[GOAL]
d x y : ℤ
⊢ IsPell { re := x, im := y } ↔ { re := x, im := y } * star { re := x, im := y } = 1
[PROOFSTEP]
simp [Zsqrtd.ext, IsPell, mul_comm]
[GOAL]
d x y : ℤ
⊢ x * x - y * (d * y) = 1 ↔ x * x + -(y * (d * y)) = 1
[PROOFSTEP]
ring_nf
[GOAL]
d x y : ℤ
⊢ IsPell { re := x, im := y } ↔ { re := x, im := y } ∈ unitary (ℤ√d)
[PROOFSTEP]
rw [unitary.mem_iff, isPell_norm, mul_comm (star _), and_self_iff]
[GOAL]
d : ℤ
b c : ℤ√d
hb : IsPell b
hc : IsPell c
⊢ b * c * star (b * c) = 1
[PROOFSTEP]
simp [mul_comm, mul_left_comm c, mul_assoc, star_mul, isPell_norm.1 hb, isPell_norm.1 hc]
[GOAL]
d x y : ℤ
⊢ IsPell { re := x, im := y } ↔ IsPell (star { re := x, im := y })
[PROOFSTEP]
simp [IsPell, Zsqrtd.star_mk]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ 0 < 1
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ xn a1 1 = a
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ yn a1 1 = 1
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ a ≤ a * a
[PROOFSTEP]
have := @Nat.mul_le_mul_left 1 a a (le_of_lt a1)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : a * 1 ≤ a * a
⊢ a ≤ a * a
[PROOFSTEP]
rwa [mul_one] at this
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : 1 ≤ a * a
⊢ ↑(Pell.d a1) = az a * az a - 1
[PROOFSTEP]
rw [Pell.d, Int.ofNat_sub this]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : 1 ≤ a * a
⊢ ↑(a * a) - ↑1 = az a * az a - 1
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : IsPell { re := ↑x, im := ↑y }
⊢ ↑(x * x - Pell.d a1 * y * y) = ↑1
[PROOFSTEP]
rw [Int.ofNat_sub (Int.le_of_ofNat_le_ofNat <| Int.le.intro_sub _ h)]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : IsPell { re := ↑x, im := ↑y }
⊢ ↑(x * x) - ↑(Pell.d a1 * y * y) = ↑1
[PROOFSTEP]
exact h
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
⊢ ↑(x * x) - ↑(Pell.d a1 * y * y) = 1
[PROOFSTEP]
rw [← Int.ofNat_sub <| le_of_lt <| Nat.lt_of_sub_eq_succ h, h]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
⊢ ↑1 = 1
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ pellZd a1 (n + 1) = pellZd a1 n * { re := ↑a, im := 1 }
[PROOFSTEP]
simp [Zsqrtd.ext]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ az a * az a - ↑(Pell.d a1) * 1 * 1 = 1
[PROOFSTEP]
simp [dz_val]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ IsPell (pellZd a1 (n + 1))
[PROOFSTEP]
let o := isPell_one a1
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
o : IsPell { re := ↑a, im := 1 } := isPell_one a1
⊢ IsPell (pellZd a1 (n + 1))
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
o : IsPell { re := ↑a, im := 1 } := isPell_one a1
⊢ IsPell (pellZd a1 n * { re := ↑a, im := 1 })
[PROOFSTEP]
exact Pell.isPell_mul (isPell_pellZd n) o
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n
⊢ ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
[PROOFSTEP]
repeat' rw [Int.ofNat_mul]; exact pn
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n
⊢ ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
[PROOFSTEP]
rw [Int.ofNat_mul]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n
⊢ ↑(xn a1 n) * ↑(xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
[PROOFSTEP]
exact pn
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n
h : ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
hl : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n ≤ xn a1 n * xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = ↑1
[PROOFSTEP]
rw [Int.ofNat_sub hl]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n
h : ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
hl : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n ≤ xn a1 n * xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = ↑1
[PROOFSTEP]
exact h
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : Pell.d a1 = n * n
⊢ n * n + 1 = a * a
[PROOFSTEP]
rw [← h]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : Pell.d a1 = n * n
⊢ Pell.d a1 + 1 = a * a
[PROOFSTEP]
exact Nat.succ_pred_eq_of_pos (asq_pos a1)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : Pell.d a1 = n * n
this : n * n + 1 = a * a
⊢ n * n < a * a
[PROOFSTEP]
rw [← this]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : Pell.d a1 = n * n
this : n * n + 1 = a * a
⊢ n * n < n * n + 1
[PROOFSTEP]
exact Nat.lt_succ_self _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : Pell.d a1 = n * n
this : n * n + 1 = a * a
na : n < a
⊢ (n + 1) * (n + 1) ≤ n * n + 1
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : Pell.d a1 = n * n
this : n * n + 1 = a * a
na : n < a
⊢ (n + 1) * (n + 1) ≤ a * a
[PROOFSTEP]
exact Nat.mul_self_le_mul_self na
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : Pell.d a1 = n * n
this✝ : n * n + 1 = a * a
na : n < a
this : (n + 1) * (n + 1) ≤ n * n + 1
⊢ n + n + (n * n + 1) ≤ 0 + (n * n + 1)
[PROOFSTEP]
ring_nf at this ⊢
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : Pell.d a1 = n * n
this✝ : n * n + 1 = a * a
na : n < a
this : 1 + n * 2 + n ^ 2 ≤ 1 + n ^ 2
⊢ 1 + n * 2 + n ^ 2 ≤ 1 + n ^ 2
[PROOFSTEP]
assumption
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : Pell.d a1 = n * n
this✝¹ : n * n + 1 = a * a
na : n < a
this✝ : (n + 1) * (n + 1) ≤ n * n + 1
this : n + n ≤ 0
⊢ Pell.d a1 = 0
[PROOFSTEP]
rwa [Nat.eq_zero_of_le_zero ((Nat.le_add_left _ _).trans this)] at h
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) ≤ xn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
simp [_root_.pow_succ']
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ a ^ n * a ≤ xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n
[PROOFSTEP]
exact le_trans (Nat.mul_le_mul_right _ (xn_ge_a_pow n)) (Nat.le_add_right _ _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ n + 1 < a ^ (n + 1)
[PROOFSTEP]
have IH := n_lt_a_pow n
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
⊢ n + 1 < a ^ (n + 1)
[PROOFSTEP]
have : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a := by
  rw [← mul_two]
  exact Nat.mul_le_mul_left _ a1
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
⊢ a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a
[PROOFSTEP]
rw [← mul_two]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
⊢ a ^ n * 2 ≤ a ^ n * a
[PROOFSTEP]
exact Nat.mul_le_mul_left _ a1
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a
⊢ n + 1 < a ^ (n + 1)
[PROOFSTEP]
simp [_root_.pow_succ']
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a
⊢ n + 1 < a ^ n * a
[PROOFSTEP]
refine' lt_of_lt_of_le _ this
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a
⊢ n + 1 < a ^ n + a ^ n
[PROOFSTEP]
exact add_lt_add_of_lt_of_le IH (lt_of_le_of_lt (Nat.zero_le _) IH)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
⊢ Pell.d a1 * (0 + 1) * (0 + 1) ≤ 1 * (a + 0) * (a + 0)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
⊢ Pell.d a1 ≤ a * a
[PROOFSTEP]
exact Nat.pred_le _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
⊢ 1 ≤ b * { re := ↑a, im := -1 }
[PROOFSTEP]
rw [← a1m]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
⊢ { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } ≤ b * { re := ↑a, im := -1 }
[PROOFSTEP]
exact mul_le_mul_of_nonneg_right ha am1p
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
⊢ b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 n
[PROOFSTEP]
have t := mul_le_mul_of_nonneg_right h am1p
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
t : b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 (n + 1) * { re := ↑a, im := -1 }
⊢ b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 n
[PROOFSTEP]
rwa [pellZd_succ, mul_assoc, a1m, mul_one] at t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := ↑a, im := -1 } = pellZd a1 m
⊢ b = pellZd a1 (m + 1)
[PROOFSTEP]
rw [show b = b * ⟨a, -1⟩ * ⟨a, 1⟩ by rw [mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m]; simp, pellZd_succ, e]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := ↑a, im := -1 } = pellZd a1 m
⊢ b = b * { re := ↑a, im := -1 } * { re := ↑a, im := 1 }
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := ↑a, im := -1 } = pellZd a1 m
⊢ b = b * 1
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ b
h1l : 1 < b
⊢ False
[PROOFSTEP]
cases' b with x y
[GOAL]
case mk
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact by
  have bm : (_ * ⟨_, _⟩ : ℤ√d a1) = 1 := Pell.isPell_norm.1 hp
  have y0l : (0 : ℤ√d a1) < ⟨x - x, y - -y⟩ :=
    sub_lt_sub h1l fun hn : (1 : ℤ√d a1) ≤ ⟨x, -y⟩ =>
      by
      have t := mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)
      erw [bm, mul_one] at t
      exact h1l t
  have yl2 : (⟨_, _⟩ : ℤ√_) < ⟨_, _⟩ :=
    show (⟨x, y⟩ - ⟨x, -y⟩ : ℤ√d a1) < ⟨a, 1⟩ - ⟨a, -1⟩ from
      sub_lt_sub ha fun hn : (⟨x, -y⟩ : ℤ√d a1) ≤ ⟨a, -1⟩ =>
        by
        have t := mul_le_mul_of_nonneg_right (mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)) a1p
        erw [bm, one_mul, mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m, mul_one] at t
        exact ha t
  simp at y0l ; simp at yl2
  exact
    match y, y0l, (yl2 : (⟨_, _⟩ : ℤ√_) < ⟨_, _⟩) with
    | 0, y0l, _ => y0l (le_refl 0)
    | (y + 1 : ℕ), _, yl2 =>
      yl2
        (Zsqrtd.le_of_le_le (by simp [sub_eq_add_neg])
          (let t := Int.ofNat_le_ofNat_of_le (Nat.succ_pos y)
          add_le_add t t))
    | Int.negSucc _, y0l, _ => y0l trivial
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
⊢ False
[PROOFSTEP]
have bm : (_ * ⟨_, _⟩ : ℤ√d a1) = 1 := Pell.isPell_norm.1 hp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
⊢ False
[PROOFSTEP]
have y0l : (0 : ℤ√d a1) < ⟨x - x, y - -y⟩ :=
  sub_lt_sub h1l fun hn : (1 : ℤ√d a1) ≤ ⟨x, -y⟩ =>
    by
    have t := mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)
    erw [bm, mul_one] at t
    exact h1l t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
hn : 1 ≤ { re := x, im := -y }
⊢ False
[PROOFSTEP]
have t := mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
hn : 1 ≤ { re := x, im := -y }
t : { re := x, im := y } * 1 ≤ { re := x, im := y } * { re := x, im := -y }
⊢ False
[PROOFSTEP]
erw [bm, mul_one] at t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
hn : 1 ≤ { re := x, im := -y }
t : { re := x, im := y } ≤ 1
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact h1l t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
y0l : 0 < { re := x - x, im := y - -y }
⊢ False
[PROOFSTEP]
have yl2 : (⟨_, _⟩ : ℤ√_) < ⟨_, _⟩ :=
  show (⟨x, y⟩ - ⟨x, -y⟩ : ℤ√d a1) < ⟨a, 1⟩ - ⟨a, -1⟩ from
    sub_lt_sub ha fun hn : (⟨x, -y⟩ : ℤ√d a1) ≤ ⟨a, -1⟩ =>
      by
      have t := mul_le_mul_of_nonneg_right (mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)) a1p
      erw [bm, one_mul, mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m, mul_one] at t
      exact ha t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
y0l : 0 < { re := x - x, im := y - -y }
hn : { re := x, im := -y } ≤ { re := ↑a, im := -1 }
⊢ False
[PROOFSTEP]
have t := mul_le_mul_of_nonneg_right (mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)) a1p
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
y0l : 0 < { re := x - x, im := y - -y }
hn : { re := x, im := -y } ≤ { re := ↑a, im := -1 }
t :
  { re := x, im := y } * { re := x, im := -y } * { re := ↑a, im := 1 } ≤
    { re := x, im := y } * { re := ↑a, im := -1 } * { re := ↑a, im := 1 }
⊢ False
[PROOFSTEP]
erw [bm, one_mul, mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m, mul_one] at t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
y0l : 0 < { re := x - x, im := y - -y }
hn : { re := x, im := -y } ≤ { re := ↑a, im := -1 }
t : { re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact ha t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
y0l : 0 < { re := x - x, im := y - -y }
yl2 :
  { re := { re := x, im := y }.re + (-{ re := x, im := -y }).re,
      im := { re := x, im := y }.im + (-{ re := x, im := -y }).im } <
    { re := { re := ↑a, im := 1 }.re + (-{ re := ↑a, im := -1 }).re,
      im := { re := ↑a, im := 1 }.im + (-{ re := ↑a, im := -1 }).im }
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp at y0l
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
yl2 :
