'
[PROOFSTEP]
have h : ∀ B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R, B = B' ↔ LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂ B = LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂ B' :=
  by
  intro B B'
  constructor <;> intro h
  · rw [h]
  · exact (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂).injective h
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ ∀ (B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R), B = B' ↔ ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B'
[PROOFSTEP]
intro B B'
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
⊢ B = B' ↔ ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B'
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
⊢ B = B' → ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B'
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
⊢ ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B' → B = B'
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
h : B = B'
⊢ ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B'
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
h : ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B'
⊢ B = B'
[PROOFSTEP]
exact (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂).injective h
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R), B = B' ↔ ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B'
⊢ comp (↑(toLinearMap₂ b₂ b₂) J') (↑(toLin b₁ b₂) A) = compl₂ (↑(toLinearMap₂ b₁ b₁) J) (↑(toLin b₂ b₁) A') ↔
    Matrix.IsAdjointPair J J' A A'
[PROOFSTEP]
simp_rw [h, LinearMap.toMatrix₂_comp b₂ b₂, LinearMap.toMatrix₂_compl₂ b₁ b₁, LinearMap.toMatrix_toLin,
  LinearMap.toMatrix₂_toLinearMap₂]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R), B = B' ↔ ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B = ↑(toMatrix₂ b₁ b₂) B'
⊢ Aᵀ * J' = J * A' ↔ Matrix.IsAdjointPair J J' A A'
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
⊢ IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔ IsAdjointPair J J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹)
[PROOFSTEP]
have h' : IsUnit P.det := P.isUnit_iff_isUnit_det.mp h
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
⊢ IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔ IsAdjointPair J J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹)
[PROOFSTEP]
let u := P.nonsingInvUnit h'
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
⊢ IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔ IsAdjointPair J J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹)
[PROOFSTEP]
let v := Pᵀ.nonsingInvUnit (P.isUnit_det_transpose h')
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
⊢ IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔ IsAdjointPair J J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹)
[PROOFSTEP]
let x := A₁ᵀ * Pᵀ * J
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
⊢ IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔ IsAdjointPair J J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹)
[PROOFSTEP]
let y := J * P * A₁
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
⊢ IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔ IsAdjointPair J J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹)
[PROOFSTEP]
suffices x * u.val = v.val * y ↔ (v⁻¹).val * x = y * (u⁻¹).val
  by
  dsimp only [Matrix.IsAdjointPair]
  simp only [Matrix.transpose_mul]
  simp only [← mul_assoc, P.transpose_nonsing_inv]
    -- porting note: the previous proof used `conv` and was causing timeouts, so we use `convert`
  convert this using 2
  · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc J]
    rfl
  · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc _ _ J]
    rfl
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔ IsAdjointPair J J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹)
[PROOFSTEP]
dsimp only [Matrix.IsAdjointPair]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ A₁ᵀ * (Pᵀ * J * P) = Pᵀ * J * P * A₁ ↔ (P * A₁ * P⁻¹)ᵀ * J = J * (P * A₁ * P⁻¹)
[PROOFSTEP]
simp only [Matrix.transpose_mul]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ A₁ᵀ * (Pᵀ * J * P) = Pᵀ * J * P * A₁ ↔ P⁻¹ᵀ * (A₁ᵀ * Pᵀ) * J = J * (P * A₁ * P⁻¹)
[PROOFSTEP]
simp only [← mul_assoc, P.transpose_nonsing_inv]
  -- porting note: the previous proof used `conv` and was causing timeouts, so we use `convert`
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ A₁ᵀ * Pᵀ * J * P = Pᵀ * J * P * A₁ ↔ Pᵀ⁻¹ * A₁ᵀ * Pᵀ * J = J * P * A₁ * P⁻¹
[PROOFSTEP]
convert this using 2
[GOAL]
case h.e'_1.h.e'_3
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ * J * P * A₁ = ↑v * y
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc J]
[GOAL]
case h.e'_1.h.e'_3
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ * (J * P * A₁) = ↑v * y