  { re := { re := x, im := y }.re + (-{ re := x, im := -y }).re,
      im := { re := x, im := y }.im + (-{ re := x, im := -y }).im } <
    { re := { re := ↑a, im := 1 }.re + (-{ re := ↑a, im := -1 }).re,
      im := { re := ↑a, im := 1 }.im + (-{ re := ↑a, im := -1 }).im }
y0l : 0 < { re := 0, im := y + y }
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp at yl2
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
bm : { re := x, im := y } * { re := { re := x, im := y }.re, im := -{ re := x, im := y }.im } = 1
y0l : 0 < { re := 0, im := y + y }
yl2 : { re := 0, im := y + y } < { re := 0, im := 1 + 1 }
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact
  match y, y0l, (yl2 : (⟨_, _⟩ : ℤ√_) < ⟨_, _⟩) with
  | 0, y0l, _ => y0l (le_refl 0)
  | (y + 1 : ℕ), _, yl2 =>
    yl2
      (Zsqrtd.le_of_le_le (by simp [sub_eq_add_neg])
        (let t := Int.ofNat_le_ofNat_of_le (Nat.succ_pos y)
        add_le_add t t))
  | Int.negSucc _, y0l, _ => y0l trivial
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y✝ : ℤ
y0l : 0 < { re := 0, im := y✝ + y✝ }
yl2✝ : { re := 0, im := y✝ + y✝ } < { re := 0, im := 1 + 1 }
y : ℕ
x✝ : 0 < { re := 0, im := ↑(y + 1) + ↑(y + 1) }
yl2 : { re := 0, im := ↑(y + 1) + ↑(y + 1) } < { re := 0, im := 1 + 1 }
h1 : 1 ≤ { re := x, im := ↑(y + 1) }
hp : IsPell { re := x, im := ↑(y + 1) }
h : { re := x, im := ↑(y + 1) } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := ↑(y + 1) }
h1l : 1 < { re := x, im := ↑(y + 1) }
bm : { re := x, im := ↑(y + 1) } * { re := { re := x, im := ↑(y + 1) }.re, im := -{ re := x, im := ↑(y + 1) }.im } = 1
⊢ 0 ≤ 0
[PROOFSTEP]
simp [sub_eq_add_neg]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
b1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
n : ℕ
h : b ≤ ↑n
⊢ ↑n ≤ pellZd a1 n
[PROOFSTEP]
rw [Zsqrtd.coe_nat_val]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
b1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
n : ℕ
h : b ≤ ↑n
⊢ { re := ↑n, im := 0 } ≤ pellZd a1 n
[PROOFSTEP]
exact Zsqrtd.le_of_le_le (Int.ofNat_le_ofNat_of_le <| le_of_lt <| n_lt_xn _ _) (Int.ofNat_zero_le _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 - Pell.d a1 * y * y = 1
⊢ 1 ≤ { re := ↑0, im := ↑y }
[PROOFSTEP]
rw [zero_tsub] at hp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 = 1
⊢ 1 ≤ { re := ↑0, im := ↑y }
[PROOFSTEP]
contradiction
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ pellZd a1 (m + (n + 1)) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
rw [← add_assoc, pellZd_succ, pellZd_succ, pellZd_add _ n, ← mul_assoc]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ xn a1 (m + n) = xn a1 m * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 m * yn a1 n
[PROOFSTEP]
injection pellZd_add a1 m n with h _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : ↑(xn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im
im_eq✝ : ↑(yn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re
⊢ xn a1 (m + n) = xn a1 m * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 m * yn a1 n
[PROOFSTEP]
zify
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : ↑(xn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im
im_eq✝ : ↑(yn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re
⊢ ↑(xn a1 (m + n)) = ↑(xn a1 m) * ↑(xn a1 n) + ↑(Pell.d a1) * ↑(yn a1 m) * ↑(yn a1 n)
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : ↑(xn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im
im_eq✝ : ↑(yn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re
⊢ (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im =
    ↑(xn a1 m) * ↑(xn a1 n) + ↑(Pell.d a1) * ↑(yn a1 m) * ↑(yn a1 n)
[PROOFSTEP]
simp [pellZd]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ yn a1 (m + n) = xn a1 m * yn a1 n + yn a1 m * xn a1 n
[PROOFSTEP]
injection pellZd_add a1 m n with _ h
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
re_eq✝ : ↑(xn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im
h : ↑(yn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re
⊢ yn a1 (m + n) = xn a1 m * yn a1 n + yn a1 m * xn a1 n
[PROOFSTEP]
zify
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
re_eq✝ : ↑(xn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im
h : ↑(yn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re
⊢ ↑(yn a1 (m + n)) = ↑(xn a1 m) * ↑(yn a1 n) + ↑(yn a1 m) * ↑(xn a1 n)
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
re_eq✝ : ↑(xn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im
h : ↑(yn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re
⊢ (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re =
    ↑(xn a1 m) * ↑(yn a1 n) + ↑(yn a1 m) * ↑(xn a1 n)
[PROOFSTEP]
simp [pellZd]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ pellZd a1 (m - n) = pellZd a1 m * star (pellZd a1 n)
[PROOFSTEP]
let t := pellZd_add a1 n (m - n)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
t : pellZd a1 (n + (m - n)) = pellZd a1 n * pellZd a1 (m - n) := pellZd_add a1 n (m - n)
⊢ pellZd a1 (m - n) = pellZd a1 m * star (pellZd a1 n)
[PROOFSTEP]
rw [add_tsub_cancel_of_le h] at t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
t : pellZd a1 m = pellZd a1 n * pellZd a1 (m - n)
⊢ pellZd a1 (m - n) = pellZd a1 m * star (pellZd a1 n)
[PROOFSTEP]
rw [t, mul_comm (pellZd _ n) _, mul_assoc, isPell_norm.1 (isPell_pellZd _ _), mul_one]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ xz a1 (m - n) = xz a1 m * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 m * yz a1 n
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← mul_neg]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ xz a1 (m - n) = xz a1 m * xz a1 n + ↑(Pell.d a1) * yz a1 m * -yz a1 n
[PROOFSTEP]
exact congr_arg Zsqrtd.re (pellZd_sub a1 h)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ yz a1 (m - n) = xz a1 n * yz a1 m - xz a1 m * yz a1 n
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← mul_neg, mul_comm, add_comm]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ yz a1 (m - n) = xz a1 m * -yz a1 n + yz a1 m * xz a1 n
[PROOFSTEP]
exact congr_arg Zsqrtd.im (pellZd_sub a1 h)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
x✝ : Nat.Prime k
kx : k ∣ xn a1 n
ky : k ∣ yn a1 n
⊢ k ∣ 1
[PROOFSTEP]
let p := pell_eq a1 n
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
x✝ : Nat.Prime k
kx : k ∣ xn a1 n
ky : k ∣ yn a1 n
p : xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n = 1 := pell_eq a1 n
⊢ k ∣ 1
[PROOFSTEP]
rw [← p]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
x✝ : Nat.Prime k
kx : k ∣ xn a1 n
ky : k ∣ yn a1 n
p : xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n = 1 := pell_eq a1 n
⊢ k ∣ xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n
[PROOFSTEP]
exact Nat.dvd_sub (le_of_lt <| Nat.lt_of_sub_eq_succ p) (kx.mul_left _) (ky.mul_left _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
⊢ yn a1 m < yn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
have : yn a1 m ≤ yn a1 n :=
  Or.elim (lt_or_eq_of_le <| Nat.le_of_succ_le_succ h) (fun hl => le_of_lt <| strictMono_y hl) fun e => by rw [e]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
e : m = n
⊢ yn a1 m ≤ yn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [e]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
⊢ yn a1 m < yn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
⊢ yn a1 m < xn a1 n + yn a1 n * a
[PROOFSTEP]
refine' lt_of_le_of_lt _ (Nat.lt_add_of_pos_left <| x_pos a1 n)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
⊢ yn a1 m ≤ yn a1 n * a
[PROOFSTEP]
rw [← mul_one (yn a1 m)]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
⊢ yn a1 m * 1 ≤ yn a1 n * a
[PROOFSTEP]
exact mul_le_mul this (le_of_lt a1) (Nat.zero_le _) (Nat.zero_le _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
⊢ xn a1 m < xn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
have : xn a1 m ≤ xn a1 n :=
  Or.elim (lt_or_eq_of_le <| Nat.le_of_succ_le_succ h) (fun hl => le_of_lt <| strictMono_x hl) fun e => by rw [e]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
e : m = n
⊢ xn a1 m ≤ xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [e]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 m < xn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 m < xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n
[PROOFSTEP]
refine' lt_of_lt_of_le (lt_of_le_of_lt this _) (Nat.le_add_right _ _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 n < xn a1 n * a
[PROOFSTEP]
have t := Nat.mul_lt_mul_of_pos_left a1 (x_pos a1 n)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
t : xn a1 n * 1 < xn a1 n * a
⊢ xn a1 n < xn a1 n * a
[PROOFSTEP]
rwa [mul_one] at t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
⊢ yn a1 n ∣ yn a1 (n * (k + 1))
[PROOFSTEP]
rw [Nat.mul_succ, yn_add]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
⊢ yn a1 n ∣ xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n
[PROOFSTEP]
exact dvd_add (dvd_mul_left _ _) ((y_mul_dvd _ k).mul_right _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ yn a1 n
hp : n % m > 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
have co : Nat.coprime (yn a1 m) (xn a1 (m * (n / m))) :=
  Nat.coprime.symm <| (xy_coprime a1 _).coprime_dvd_right (y_mul_dvd a1 m (n / m))
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ yn a1 n
hp : n % m > 0
co : coprime (yn a1 m) (xn a1 (m * (n / m)))
⊢ False
[PROOFSTEP]
have m0 : 0 < m :=
  m.eq_zero_or_pos.resolve_left fun e => by
    rw [e, Nat.mod_zero] at hp ; rw [e] at h
    exact _root_.ne_of_lt (strictMono_y a1 hp) (eq_zero_of_zero_dvd h).symm
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ yn a1 n
hp : n % m > 0
co : coprime (yn a1 m) (xn a1 (m * (n / m)))
e : m = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [e, Nat.mod_zero] at hp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ yn a1 n
hp : n > 0
co : coprime (yn a1 m) (xn a1 (m * (n / m)))
e : m = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [e] at h
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 0 ∣ yn a1 n
hp : n > 0
co : coprime (yn a1 m) (xn a1 (m * (n / m)))
e : m = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact _root_.ne_of_lt (strictMono_y a1 hp) (eq_zero_of_zero_dvd h).symm
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ yn a1 n
hp : n % m > 0
co : coprime (yn a1 m) (xn a1 (m * (n / m)))
m0 : 0 < m
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [← Nat.mod_add_div n m, yn_add] at h
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ xn a1 (n % m) * yn a1 (m * (n / m)) + yn a1 (n % m) * xn a1 (m * (n / m))
hp : n % m > 0
co : coprime (yn a1 m) (xn a1 (m * (n / m)))
m0 : 0 < m
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact
  not_le_of_gt (strictMono_y _ <| Nat.mod_lt n m0)
    (Nat.le_of_dvd (strictMono_y _ hp) <|
      co.dvd_of_dvd_mul_right <| (Nat.dvd_add_iff_right <| (y_mul_dvd _ _ _).mul_left _).2 h)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
x✝ : m ∣ n
k : ℕ
e : n = m * k
⊢ yn a1 m ∣ yn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [e]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
x✝ : m ∣ n
k : ℕ
e : n = m * k
⊢ yn a1 m ∣ yn a1 (m * k)
[PROOFSTEP]
apply y_mul_dvd
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ xn a1 (n * 0) ≡ xn a1 n ^ 0 [MOD yn a1 n ^ 2] ∧ yn a1 (n * 0) ≡ 0 * xn a1 n ^ (0 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case left
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ xn a1 (n * 0) ≡ xn a1 n ^ 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case right
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ yn a1 (n * 0) ≡ 0 * xn a1 n ^ (0 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case left
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 1 ≡ 1 [MOD yn a1 n ^ 2]
[PROOFSTEP]
exact Nat.ModEq.refl _
[GOAL]
case right
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 0 ≡ 0 [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
exact Nat.ModEq.refl _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
let ⟨hx, hy⟩ := xy_modEq_yn n k
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
have L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2] :=
  (hx.mul_right _).add <|
    modEq_zero_iff_dvd.2 <| by
      rw [_root_.pow_succ']
      exact
        mul_dvd_mul_right
          (dvd_mul_of_dvd_right
            (modEq_zero_iff_dvd.1 <| (hy.of_dvd <| by simp [_root_.pow_succ']).trans <| modEq_zero_iff_dvd.2 <| by simp)
            _)
          _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n ^ 2 ∣ Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [_root_.pow_succ']
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n ^ 1 * yn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n
[PROOFSTEP]
exact
  mul_dvd_mul_right
    (dvd_mul_of_dvd_right
      (modEq_zero_iff_dvd.1 <| (hy.of_dvd <| by simp [_root_.pow_succ']).trans <| modEq_zero_iff_dvd.2 <| by simp) _)
    _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n ^ 1 ∣ yn a1 n ^ 3
[PROOFSTEP]
simp [_root_.pow_succ']
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n ^ 1 ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
have R :
  xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD
    yn a1 n ^ 3] :=
  ModEq.add
      (by
        rw [_root_.pow_succ']
        exact hx.mul_right' _) <|
    by
    have : k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n := by
      cases' k with k <;> simp [_root_.pow_succ']; ring_nf
    rw [← this]
    exact hy.mul_right _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ xn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
rw [_root_.pow_succ']
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ xn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 2 * yn a1 n]
[PROOFSTEP]
exact hx.mul_right' _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
have : k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n := by
  cases' k with k <;> simp [_root_.pow_succ']; ring_nf
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n
[PROOFSTEP]
cases' k with k
[GOAL]
case zero
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
hx : xn a1 (n * zero) ≡ xn a1 n ^ zero [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * zero) ≡ zero * xn a1 n ^ (zero - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * zero) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * zero) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ zero * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ zero * xn a1 n ^ (zero - 1) * yn a1 n * xn a1 n = zero * xn a1 n ^ zero * yn a1 n
[PROOFSTEP]
simp [_root_.pow_succ']
[GOAL]
case succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * succ k) ≡ xn a1 n ^ succ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * succ k) ≡ succ k * xn a1 n ^ (succ k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L :
  xn a1 (n * succ k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * succ k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ succ k * xn a1 n + 0 [MOD
    yn a1 n ^ 2]
⊢ succ k * xn a1 n ^ (succ k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = succ k * xn a1 n ^ succ k * yn a1 n
[PROOFSTEP]
simp [_root_.pow_succ']
[GOAL]
case succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * succ k) ≡ xn a1 n ^ succ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * succ k) ≡ succ k * xn a1 n ^ (succ k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L :
  xn a1 (n * succ k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * succ k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ succ k * xn a1 n + 0 [MOD
    yn a1 n ^ 2]
⊢ succ k * xn a1 n ^ k * yn a1 n * xn a1 n = succ k * (xn a1 n ^ k * xn a1 n) * yn a1 n
[PROOFSTEP]
ring_nf
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
this : k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n
⊢ yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
rw [← this]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
this : k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n
⊢ yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
exact hy.mul_right _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
R :
  xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD
    yn a1 n ^ 3]
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
rw [add_tsub_cancel_right, Nat.mul_succ, xn_add, yn_add, pow_succ' (xn _ n), Nat.succ_mul,
  add_comm (k * xn _ n ^ k) (xn _ n ^ k), right_distrib]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
R :
  xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD
    yn a1 n ^ 3]
⊢ xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD
      yn a1 n ^ 3]
[PROOFSTEP]
exact ⟨L, R⟩
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 n ^ 3
[PROOFSTEP]
simp [_root_.pow_succ]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 n * xn a1 n ^ (yn a1 n - 1) * yn a1 n
[PROOFSTEP]
simp [mul_dvd_mul_left, mul_assoc]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0 : n = 0
⊢ yn a1 n ∣ t
[PROOFSTEP]
rwa [n0] at nt ⊢
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
⊢ yn a1 n ∣ t
[PROOFSTEP]
let ⟨k, ke⟩ := nt
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
⊢ yn a1 n ∣ t
[PROOFSTEP]
have : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1) :=
  Nat.dvd_of_mul_dvd_mul_right (strictMono_y a1 n0l) <|
    modEq_zero_iff_dvd.1 <| by
      have xm := (xy_modEq_yn a1 n k).right; rw [← ke] at xm
      exact (xm.of_dvd <| by simp [_root_.pow_succ]).symm.trans h.modEq_zero_nat
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n ≡ 0 [MOD yn a1 n * yn a1 n]
[PROOFSTEP]
have xm := (xy_modEq_yn a1 n k).right
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
xm : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n ≡ 0 [MOD yn a1 n * yn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [← ke] at xm
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
xm : yn a1 t ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n ≡ 0 [MOD yn a1 n * yn a1 n]
[PROOFSTEP]
exact (xm.of_dvd <| by simp [_root_.pow_succ]).symm.trans h.modEq_zero_nat
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
xm : yn a1 t ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 n ^ 3
[PROOFSTEP]
simp [_root_.pow_succ]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)
⊢ yn a1 n ∣ t
[PROOFSTEP]
rw [ke]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)
⊢ yn a1 n ∣ n * k
[PROOFSTEP]
exact dvd_mul_of_dvd_right (((xy_coprime _ _).pow_left _).symm.dvd_of_dvd_mul_right this) _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ pellZd a1 (n + 2) + pellZd a1 n = ↑(2 * a) * pellZd a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
have : (1 : ℤ√(d a1)) + ⟨a, 1⟩ * ⟨a, 1⟩ = ⟨a, 1⟩ * (2 * a) :=
  by
  rw [Zsqrtd.coe_nat_val]
  change (⟨_, _⟩ : ℤ√(d a1)) = ⟨_, _⟩
  rw [dz_val]
  dsimp [az]
  rw [Zsqrtd.ext]
  dsimp
  constructor <;> ring_nf
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 1 + { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := 1 } = { re := ↑a, im := 1 } * (2 * ↑a)
[PROOFSTEP]
rw [Zsqrtd.coe_nat_val]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 1 + { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := 1 } = { re := ↑a, im := 1 } * (2 * { re := ↑a, im := 0 })
[PROOFSTEP]
change (⟨_, _⟩ : ℤ√(d a1)) = ⟨_, _⟩
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ { re := 1.re + ({ re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := 1 }).re,
      im := 1.im + ({ re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := 1 }).im } =
    {
      re :=
        { re := ↑a, im := 1 }.re * (2 * { re := ↑a, im := 0 }).re +
          ↑(Pell.d a1) * { re := ↑a, im := 1 }.im * (2 * { re := ↑a, im := 0 }).im,
      im :=
        { re := ↑a, im := 1 }.re * (2 * { re := ↑a, im := 0 }).im +
          { re := ↑a, im := 1 }.im * (2 * { re := ↑a, im := 0 }).re }
[PROOFSTEP]
rw [dz_val]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ { re := 1.re + ({ re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := 1 }).re,
      im := 1.im + ({ re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := 1 }).im } =
    {
      re :=
        { re := ↑a, im := 1 }.re * (2 * { re := ↑a, im := 0 }).re +
          (az a * az a - 1) * { re := ↑a, im := 1 }.im * (2 * { re := ↑a, im := 0 }).im,
      im :=
        { re := ↑a, im := 1 }.re * (2 * { re := ↑a, im := 0 }).im +
          { re := ↑a, im := 1 }.im * (2 * { re := ↑a, im := 0 }).re }
[PROOFSTEP]
dsimp [az]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ { re := 1 + (↑a * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 1 * 1), im := 0 + (↑a * 1 + 1 * ↑a) } =
    { re := ↑a * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0) + (↑a * ↑a - 1) * 1 * (↑2 * 0 + 0 * ↑a),
      im := ↑a * (↑2 * 0 + 0 * ↑a) + 1 * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0) }
[PROOFSTEP]
rw [Zsqrtd.ext]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ { re := 1 + (↑a * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 1 * 1), im := 0 + (↑a * 1 + 1 * ↑a) }.re =
      { re := ↑a * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0) + (↑a * ↑a - 1) * 1 * (↑2 * 0 + 0 * ↑a),
          im := ↑a * (↑2 * 0 + 0 * ↑a) + 1 * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0) }.re ∧
    { re := 1 + (↑a * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 1 * 1), im := 0 + (↑a * 1 + 1 * ↑a) }.im =
      { re := ↑a * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0) + (↑a * ↑a - 1) * 1 * (↑2 * 0 + 0 * ↑a),
          im := ↑a * (↑2 * 0 + 0 * ↑a) + 1 * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0) }.im
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 1 + (↑a * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 1 * 1) =
      ↑a * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0) + (↑a * ↑a - 1) * 1 * (↑2 * 0 + 0 * ↑a) ∧
    0 + (↑a * 1 + 1 * ↑a) = ↑a * (↑2 * 0 + 0 * ↑a) + 1 * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0)
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case left
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 1 + (↑a * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 1 * 1) = ↑a * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0) + (↑a * ↑a - 1) * 1 * (↑2 * 0 + 0 * ↑a)
[PROOFSTEP]
ring_nf
[GOAL]
case right
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 0 + (↑a * 1 + 1 * ↑a) = ↑a * (↑2 * 0 + 0 * ↑a) + 1 * (↑2 * ↑a + (↑a * ↑a - 1) * 0 * 0)
[PROOFSTEP]
ring_nf
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this : 1 + { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := 1 } = { re := ↑a, im := 1 } * (2 * ↑a)
⊢ pellZd a1 (n + 2) + pellZd a1 n = ↑(2 * a) * pellZd a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
simpa [mul_add, mul_comm, mul_left_comm, add_comm] using congr_arg (· * pellZd a1 n) this
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
have := pellZd_succ_succ a1 n
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this : pellZd a1 (n + 2) + pellZd a1 n = ↑(2 * a) * pellZd a1 (n + 1)
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
unfold pellZd at this
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) } + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) } =
    ↑(2 * a) * { re := ↑(xn a1 (n + 1)), im := ↑(yn a1 (n + 1)) }
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
erw [Zsqrtd.smul_val (2 * a : ℕ)] at this
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) } + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) } =
    { re := ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1)), im := ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1)) }
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
injection this with h₁ h₂
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h₁ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.re + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.re =
    ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1))
h₂ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.im + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.im =
    ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1))
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