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_2
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ⁻¹ * A₁ᵀ * Pᵀ * J = ↑v⁻¹ * x
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc _ _ J]
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_2
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ⁻¹ * (A₁ᵀ * Pᵀ * J) = ↑v⁻¹ * x
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
[PROOFSTEP]
rw [Units.eq_mul_inv_iff_mul_eq]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x * ↑u = y
[PROOFSTEP]
conv_rhs => rw [mul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
| ↑v⁻¹ * x * ↑u = y
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
| ↑v⁻¹ * x * ↑u = y
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
| ↑v⁻¹ * x * ↑u = y
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * (x * ↑u) = y
[PROOFSTEP]
rw [v.inv_mul_eq_iff_eq_mul]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
[PROOFSTEP]
simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply, Submodule.mem_map,
  mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ (∃ y, IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) y ∧ ↑toMatrix' y = A₁) ↔
    Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ (∃ y, IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) y ∧ ↑toMatrix' y = A₁) →
    Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
[PROOFSTEP]
rintro ⟨f, hf, hA⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) f
hA : ↑toMatrix' f = A₁
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
[PROOFSTEP]
have hf' : f = toLin' A₁ := by rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) f
hA : ↑toMatrix' f = A₁
⊢ f = ↑toLin' A₁
[PROOFSTEP]
rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
[GOAL]
case mp.intro.intro
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) f
hA : ↑toMatrix' f = A₁
hf' : f = ↑toLin' A₁
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
[PROOFSTEP]
rw [hf'] at hf
[GOAL]
case mp.intro.intro
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) (↑toLin' A₁)
hA : ↑toMatrix' f = A₁
hf' : f = ↑toLin' A₁
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
[PROOFSTEP]
rw [← isAdjointPair_toLinearMap₂']
[GOAL]
case mp.intro.intro
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) (↑toLin' A₁)
hA : ↑toMatrix' f = A₁
hf' : f = ↑toLin' A₁
⊢ LinearMap.IsAdjointPair (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) (↑toLin' A₁) (↑toLin' A₁)
[PROOFSTEP]
exact hf
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ → ∃ y, IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) y ∧ ↑toMatrix' y = A₁
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
⊢ ∃ y, IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) y ∧ ↑toMatrix' y = A₁
[PROOFSTEP]
refine' ⟨toLin' A₁, _, LinearMap.toMatrix'_toLin' _⟩
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
⊢ IsPairSelfAdjoint (↑toLinearMap₂' J) (↑toLinearMap₂' J₂) (↑toLin' A₁)
[PROOFSTEP]
exact (isAdjointPair_toLinearMap₂' _ _ _ _).mpr h
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ A₁ ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ Matrix.IsSelfAdjoint J A₁
[PROOFSTEP]
erw [mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J A₁ A₁ ↔ Matrix.IsSelfAdjoint J A₁
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ A₁ ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J ↔ Matrix.IsSkewAdjoint J A₁
[PROOFSTEP]
erw [mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ Matrix.IsAdjointPair (-J) J A₁ A₁ ↔ Matrix.IsSkewAdjoint J A₁
[PROOFSTEP]
simp [Matrix.IsSkewAdjoint, Matrix.IsAdjointPair]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
M : Matrix ι ι R₁
h : Matrix.Nondegenerate M
x : ι → R₁
hx : ∀ (y : ι → R₁), ↑(↑(↑Matrix.toLinearMap₂' M) x) y = 0
y : ι → R₁
⊢ x ⬝ᵥ mulVec M y = 0
[PROOFSTEP]
simpa only [toLinearMap₂'_apply'] using hx y
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
M : Matrix ι ι R₁
b : Basis ι R₁ M₁
⊢ SeparatingLeft (↑(toLinearMap₂ b b) M) ↔ Matrix.Nondegenerate M
[PROOFSTEP]
rw [← Matrix.separatingLeft_toLinearMap₂'_iff_separatingLeft_toLinearMap₂, Matrix.separatingLeft_toLinearMap₂'_iff]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
inst✝ : IsDomain R₁
M : Matrix ι ι R₁
⊢ SeparatingLeft (↑toLinearMap₂' M) ↔ det M ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [Matrix.separatingLeft_toLinearMap₂'_iff, Matrix.nondegenerate_iff_det_ne_zero]
[GOAL]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
B✝ : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
inst✝ : IsDomain R₁
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
b : Basis ι R₁ M₁
⊢ SeparatingLeft B ↔ det (↑(toMatrix₂ b b) B) ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [← Matrix.nondegenerate_iff_det_ne_zero, nondegenerate_toMatrix_iff]