constructor <;> apply Int.ofNat.inj <;> [simpa using h₁; simpa using h₂]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h₁ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.re + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.re =
    ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1))
h₂ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.im + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.im =
    ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1))
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case left
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h₁ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.re + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.re =
    ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1))
h₂ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.im + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.im =
    ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1))
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
apply Int.ofNat.inj
[GOAL]
case right
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h₁ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.re + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.re =
    ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1))
h₂ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.im + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.im =
    ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1))
⊢ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
apply Int.ofNat.inj
[GOAL]
case left.x
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h₁ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.re + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.re =
    ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1))
h₂ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.im + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.im =
    ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1))
⊢ Int.ofNat (xn a1 (n + 2) + xn a1 n) = Int.ofNat (2 * a * xn a1 (n + 1))
[PROOFSTEP]
simpa using h₁
[GOAL]
case right.x
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h₁ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.re + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.re =
    ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1))
h₂ :
  { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) }.im + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) }.im =
    ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1))
⊢ Int.ofNat (yn a1 (n + 2) + yn a1 n) = Int.ofNat (2 * a * yn a1 (n + 1))
[PROOFSTEP]
simpa using h₂
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ xz a1 (n + 2) + xz a1 n = ↑(2 * a) * xz a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
delta xz
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ ↑(xn a1 (n + 2)) + ↑(xn a1 n) = ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1))
[PROOFSTEP]
rw [← Int.ofNat_add, ← Int.ofNat_mul, xn_succ_succ]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ yz a1 (n + 2) + yz a1 n = ↑(2 * a) * yz a1 (n + 1)
[PROOFSTEP]
delta yz
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ ↑(yn a1 (n + 2)) + ↑(yn a1 n) = ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1))
[PROOFSTEP]
rw [← Int.ofNat_add, ← Int.ofNat_mul, yn_succ_succ]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ yn a1 0 ≡ 0 [MOD a - 1]
[PROOFSTEP]
simp [Nat.ModEq.refl]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ yn a1 1 ≡ 1 [MOD a - 1]
[PROOFSTEP]
simp [Nat.ModEq.refl]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ yn a1 (n + 2) + yn a1 n ≡ n + 2 + n [MOD a - 1]
[PROOFSTEP]
rw [yn_succ_succ, (by ring : n + 2 + n = 2 * (n + 1))]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ n + 2 + n = 2 * (n + 1)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 2 * a * yn a1 (n + 1) ≡ 2 * (n + 1) [MOD a - 1]
[PROOFSTEP]
exact ((modEq_sub a1.le).mul_left 2).mul (yn_modEq_a_sub_one (n + 1))
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ yn a1 0 ≡ 0 [MOD 2]
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ yn a1 1 ≡ 1 [MOD 2]
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ yn a1 (n + 2) + yn a1 n ≡ n + 2 + n [MOD 2]
[PROOFSTEP]
rw [yn_succ_succ, mul_assoc, (by ring : n + 2 + n = 2 * (n + 1))]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ n + 2 + n = 2 * (n + 1)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 2 * (a * yn a1 (n + 1)) ≡ 2 * (n + 1) [MOD 2]
[PROOFSTEP]
exact (dvd_mul_right 2 _).modEq_zero_nat.trans (dvd_mul_right 2 _).zero_modEq_nat
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
y2 y1 y0 yn1 yn0 xn1 xn0 ay a2 : ℤ
⊢ (a2 * yn1 - yn0) * ay + y2 - (a2 * xn1 - xn0) = y2 - a2 * y1 + y0 + a2 * (yn1 * ay + y1 - xn1) - (yn0 * ay + y0 - xn0)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
y : ℕ
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 0 * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ 0) - xz a1 0
[PROOFSTEP]
simp [xz, yz, Int.ofNat_zero, Int.ofNat_one]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
y : ℕ
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 1 * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ 1) - xz a1 1
[PROOFSTEP]
simp [xz, yz, Int.ofNat_zero, Int.ofNat_one]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 (n + 2) * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ (n + 2)) - xz a1 (n + 2)
[PROOFSTEP]
have : (2 * a * y - y * y - 1 : ℤ) ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n) :=
  ⟨-↑(y ^ n),
    by
    simp [_root_.pow_succ, mul_add, Int.ofNat_mul, show ((2 : ℕ) : ℤ) = 2 from rfl, mul_comm, mul_left_comm]
    ring⟩
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
⊢ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n) = (2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1) * -↑(y ^ n)
[PROOFSTEP]
simp [_root_.pow_succ, mul_add, Int.ofNat_mul, show ((2 : ℕ) : ℤ) = 2 from rfl, mul_comm, mul_left_comm]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
⊢ ↑y * (↑y * ↑y ^ n) - ↑a * (↑y * ↑y ^ n * 2) + ↑y ^ n = -(↑y ^ n * (↑a * (↑y * 2) - ↑y * ↑y - 1))
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
this : 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n)
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 (n + 2) * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ (n + 2)) - xz a1 (n + 2)
[PROOFSTEP]
rw [xz_succ_succ, yz_succ_succ, x_sub_y_dvd_pow_lem ↑(y ^ (n + 2)) ↑(y ^ (n + 1)) ↑(y ^ n)]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
this : 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n)
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣
    ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n) +
        ↑(2 * a) * (yz a1 (n + 1) * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ (n + 1)) - xz a1 (n + 1)) -
      (yz a1 n * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ n) - xz a1 n)
[PROOFSTEP]
exact _root_.dvd_sub (dvd_add this <| (x_sub_y_dvd_pow _ (n + 1)).mul_left _) (x_sub_y_dvd_pow _ n)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
[PROOFSTEP]
have h1 : d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j := by
  simp [add_mul, mul_assoc]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j
[PROOFSTEP]
simp [add_mul, mul_assoc]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j
⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
[PROOFSTEP]
have h2 : d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n :=
  by
  zify at *
  apply add_eq_of_eq_sub' (Eq.symm (pell_eqz a1 n))
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j
⊢ Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
[PROOFSTEP]
zify at *
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 :
  ↑(Pell.d a1) * ↑(yn a1 n) * (↑(yn a1 n) * ↑(xn a1 j)) + ↑(xn a1 j) =
    (↑(Pell.d a1) * ↑(yn a1 n) * ↑(yn a1 n) + 1) * ↑(xn a1 j)
⊢ ↑(Pell.d a1) * ↑(yn a1 n) * ↑(yn a1 n) + 1 = ↑(xn a1 n) * ↑(xn a1 n)
[PROOFSTEP]
apply add_eq_of_eq_sub' (Eq.symm (pell_eqz a1 n))
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
[PROOFSTEP]
rw [h2] at h1
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = xn a1 n * xn a1 n * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
[PROOFSTEP]
rw [h1, mul_assoc]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = xn a1 n * xn a1 n * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
⊢ xn a1 n ∣ xn a1 n * (xn a1 n * xn a1 j)
[PROOFSTEP]
exact dvd_mul_right _ _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 (2 * n + j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [two_mul, add_assoc, xn_add, add_assoc, ← zero_add 0]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 n * xn a1 (n + j) + (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 (n + j) + xn a1 j) ≡ 0 + 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
refine' (dvd_mul_right (xn a1 n) (xn a1 (n + j))).modEq_zero_nat.add _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 (n + j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [yn_add, left_distrib, add_assoc, ← zero_add 0]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ Pell.d a1 * yn a1 n * (xn a1 n * yn a1 j) + (Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j) ≡ 0 + 0 [MOD
    xn a1 n]
[PROOFSTEP]
exact ((dvd_mul_right _ _).mul_left _).modEq_zero_nat.add (xn_modEq_x2n_add_lem _ _ _).modEq_zero_nat
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
have h1 : xz a1 n ∣ d a1 * yz a1 n * yz a1 (n - j) + xz a1 j :=
  by
  rw [yz_sub _ h, mul_sub_left_distrib, sub_add_eq_add_sub]
  exact
    dvd_sub
      (by
        delta xz; delta yz
        rw [mul_comm (xn _ _ : ℤ)]
        exact_mod_cast (xn_modEq_x2n_add_lem _ n j))
      ((dvd_mul_right _ _).mul_left _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
⊢ xz a1 n ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 (n - j) + xz a1 j
[PROOFSTEP]
rw [yz_sub _ h, mul_sub_left_distrib, sub_add_eq_add_sub]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
⊢ xz a1 n ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * (xz a1 j * yz a1 n) + xz a1 j - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * (xz a1 n * yz a1 j)
[PROOFSTEP]
exact
  dvd_sub
    (by
      delta xz; delta yz
      rw [mul_comm (xn _ _ : ℤ)]
      exact_mod_cast (xn_modEq_x2n_add_lem _ n j))
    ((dvd_mul_right _ _).mul_left _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
⊢ xz a1 n ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * (xz a1 j * yz a1 n) + xz a1 j
[PROOFSTEP]
delta xz
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
⊢ ↑(xn a1 n) ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * (↑(xn a1 j) * yz a1 n) + ↑(xn a1 j)
[PROOFSTEP]
delta yz
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
⊢ ↑(xn a1 n) ∣ ↑(Pell.d a1) * ↑(yn a1 n) * (↑(xn a1 j) * ↑(yn a1 n)) + ↑(xn a1 j)
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm (xn _ _ : ℤ)]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
⊢ ↑(xn a1 n) ∣ ↑(Pell.d a1) * ↑(yn a1 n) * (↑(yn a1 n) * ↑(xn a1 j)) + ↑(xn a1 j)
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast (xn_modEq_x2n_add_lem _ n j)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
h1 : xz a1 n ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 (n - j) + xz a1 j
⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [two_mul, add_tsub_assoc_of_le h, xn_add, add_assoc, ← zero_add 0]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
h1 : xz a1 n ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 (n - j) + xz a1 j
⊢ xn a1 n * xn a1 (n - j) + (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 (n - j) + xn a1 j) ≡ 0 + 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
exact (dvd_mul_right _ _).modEq_zero_nat.add (Int.coe_nat_dvd.1 <| by simpa [xz, yz] using h1).modEq_zero_nat
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
h1 : xz a1 n ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 (n - j) + xz a1 j
⊢ ↑(xn a1 n) ∣ ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 (n - j) + xn a1 j)
[PROOFSTEP]
simpa [xz, yz] using h1
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j
⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
have : 2 * n - j + j ≤ n + j := by rw [tsub_add_cancel_of_le h, two_mul]; exact Nat.add_le_add_left jn _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j
⊢ 2 * n - j + j ≤ n + j
[PROOFSTEP]
rw [tsub_add_cancel_of_le h, two_mul]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j
⊢ n + n ≤ n + j
[PROOFSTEP]
exact Nat.add_le_add_left jn _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j
this : 2 * n - j + j ≤ n + j
⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
let t := xn_modEq_x2n_sub_lem a1 (Nat.le_of_add_le_add_right this)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j
this : 2 * n - j + j ≤ n + j
t : xn a1 (2 * n - (2 * n - j)) + xn a1 (2 * n - j) ≡ 0 [MOD xn a1 n] :=
  xn_modEq_x2n_sub_lem a1 (Nat.le_of_add_le_add_right this)
⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rwa [tsub_tsub_cancel_of_le h, add_comm] at t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 (4 * n + j) + xn a1 (2 * n + j) ≡ xn a1 j + xn a1 (2 * n + j) [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
refine' @ModEq.trans _ _ 0 _ _ (by rw [add_comm]; exact (xn_modEq_x2n_add _ _ _).symm)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ 0 ≡ xn a1 j + xn a1 (2 * n + j) [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [add_comm]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ 0 ≡ xn a1 (2 * n + j) + xn a1 j [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
exact (xn_modEq_x2n_add _ _ _).symm
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 (4 * n + j) + xn a1 (2 * n + j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [show 4 * n = 2 * n + 2 * n from right_distrib 2 2 n, add_assoc]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 (2 * n + (2 * n + j)) + xn a1 (2 * n + j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
apply xn_modEq_x2n_add
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
⊢ 2 * n ≤ 2 * n
[PROOFSTEP]
rw [Nat.succ_mul]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h h' : j ≤ 2 * n
⊢ xn a1 (4 * n - j) + xn a1 (2 * n - j) ≡ xn a1 j + xn a1 (2 * n - j) [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
refine' @ModEq.trans _ _ 0 _ _ (by rw [add_comm]; exact (xn_modEq_x2n_sub _ h).symm)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h h' : j ≤ 2 * n
⊢ 0 ≡ xn a1 j + xn a1 (2 * n - j) [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [add_comm]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h h' : j ≤ 2 * n
⊢ 0 ≡ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
exact (xn_modEq_x2n_sub _ h).symm
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h h' : j ≤ 2 * n
⊢ xn a1 (4 * n - j) + xn a1 (2 * n - j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [show 4 * n = 2 * n + 2 * n from right_distrib 2 2 n, add_tsub_assoc_of_le h']
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h h' : j ≤ 2 * n
⊢ xn a1 (2 * n + (2 * n - j)) + xn a1 (2 * n - j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
apply xn_modEq_x2n_add
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
ij : i < j + 1
jn : j + 1 < n
⊢ xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
suffices xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n from
  (lt_or_eq_of_le (Nat.le_of_succ_le_succ ij)).elim (fun h => lt_trans (eq_of_xn_modEq_lem1 h (le_of_lt jn)) this)
    fun h => by rw [h]; exact this
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
ij : i < j + 1
jn : j + 1 < n
this : xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
h : i = j
⊢ xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
ij : i < j + 1
jn : j + 1 < n
this : xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
h : i = j
⊢ xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
exact this
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
ij : i < j + 1
jn : j + 1 < n
⊢ xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [Nat.mod_eq_of_lt (strictMono_x _ (Nat.lt_of_succ_lt jn)), Nat.mod_eq_of_lt (strictMono_x _ jn)]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
ij : i < j + 1
jn : j + 1 < n
⊢ xn a1 j < xn a1 (j + 1)
[PROOFSTEP]
exact strictMono_x _ (Nat.lt_succ_self _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : 2 * xn a1 n = xn a1 (n + 1)
⊢ a = 2 ∧ n = 0
[PROOFSTEP]
rw [xn_succ, mul_comm] at h
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : xn a1 n * 2 = xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n
⊢ a = 2 ∧ n = 0
[PROOFSTEP]
have : n = 0 :=
  n.eq_zero_or_pos.resolve_right fun np =>
    _root_.ne_of_lt
      (lt_of_le_of_lt (Nat.mul_le_mul_left _ a1) (Nat.lt_add_of_pos_right <| mul_pos (d_pos a1) (strictMono_y a1 np))) h
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : xn a1 n * 2 = xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n
this : n = 0
⊢ a = 2 ∧ n = 0
[PROOFSTEP]
cases this
[GOAL]
case refl
a : ℕ
a1 : 1 < a
h : xn a1 0 * 2 = xn a1 0 * a + Pell.d a1 * yn a1 0
⊢ a = 2 ∧ 0 = 0
[PROOFSTEP]
simp at h
[GOAL]
case refl
a : ℕ
a1 : 1 < a
h : 2 = a
⊢ a = 2 ∧ 0 = 0
[PROOFSTEP]
exact ⟨h.symm, rfl⟩
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
⊢ ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
[PROOFSTEP]
let k2nl :=
  lt_of_add_lt_add_right <|
    show 2 * n - k + k < n + k by
      rw [tsub_add_cancel_of_le]
      rw [two_mul]; exact add_lt_add_left kn n
      exact k2n
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
⊢ 2 * n - k + k < n + k
[PROOFSTEP]
rw [tsub_add_cancel_of_le]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
⊢ 2 * n < n + k
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
⊢ k ≤ 2 * n
[PROOFSTEP]
rw [two_mul]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
⊢ n + n < n + k
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
⊢ k ≤ 2 * n
[PROOFSTEP]
exact add_lt_add_left kn n
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
⊢ k ≤ 2 * n
[PROOFSTEP]
exact k2n
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n :=
  lt_of_add_lt_add_right
    (let_fun this :=
      Eq.mpr (id (tsub_add_cancel_of_le k2n ▸ Eq.refl (2 * n - k + k < n + k)))
        (Eq.mpr (id (two_mul n ▸ Eq.refl (2 * n < n + k))) (add_lt_add_left kn n));
    this)
⊢ ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
[PROOFSTEP]
have xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n := le_of_lt <| strictMono_x a1 k2nl
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n :=
  lt_of_add_lt_add_right
    (let_fun this :=
      Eq.mpr (id (tsub_add_cancel_of_le k2n ▸ Eq.refl (2 * n - k + k < n + k)))
        (Eq.mpr (id (two_mul n ▸ Eq.refl (2 * n < n + k))) (add_lt_add_left kn n));
    this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
[PROOFSTEP]
suffices xn a1 k % xn a1 n = xn a1 n - xn a1 (2 * n - k) by rw [this, Int.ofNat_sub xle]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n :=
  lt_of_add_lt_add_right
    (let_fun this :=
      Eq.mpr (id (tsub_add_cancel_of_le k2n ▸ Eq.refl (2 * n - k + k < n + k)))
        (Eq.mpr (id (two_mul n ▸ Eq.refl (2 * n < n + k))) (add_lt_add_left kn n));
    this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
this : xn a1 k % xn a1 n = xn a1 n - xn a1 (2 * n - k)
⊢ ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
[PROOFSTEP]
rw [this, Int.ofNat_sub xle]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n :=
  lt_of_add_lt_add_right
    (let_fun this :=
      Eq.mpr (id (tsub_add_cancel_of_le k2n ▸ Eq.refl (2 * n - k + k < n + k)))
        (Eq.mpr (id (two_mul n ▸ Eq.refl (2 * n < n + k))) (add_lt_add_left kn n));
    this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 k % xn a1 n = xn a1 n - xn a1 (2 * n - k)
[PROOFSTEP]
rw [← Nat.mod_eq_of_lt (Nat.sub_lt (x_pos a1 n) (x_pos a1 (2 * n - k)))]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n :=
  lt_of_add_lt_add_right
    (let_fun this :=
      Eq.mpr (id (tsub_add_cancel_of_le k2n ▸ Eq.refl (2 * n - k + k < n + k)))
        (Eq.mpr (id (two_mul n ▸ Eq.refl (2 * n < n + k))) (add_lt_add_left kn n));
    this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 k % xn a1 n = (xn a1 n - xn a1 (2 * n - k)) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
apply ModEq.add_right_cancel' (xn a1 (2 * n - k))
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n :=
  lt_of_add_lt_add_right
    (let_fun this :=
      Eq.mpr (id (tsub_add_cancel_of_le k2n ▸ Eq.refl (2 * n - k + k < n + k)))
        (Eq.mpr (id (two_mul n ▸ Eq.refl (2 * n < n + k))) (add_lt_add_left kn n));
    this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ xn a1 n - xn a1 (2 * n - k) + xn a1 (2 * n - k) [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [tsub_add_cancel_of_le xle]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n :=
  lt_of_add_lt_add_right
    (let_fun this :=
      Eq.mpr (id (tsub_add_cancel_of_le k2n ▸ Eq.refl (2 * n - k + k < n + k)))
        (Eq.mpr (id (two_mul n ▸ Eq.refl (2 * n < n + k))) (add_lt_add_left kn n));
    this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ xn a1 n [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
have t := xn_modEq_x2n_sub_lem a1 k2nl.le
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n :=
  lt_of_add_lt_add_right
    (let_fun this :=
      Eq.mpr (id (tsub_add_cancel_of_le k2n ▸ Eq.refl (2 * n - k + k < n + k)))
        (Eq.mpr (id (two_mul n ▸ Eq.refl (2 * n < n + k))) (add_lt_add_left kn n));
    this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
t : xn a1 (2 * n - (2 * n - k)) + xn a1 (2 * n - k) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ xn a1 n [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [tsub_tsub_cancel_of_le k2n] at t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n :=
  lt_of_add_lt_add_right
    (let_fun this :=
      Eq.mpr (id (tsub_add_cancel_of_le k2n ▸ Eq.refl (2 * n - k + k < n + k)))
        (Eq.mpr (id (two_mul n ▸ Eq.refl (2 * n < n + k))) (add_lt_add_left kn n));
    this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
t : xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ xn a1 n [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
exact t.trans dvd_rfl.zero_modEq_nat
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn : j = n
⊢ xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
cases jn
[GOAL]
case refl
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
⊢ xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (n + 1) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
apply Int.lt_of_ofNat_lt_ofNat
[GOAL]
case refl.a
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
⊢ ↑(xn a1 i % xn a1 n) < ↑(xn a1 (n + 1) % xn a1 n)
[PROOFSTEP]
rw [lem2 (n + 1) (Nat.lt_succ_self _) j2n,
  show 2 * n - (n + 1) = n - 1 by rw [two_mul, tsub_add_eq_tsub_tsub, add_tsub_cancel_right]]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
⊢ 2 * n - (n + 1) = n - 1
[PROOFSTEP]
rw [two_mul, tsub_add_eq_tsub_tsub, add_tsub_cancel_right]
[GOAL]
case refl.a
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
⊢ ↑(xn a1 i % xn a1 n) < ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (n - 1))
[PROOFSTEP]
refine' lt_sub_left_of_add_lt (Int.ofNat_lt_ofNat_of_lt _)
[GOAL]
case refl.a
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i % xn a1 n < xn a1 n
[PROOFSTEP]
cases' lt_or_eq_of_le <| Nat.le_of_succ_le_succ ij with lin ein
[GOAL]
case refl.a.inl
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i % xn a1 n < xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [Nat.mod_eq_of_lt (strictMono_x _ lin)]
[GOAL]
case refl.a.inl
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i < xn a1 n
[PROOFSTEP]
have ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n :=
  by
  rw [← two_mul, mul_comm, show xn a1 n = xn a1 (n - 1 + 1) by rw [tsub_add_cancel_of_le (succ_le_of_lt npos)], xn_succ]
  exact le_trans (Nat.mul_le_mul_left _ a1) (Nat.le_add_right _ _)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [← two_mul, mul_comm, show xn a1 n = xn a1 (n - 1 + 1) by rw [tsub_add_cancel_of_le (succ_le_of_lt npos)], xn_succ]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
⊢ xn a1 n = xn a1 (n - 1 + 1)
[PROOFSTEP]
rw [tsub_add_cancel_of_le (succ_le_of_lt npos)]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
⊢ xn a1 (n - 1) * 2 ≤ xn a1 (n - 1) * a + Pell.d a1 * yn a1 (n - 1)
[PROOFSTEP]
exact le_trans (Nat.mul_le_mul_left _ a1) (Nat.le_add_right _ _)
[GOAL]
case refl.a.inl
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i < xn a1 n
[PROOFSTEP]
have npm : (n - 1).succ = n := Nat.succ_pred_eq_of_pos npos
[GOAL]
case refl.a.inl
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i < xn a1 n
[PROOFSTEP]
have il : i ≤ n - 1 := by
  apply Nat.le_of_succ_le_succ
  rw [npm]
  exact lin
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
⊢ i ≤ n - 1
[PROOFSTEP]
apply Nat.le_of_succ_le_succ
[GOAL]
case a
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
⊢ succ i ≤ succ (n - 1)
[PROOFSTEP]
rw [npm]
[GOAL]
case a
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
⊢ succ i ≤ n
[PROOFSTEP]
exact lin
[GOAL]
case refl.a.inl
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i < xn a1 n
[PROOFSTEP]
cases' lt_or_eq_of_le il with ill ile
[GOAL]
case refl.a.inl.inl
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ill : i < n - 1
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i < xn a1 n
[PROOFSTEP]
exact lt_of_lt_of_le (Nat.add_lt_add_left (strictMono_x a1 ill) _) ll
[GOAL]
case refl.a.inl.inr
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ile : i = n - 1
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i < xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [ile]
[GOAL]
case refl.a.inl.inr
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ile : i = n - 1
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) < xn a1 n
[PROOFSTEP]
apply lt_of_le_of_ne ll
[GOAL]
case refl.a.inl.inr
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ile : i = n - 1
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≠ xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [← two_mul]
[GOAL]
case refl.a.inl.inr
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ile : i = n - 1
⊢ 2 * xn a1 (n - 1) ≠ xn a1 n
[PROOFSTEP]
exact fun e =>
  ntriv <|
    by
    let ⟨a2, s1⟩ := @eq_of_xn_modEq_lem2 _ a1 (n - 1) (by rwa [tsub_add_cancel_of_le (succ_le_of_lt npos)])
    have n1 : n = 1 := le_antisymm (tsub_eq_zero_iff_le.mp s1) npos
    rw [ile, a2, n1]; exact ⟨rfl, rfl, rfl, rfl⟩
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ile : i = n - 1
e : 2 * xn a1 (n - 1) = xn a1 n
⊢ a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2
[PROOFSTEP]
let ⟨a2, s1⟩ := @eq_of_xn_modEq_lem2 _ a1 (n - 1) (by rwa [tsub_add_cancel_of_le (succ_le_of_lt npos)])
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ile : i = n - 1
e : 2 * xn a1 (n - 1) = xn a1 n
⊢ 2 * xn a1 (n - 1) = xn a1 (n - 1 + 1)
[PROOFSTEP]
rwa [tsub_add_cancel_of_le (succ_le_of_lt npos)]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ile : i = n - 1
e : 2 * xn a1 (n - 1) = xn a1 n
a2 : a = 2
s1 : n - 1 = 0
⊢ a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2
[PROOFSTEP]
have n1 : n = 1 := le_antisymm (tsub_eq_zero_iff_le.mp s1) npos
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ile : i = n - 1
e : 2 * xn a1 (n - 1) = xn a1 n
a2 : a = 2
s1 : n - 1 = 0
n1 : n = 1
⊢ a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2
[PROOFSTEP]
rw [ile, a2, n1]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
ll : xn a1 (n - 1) + xn a1 (n - 1) ≤ xn a1 n
npm : succ (n - 1) = n
il : i ≤ n - 1
ile : i = n - 1
e : 2 * xn a1 (n - 1) = xn a1 n
a2 : a = 2
s1 : n - 1 = 0
n1 : n = 1
⊢ 2 = 2 ∧ 1 = 1 ∧ 1 - 1 = 0 ∧ 1 + 1 = 2
[PROOFSTEP]
exact ⟨rfl, rfl, rfl, rfl⟩
[GOAL]
case refl.a.inr
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
ein : i = n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i % xn a1 n < xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [ein, Nat.mod_self, add_zero]
[GOAL]
case refl.a.inr
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
ein : i = n
⊢ xn a1 (n - 1) < xn a1 n
[PROOFSTEP]
exact strictMono_x _ (Nat.pred_lt npos.ne')
[GOAL]
a : ℕ
a1✝ : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1✝ k % xn a1✝ n) = ↑(xn a1✝ n) - ↑(xn a1✝ (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn✝ : j > n
jn : j ≠ n
s : xn a1✝ j % xn a1✝ n < xn a1✝ (j + 1) % xn a1✝ n
h : i < j
x✝ : a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2
a1 : a = 2
n1 : n = 1
i0 : i = 0
j2 : j = 2
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [n1, j2] at j2n
[GOAL]
a : ℕ
a1✝ : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : 2 + 1 ≤ 2 * 1
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1✝ k % xn a1✝ n) = ↑(xn a1✝ n) - ↑(xn a1✝ (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn✝ : j > n
jn : j ≠ n
s : xn a1✝ j % xn a1✝ n < xn a1✝ (j + 1) % xn a1✝ n
h : i < j
x✝ : a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2
a1 : a = 2
n1 : n = 1
i0 : i = 0
j2 : j = 2
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact absurd j2n (by decide)
[GOAL]
a : ℕ
a1✝ : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : 2 + 1 ≤ 2 * 1
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1✝ k % xn a1✝ n) = ↑(xn a1✝ n) - ↑(xn a1✝ (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn✝ : j > n
jn : j ≠ n
s : xn a1✝ j % xn a1✝ n < xn a1✝ (j + 1) % xn a1✝ n
h : i < j
x✝ : a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2
a1 : a = 2
n1 : n = 1
i0 : i = 0
j2 : j = 2
⊢ ¬2 + 1 ≤ 2 * 1
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn✝ : j > n
jn : j ≠ n
s : xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
h : i = j
⊢ xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn✝ : j > n
jn : j ≠ n
s : xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
h : i = j
⊢ xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
exact s
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn : j > n
lem1 : j ≠ n → xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n → xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 j % xn a1 n) < ↑(xn a1 (j + 1) % xn a1 n)
[PROOFSTEP]
rw [lem2 j jn (le_of_lt j2n), lem2 (j + 1) (Nat.le_succ_of_le jn) j2n]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn : j > n
lem1 : j ≠ n → xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n → xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - j)) < ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - (j + 1)))
[PROOFSTEP]
refine' sub_lt_sub_left (Int.ofNat_lt_ofNat_of_lt <| strictMono_x _ _) _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn : j > n
lem1 : j ≠ n → xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n → xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
⊢ 2 * n - (j + 1) < 2 * n - j
[PROOFSTEP]
rw [Nat.sub_succ]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ (k : ℕ), k > n → k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn : j > n
lem1 : j ≠ n → xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n → xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
⊢ pred (2 * n - j) < 2 * n - j
[PROOFSTEP]
exact Nat.pred_lt (_root_.ne_of_gt <| tsub_pos_of_lt j2n)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : n = 0
⊢ i = j
[PROOFSTEP]
simp_all
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ False
[PROOFSTEP]
refine' _root_.ne_of_gt _ h
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ xn a1 j % xn a1 n < xn a1 i % xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [jn, Nat.mod_self]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ 0 < xn a1 i % xn a1 n
[PROOFSTEP]
have x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n :=
  by
  rw [Nat.mod_eq_of_lt (strictMono_x a1 (Nat.pos_of_ne_zero npos))]
  exact Nat.succ_pos _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ 0 < xn a1 0 % xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [Nat.mod_eq_of_lt (strictMono_x a1 (Nat.pos_of_ne_zero npos))]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ 0 < xn a1 0
[PROOFSTEP]
exact Nat.succ_pos _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
⊢ 0 < xn a1 i % xn a1 n
[PROOFSTEP]
cases' i with i
[GOAL]
case zero
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
ij : zero ≤ j
h : xn a1 zero ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ zero = 0 ∧ j = 2)
ij' : zero < j
⊢ 0 < xn a1 zero % xn a1 n
case succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
i : ℕ
ij : succ i ≤ j
h : xn a1 (succ i) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ succ i = 0 ∧ j = 2)
ij' : succ i < j
⊢ 0 < xn a1 (succ i) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
exact x0
[GOAL]
case succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
i : ℕ
ij : succ i ≤ j
h : xn a1 (succ i) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ succ i = 0 ∧ j = 2)
ij' : succ i < j
⊢ 0 < xn a1 (succ i) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
rw [jn] at ij'
[GOAL]
case succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
i : ℕ
ij : succ i ≤ j
h : xn a1 (succ i) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ succ i = 0 ∧ j = 2)
ij' : succ i < n
⊢ 0 < xn a1 (succ i) % xn a1 n
[PROOFSTEP]
exact
  x0.trans
    (eq_of_xn_modEq_lem3 _ (Nat.pos_of_ne_zero npos) (Nat.succ_pos _) (le_trans ij j2n) (_root_.ne_of_lt ij')
      fun ⟨_, n1, _, i2⟩ => by rw [n1, i2] at ij' ; exact absurd ij' (by decide))
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
i : ℕ
ij : succ i ≤ j
h : xn a1 (succ i) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ succ i = 0 ∧ j = 2)
ij' : succ i < n
x✝ : a = 2 ∧ n = 1 ∧ 0 = 0 ∧ succ i = 2
left✝¹ : a = 2
n1 : n = 1
left✝ : 0 = 0
i2 : succ i = 2
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [n1, i2] at ij'
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
i : ℕ
ij : succ i ≤ j
h : xn a1 (succ i) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ succ i = 0 ∧ j = 2)
ij' : 2 < 1
x✝ : a = 2 ∧ n = 1 ∧ 0 = 0 ∧ succ i = 2
left✝¹ : a = 2
n1 : n = 1
left✝ : 0 = 0
i2 : succ i = 2
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact absurd ij' (by decide)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
i : ℕ
ij : succ i ≤ j
h : xn a1 (succ i) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ succ i = 0 ∧ j = 2)
ij' : 2 < 1
x✝ : a = 2 ∧ n = 1 ∧ 0 = 0 ∧ succ i = 2
left✝¹ : a = 2
n1 : n = 1
left✝ : 0 = 0
i2 : succ i = 2
⊢ ¬2 < 1
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
⊢ i ≤ 2 * n
[PROOFSTEP]
apply le_trans hin
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
⊢ n ≤ 2 * n
[PROOFSTEP]
rw [two_mul]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
⊢ n ≤ n + n
[PROOFSTEP]
apply Nat.le_add_left
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : j ≤ 2 * n
a2 : a = 2
n1 : n = 1
j0 : j = 0
i2 : i = 2
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [n1, i2] at hin
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : 2 ≤ 1
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : j ≤ 2 * n
a2 : a = 2
n1 : n = 1
j0 : j = 0
i2 : i = 2
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact absurd hin (by decide)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : 2 ≤ 1
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : j ≤ 2 * n
a2 : a = 2
n1 : n = 1
j0 : j = 0
i2 : i = 2
⊢ ¬2 ≤ 1
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
⊢ 4 * n - j + ?m.157805 ipos hin j4n h i2n j2n ≤ 2 * n + ?m.157805 ipos hin j4n h i2n j2n
[PROOFSTEP]
rw [tsub_add_cancel_of_le j4n, show 4 * n = 2 * n + 2 * n from right_distrib 2 2 n]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
⊢ 2 * n + 2 * n ≤ 2 * n + j
[PROOFSTEP]
exact Nat.add_le_add_left (le_of_lt j2n) _
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n
⊢ xn a1 j ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
let t := xn_modEq_x4n_sub a1 j42n
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n
t : xn a1 (4 * n - (4 * n - j)) ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n] := xn_modEq_x4n_sub a1 j42n
⊢ xn a1 j ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rwa [tsub_tsub_cancel_of_le j4n] at t
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n
a2 : a = 2
n1 : n = 1
i2 : i = 2
⊢ 4 * n - j ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [n1, i2] at hin
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : 2 ≤ 1
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n
a2 : a = 2
n1 : n = 1
i2 : i = 2
⊢ 4 * n - j ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact absurd hin (by decide)
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : 2 ≤ 1
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n
a2 : a = 2
n1 : n = 1
i2 : i = 2
⊢ ¬2 ≤ 1
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
this : i = 4 * n - j
⊢ j + i = 4 * n
[PROOFSTEP]
rw [this, add_tsub_cancel_of_le j4n]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
⊢ 0 < 4
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
⊢ j ≡ j' [MOD 4 * n]
[PROOFSTEP]
delta ModEq
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
⊢ j % (4 * n) = j' % (4 * n)
[PROOFSTEP]
rw [Nat.mod_eq_of_lt jl]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
⊢ ∀ (j_1 q : ℕ), xn a1 (j_1 + 4 * n * q) ≡ xn a1 j_1 [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
intro j q
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j✝ n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j✝ % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
⊢ xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
induction' q with q IH
[GOAL]
case zero
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j✝ n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j✝ % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]
j : ℕ
⊢ xn a1 (j + 4 * n * zero) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
simp [ModEq.refl]
[GOAL]
case succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j✝ n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j✝ % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
IH : xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 (j + 4 * n * succ q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [Nat.mul_succ, ← add_assoc, add_comm]
[GOAL]
case succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j✝ n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j✝ % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
IH : xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 (4 * n + (j + 4 * n * q)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
exact (xn_modEq_x4n_add _ _ _).trans IH
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j_1 q : ℕ), xn a1 (j_1 + 4 * n * q) ≡ xn a1 j_1 [MOD xn a1 n]
ji : j' = i
⊢ j ≡ i [MOD 4 * n]
[PROOFSTEP]
rwa [← ji]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j_1 q : ℕ), xn a1 (j_1 + 4 * n * q) ≡ xn a1 j_1 [MOD xn a1 n]
ji : j' + i = 4 * n
⊢ j' + i ≡ 0 [MOD 4 * n]
[PROOFSTEP]
rw [ji]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j_1 q : ℕ), xn a1 (j_1 + 4 * n * q) ≡ xn a1 j_1 [MOD xn a1 n]
ji : j' + i = 4 * n
⊢ 4 * n ≡ 0 [MOD 4 * n]
[PROOFSTEP]
exact dvd_rfl.modEq_zero_nat
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j_1 q : ℕ), xn a1 (j_1 + 4 * n * q) ≡ xn a1 j_1 [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 j ≡ xn a1 j' [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
rw [← Nat.mod_add_div j (4 * n)]
[GOAL]
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j_1 q : ℕ), xn a1 (j_1 + 4 * n * q) ≡ xn a1 j_1 [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 (j % (4 * n) + 4 * n * (j / (4 * n))) ≡ xn a1 j' [MOD xn a1 n]
[PROOFSTEP]
exact this j' _
[GOAL]
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
⊢ xn a1 0 ≡ xn b1 0 [MOD c] ∧ yn a1 0 ≡ yn b1 0 [MOD c]
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case left
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
⊢ xn a1 0 ≡ xn b1 0 [MOD c]
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case right
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
⊢ yn a1 0 ≡ yn b1 0 [MOD c]
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
⊢ xn a1 1 ≡ xn b1 1 [MOD c] ∧ yn a1 1 ≡ yn b1 1 [MOD c]
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
⊢ a ≡ b [MOD c] ∧ 1 ≡ 1 [MOD c]
[PROOFSTEP]
exact ⟨h, ModEq.refl 1⟩
[GOAL]
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n ≡ xn b1 (n + 2) + xn b1 n [MOD c]
[PROOFSTEP]
rw [xn_succ_succ a1, xn_succ_succ b1]
[GOAL]
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ 2 * a * xn a1 (n + 1) ≡ 2 * b * xn b1 (n + 1) [MOD c]
[PROOFSTEP]
exact (h.mul_left _).mul (xy_modEq_of_modEq _ _ h (n + 1)).left
[GOAL]
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ yn a1 (n + 2) + yn (_ : 1 < a) n ≡ yn b1 (n + 2) + yn (_ : 1 < b) n [MOD c]
[PROOFSTEP]
rw [yn_succ_succ a1, yn_succ_succ b1]
[GOAL]
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ 2 * a * yn a1 (n + 1) ≡ 2 * b * yn b1 (n + 1) [MOD c]
[PROOFSTEP]
exact (h.mul_left _).mul (xy_modEq_of_modEq _ _ h (n + 1)).right
[GOAL]
a k x y : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
⊢ 1 < a ∧
    k ≤ y ∧
      (x = 1 ∧ y = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])
[PROOFSTEP]
rw [← hx, ← hy]
[GOAL]
a k x y : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
⊢ 1 < a ∧
    k ≤ yn a1 k ∧
      (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])
[PROOFSTEP]
refine' ⟨a1, (Nat.eq_zero_or_pos k).elim (fun k0 => by rw [k0]; exact ⟨le_rfl, Or.inl ⟨rfl, rfl⟩⟩) fun kpos => _⟩
[GOAL]
a k x y : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
k0 : k = 0
⊢ k ≤ yn a1 k ∧
    (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨
      ∃ u v s t b,
        xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧
          u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
            s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
              1 < b ∧
                b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧
                  b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])
[PROOFSTEP]
rw [k0]
[GOAL]
a k x y : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
k0 : k = 0
⊢ 0 ≤ yn a1 0 ∧
    (xn a1 0 = 1 ∧ yn a1 0 = 0 ∨
      ∃ u v s t b,
        xn a1 0 * xn a1 0 - (a * a - 1) * yn a1 0 * yn a1 0 = 1 ∧
          u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
            s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
              1 < b ∧
                b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 0] ∧
                  b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 0 * yn a1 0 ∣ v ∧ s ≡ xn a1 0 [MOD u] ∧ t ≡ 0 [MOD 4 * yn a1 0])
[PROOFSTEP]
exact ⟨le_rfl, Or.inl ⟨rfl, rfl⟩⟩
[GOAL]
a k x y : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
kpos : k > 0
⊢ k ≤ yn a1 k ∧
    (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨
      ∃ u v s t b,
        xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧
          u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
            s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
              1 < b ∧
                b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧
                  b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])
[PROOFSTEP]
exact
  let x := xn a1 k
  let y := yn a1 k
  let m := 2 * (k * y)
  let u := xn a1 m
  let v := yn a1 m
  have ky : k ≤ y := yn_ge_n a1 k
  have yv : y * y ∣ v := (ysq_dvd_yy a1 k).trans <| (y_dvd_iff _ _ _).2 <| dvd_mul_left _ _
  have uco : Nat.coprime u (4 * y) :=
    have : 2 ∣ v := modEq_zero_iff_dvd.1 <| (yn_modEq_two _ _).trans (dvd_mul_right _ _).modEq_zero_nat
    have : Nat.coprime u 2 := (xy_coprime a1 m).coprime_dvd_right this
    (this.mul_right this).mul_right <| (xy_coprime _ _).coprime_dvd_right (dvd_of_mul_left_dvd yv)
  let ⟨b, ba, bm1⟩ := chineseRemainder uco a 1
  have m1 : 1 < m :=
    have : 0 < k * y := mul_pos kpos (strictMono_y a1 kpos)
    Nat.mul_le_mul_left 2 this
  have vp : 0 < v := strictMono_y a1 (lt_trans zero_lt_one m1)
  have b1 : 1 < b :=
    have : xn a1 1 < u := strictMono_x a1 m1
    have : a < u := by simp at this ; exact this
    lt_of_lt_of_le a1 <| by
      delta ModEq at ba ; rw [Nat.mod_eq_of_lt this] at ba ; rw [← ba]
      apply Nat.mod_le
  let s := xn b1 k
  let t := yn b1 k
  have sx : s ≡ x [MOD u] := (xy_modEq_of_modEq b1 a1 ba k).left
  have tk : t ≡ k [MOD 4 * y] :=
    have : 4 * y ∣ b - 1 := Int.coe_nat_dvd.1 <| by rw [Int.ofNat_sub (le_of_lt b1)]; exact bm1.symm.dvd
    (yn_modEq_a_sub_one _ _).of_dvd this
  ⟨ky, Or.inr ⟨u, v, s, t, b, pell_eq _ _, pell_eq _ _, pell_eq _ _, b1, bm1, ba, vp, yv, sx, tk⟩⟩
[GOAL]
a k x✝¹ y✝ : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x✝¹ ∧ yn a1 k = y✝
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x✝¹
hy : yn a1 k = y✝
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : coprime u (4 * y)
b : ℕ
ba : b ≡ a [MOD u]
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
this : xn a1 1 < u
⊢ a < u
[PROOFSTEP]
simp at this
[GOAL]
a k x✝¹ y✝ : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x✝¹ ∧ yn a1 k = y✝
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x✝¹
hy : yn a1 k = y✝
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : coprime u (4 * y)
b : ℕ
ba : b ≡ a [MOD u]
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
this : a < xn a1 (2 * (k * yn a1 k))
⊢ a < u
[PROOFSTEP]
exact this
[GOAL]
a k x✝¹ y✝ : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x✝¹ ∧ yn a1 k = y✝
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x✝¹
hy : yn a1 k = y✝
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : coprime u (4 * y)
b : ℕ
ba : b ≡ a [MOD u]
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
this✝ : xn a1 1 < u
this : a < u
⊢ a ≤ b
[PROOFSTEP]
delta ModEq at ba
[GOAL]
a k x✝¹ y✝ : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x✝¹ ∧ yn a1 k = y✝
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x✝¹
hy : yn a1 k = y✝
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : coprime u (4 * y)
b : ℕ
ba : b % u = a % u
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
this✝ : xn a1 1 < u
this : a < u
⊢ a ≤ b
[PROOFSTEP]
rw [Nat.mod_eq_of_lt this] at ba
[GOAL]
a k x✝¹ y✝ : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x✝¹ ∧ yn a1 k = y✝
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x✝¹
hy : yn a1 k = y✝
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : coprime u (4 * y)
b : ℕ
ba : b % u = a
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
this✝ : xn a1 1 < u
this : a < u
⊢ a ≤ b
[PROOFSTEP]
rw [← ba]
[GOAL]
a k x✝¹ y✝ : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x✝¹ ∧ yn a1 k = y✝
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x✝¹
hy : yn a1 k = y✝
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : coprime u (4 * y)
b : ℕ
ba : b % u = a
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
this✝ : xn a1 1 < u
this : a < u
⊢ b % u ≤ b
[PROOFSTEP]
apply Nat.mod_le
[GOAL]
a k x✝¹ y✝ : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x✝¹ ∧ yn a1 k = y✝
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x✝¹
hy : yn a1 k = y✝
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : coprime u (4 * y)
b : ℕ
ba : b ≡ a [MOD u]
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
b1 : 1 < b
s : ℕ := xn b1 k
t : ℕ := yn b1 k
sx : s ≡ x [MOD u]
⊢ ↑(4 * y) ∣ ↑(b - 1)
[PROOFSTEP]
rw [Int.ofNat_sub (le_of_lt b1)]
[GOAL]
a k x✝¹ y✝ : ℕ
x✝ : ∃ a1, xn a1 k = x✝¹ ∧ yn a1 k = y✝
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x✝¹
hy : yn a1 k = y✝
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : coprime u (4 * y)
b : ℕ
ba : b ≡ a [MOD u]
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
b1 : 1 < b
s : ℕ := xn b1 k
t : ℕ := yn b1 k
sx : s ≡ x [MOD u]
⊢ ↑(4 * y) ∣ ↑b - ↑1
[PROOFSTEP]
exact bm1.symm.dvd
[GOAL]
a k x y : ℕ
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ y ∧
      (x = 1 ∧ y = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])
a1 : 1 < a
ky : k ≤ y
o :
  x = 1 ∧ y = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
x1 : x = 1
y0 : y = 0
⊢ xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
[PROOFSTEP]
rw [y0] at ky
[GOAL]
a k x y : ℕ
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ y ∧
      (x = 1 ∧ y = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])
a1 : 1 < a
ky : k ≤ 0
o :
  x = 1 ∧ y = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
x1 : x = 1
y0 : y = 0
⊢ xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
[PROOFSTEP]
rw [Nat.eq_zero_of_le_zero ky, x1, y0]
[GOAL]
a k x y : ℕ
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ y ∧
      (x = 1 ∧ y = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])
a1 : 1 < a
ky : k ≤ 0
o :
  x = 1 ∧ y = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
x1 : x = 1
y0 : y = 0
⊢ xn a1 0 = 1 ∧ yn a1 0 = 0
[PROOFSTEP]
exact ⟨rfl, rfl⟩
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
i0 : i = 0
⊢ xn a1 k = xn a1 i ∧ yn a1 k = yn a1 i
[PROOFSTEP]
simp [i0] at ky
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
i0 : i = 0
ky : k = 0
⊢ xn a1 k = xn a1 i ∧ yn a1 k = yn a1 i
[PROOFSTEP]
rw [i0, ky]
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
i0 : i = 0
ky : k = 0
⊢ xn a1 0 = xn a1 0 ∧ yn a1 0 = yn a1 0
[PROOFSTEP]
exact ⟨rfl, rfl⟩
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
ipos : i > 0
⊢ xn a1 k = xn a1 i ∧ yn a1 k = yn a1 i
[PROOFSTEP]
suffices i = k by rw [this]; exact ⟨rfl, rfl⟩
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
ipos : i > 0
this : i = k
⊢ xn a1 k = xn a1 i ∧ yn a1 k = yn a1 i
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
ipos : i > 0
this : i = k
⊢ xn a1 k = xn a1 k ∧ yn a1 k = yn a1 k
[PROOFSTEP]
exact ⟨rfl, rfl⟩
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
ipos : i > 0
⊢ i = k
[PROOFSTEP]
clear o rem xy uv st
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
⊢ i = k
[PROOFSTEP]
have iln : i ≤ n :=
  le_of_not_gt fun hin => not_lt_of_ge (Nat.le_of_dvd vp (dvd_of_mul_left_dvd yv)) (strictMono_y a1 hin)
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
⊢ i = k
[PROOFSTEP]
have yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n := mul_dvd_mul_left _ <| dvd_of_ysq_dvd a1 yv
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
⊢ i = k
[PROOFSTEP]
have jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i] :=
  have : 4 * yn a1 i ∣ b - 1 := Int.coe_nat_dvd.1 <| by rw [Int.ofNat_sub (le_of_lt b1)]; exact bm1.symm.dvd
  ((yn_modEq_a_sub_one b1 _).of_dvd this).symm.trans tk
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
⊢ ↑(4 * yn a1 i) ∣ ↑(b - 1)
[PROOFSTEP]
rw [Int.ofNat_sub (le_of_lt b1)]
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
⊢ ↑(4 * yn a1 i) ∣ ↑b - ↑1
[PROOFSTEP]
exact bm1.symm.dvd
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
⊢ i = k
[PROOFSTEP]
have ki : k + i < 4 * yn a1 i :=
  lt_of_le_of_lt (_root_.add_le_add ky (yn_ge_n a1 i)) <|
    by
    rw [← two_mul]
    exact Nat.mul_lt_mul_of_pos_right (by decide) (strictMono_y a1 ipos)
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
⊢ yn a1 i + yn a1 i < 4 * yn a1 i
[PROOFSTEP]
rw [← two_mul]
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
⊢ 2 * yn a1 i < 4 * yn a1 i
[PROOFSTEP]
exact Nat.mul_lt_mul_of_pos_right (by decide) (strictMono_y a1 ipos)
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
⊢ 2 < 4
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ki : k + i < 4 * yn a1 i
⊢ i = k
[PROOFSTEP]
have ji : j ≡ i [MOD 4 * n] :=
  have : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n] := (xy_modEq_of_modEq b1 a1 ba j).left.symm.trans sx
  (modEq_of_xn_modEq a1 ipos iln this).resolve_right fun ji : j + i ≡ 0 [MOD 4 * n] =>
    not_le_of_gt ki <|
      Nat.le_of_dvd (lt_of_lt_of_le ipos <| Nat.le_add_left _ _) <|
        modEq_zero_iff_dvd.1 <| (jk.symm.add_right i).trans <| ji.of_dvd yd
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ki : k + i < 4 * yn a1 i
ji : j ≡ i [MOD 4 * n]
⊢ i = k
[PROOFSTEP]
have : i % (4 * yn a1 i) = k % (4 * yn a1 i) := (ji.of_dvd yd).symm.trans jk
[GOAL]
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ki : k + i < 4 * yn a1 i
ji : j ≡ i [MOD 4 * n]
this : i % (4 * yn a1 i) = k % (4 * yn a1 i)
⊢ i = k
[PROOFSTEP]
rwa [Nat.mod_eq_of_lt (lt_of_le_of_lt (Nat.le_add_left _ _) ki),
  Nat.mod_eq_of_lt (lt_of_le_of_lt (Nat.le_add_right _ _) ki)] at this
[GOAL]
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
⊢ ↑a ≤ ↑a ^ 2 - (↑a - 1) ^ 2 - 1
[PROOFSTEP]
rw [sub_sq, mul_one, one_pow, sub_add, sub_sub_cancel, two_mul, sub_sub, ← add_sub, le_add_iff_nonneg_right, sub_nonneg,
  Int.add_one_le_iff]
[GOAL]
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
⊢ 1 < ↑a
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
⊢ 1 < a
[PROOFSTEP]
exact lt_of_le_of_lt (Nat.succ_le_of_lt (Nat.pos_of_ne_zero hy0)) hya
[GOAL]
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
⊢ ↑a ^ 2 - (↑a - 1) ^ 2 - 1 ≤ ↑a ^ 2 - (↑a - ↑y) ^ 2 - 1
[PROOFSTEP]
have := hya.le
[GOAL]
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
this : y ≤ a
⊢ ↑a ^ 2 - (↑a - 1) ^ 2 - 1 ≤ ↑a ^ 2 - (↑a - ↑y) ^ 2 - 1
[PROOFSTEP]
mono*
[GOAL]
case hab.hab.ha
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
this : y ≤ a
hy0_symm : 0 ≠ y
hk0_symm : 0 ≠ k
⊢ 0 ≤ ↑a
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
case hab.hcd.ha
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
this : y ≤ a
hy0_symm : 0 ≠ y
hk0_symm : 0 ≠ k
⊢ 0 ≤ ↑a - ↑y
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
case hab.hcd.hab.hcd
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
this : y ≤ a
hy0_symm : 0 ≠ y
hk0_symm : 0 ≠ k
⊢ 1 ≤ ↑y
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
case hab.hab.ha
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
this : y ≤ a
hy0_symm : 0 ≠ y
hk0_symm : 0 ≠ k
⊢ 0 ≤ a
[PROOFSTEP]
simp [Nat.zero_le, Nat.succ_le_of_lt (Nat.pos_of_ne_zero hy0)]
[GOAL]
case hab.hcd.ha
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
this : y ≤ a
hy0_symm : 0 ≠ y
hk0_symm : 0 ≠ k
⊢ 0 ≤ a - y
[PROOFSTEP]
simp [Nat.zero_le, Nat.succ_le_of_lt (Nat.pos_of_ne_zero hy0)]
[GOAL]
case hab.hcd.hab.hcd
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
this : y ≤ a
hy0_symm : 0 ≠ y
hk0_symm : 0 ≠ k
⊢ 1 ≤ y
[PROOFSTEP]
simp [Nat.zero_le, Nat.succ_le_of_lt (Nat.pos_of_ne_zero hy0)]
[GOAL]
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
⊢ ↑a ^ 2 - (↑a - ↑y) ^ 2 - 1 = 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
m n k : ℕ
⊢ n ^ k = m ↔
    k = 0 ∧ m = 1 ∨
      0 < k ∧
        (n = 0 ∧ m = 0 ∨
          0 < n ∧
            ∃ w a t z a1,
              xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + m [MOD t] ∧
                2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧
                  m < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1)
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
m n k : ℕ
⊢ n ^ k = m →
    k = 0 ∧ m = 1 ∨
      0 < k ∧
        (n = 0 ∧ m = 0 ∨
          0 < n ∧
            ∃ w a t z a1,
              xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + m [MOD t] ∧
                2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧
                  m < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1)
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
⊢ k = 0 ∧ n ^ k = 1 ∨
    0 < k ∧
      (n = 0 ∧ n ^ k = 0 ∨
        0 < n ∧
          ∃ w a t z a1,
            xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
              2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧
                n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1)
[PROOFSTEP]
refine' k.eq_zero_or_pos.imp (fun k0 : k = 0 => k0.symm ▸ ⟨rfl, rfl⟩) fun hk => ⟨hk, _⟩
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
⊢ n = 0 ∧ n ^ k = 0 ∨
    0 < n ∧
      ∃ w a t z a1,
        xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
          2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧
            n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
refine' n.eq_zero_or_pos.imp (fun n0 : n = 0 => n0.symm ▸ ⟨rfl, zero_pow hk⟩) fun hn => ⟨hn, _⟩
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
set w := max n k
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have nw : n ≤ w := le_max_left _ _
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have kw : k ≤ w := le_max_right _ _
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have wpos : 0 < w := hn.trans_le nw
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have w1 : 1 < w + 1 := Nat.succ_lt_succ wpos
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
set a := xn w1 w
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have a1 : 1 < a := strictMono_x w1 wpos
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have na : n ≤ a := nw.trans (n_lt_xn w1 w).le
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
na : n ≤ a
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
set x := xn a1 k
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
na : n ≤ a
x : ℕ := xn a1 k
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
set y := yn a1 k
[GOAL]
case mp
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
na : n ≤ a
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
obtain ⟨z, ze⟩ : w ∣ yn w1 w
[GOAL]
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
na : n ≤ a
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
⊢ w ∣ yn w1 w
case mp.intro
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
na : n ≤ a
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 w = w * z
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
exact modEq_zero_iff_dvd.1 ((yn_modEq_a_sub_one w1 w).trans dvd_rfl.modEq_zero_nat)
[GOAL]
case mp.intro
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
na : n ≤ a
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 w = w * z
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have nt : (↑(n ^ k) : ℤ) < 2 * a * n - n * n - 1 :=
  by
  refine' eq_pow_of_pell_lem hn.ne' hk.ne' _
  calc
    n ^ k ≤ n ^ w := Nat.pow_le_pow_of_le_right hn kw
    _ < (w + 1) ^ w := (Nat.pow_lt_pow_of_lt_left (Nat.lt_succ_of_le nw) wpos)
    _ ≤ a := xn_ge_a_pow w1 w
[GOAL]
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
na : n ≤ a
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 w = w * z
⊢ ↑(n ^ k) < 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
[PROOFSTEP]
refine' eq_pow_of_pell_lem hn.ne' hk.ne' _
[GOAL]
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
na : n ≤ a
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 w = w * z
⊢ n ^ k < a
[PROOFSTEP]
calc
  n ^ k ≤ n ^ w := Nat.pow_le_pow_of_le_right hn kw
  _ < (w + 1) ^ w := (Nat.pow_lt_pow_of_lt_left (Nat.lt_succ_of_le nw) wpos)
  _ ≤ a := xn_ge_a_pow w1 w
[GOAL]
case mp.intro
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
wpos : 0 < w
w1 : 1 < w + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < a
na : n ≤ a
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 w = w * z
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
lift (2 * a * n - n * n - 1 : ℤ) to ℕ using (Nat.cast_nonneg _).trans nt.le with t te
[GOAL]
case mp.intro.intro
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have tm : x ≡ y * (a - n) + n ^ k [MOD t] := by
  apply modEq_of_dvd
  rw [Int.ofNat_add, Int.ofNat_mul, Int.ofNat_sub na, te]
  exact x_sub_y_dvd_pow a1 n k
[GOAL]
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
⊢ x ≡ y * (a - n) + n ^ k [MOD t]
[PROOFSTEP]
apply modEq_of_dvd
[GOAL]
case a
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
⊢ ↑t ∣ ↑(y * (a - n) + n ^ k) - ↑x
[PROOFSTEP]
rw [Int.ofNat_add, Int.ofNat_mul, Int.ofNat_sub na, te]
[GOAL]
case a
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
⊢ 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1 ∣ ↑y * (↑(xn w1 (max n k)) - ↑n) + ↑(n ^ k) - ↑x
[PROOFSTEP]
exact x_sub_y_dvd_pow a1 n k
[GOAL]
case mp.intro.intro
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
tm : x ≡ y * (a - n) + n ^ k [MOD t]
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have ta : 2 * a * n = t + (n * n + 1) := by
  zify
  rw [te]
  ring_nf
[GOAL]
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
tm : x ≡ y * (a - n) + n ^ k [MOD t]
⊢ 2 * a * n = t + (n * n + 1)
[PROOFSTEP]
zify
[GOAL]
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
tm : x ≡ y * (a - n) + n ^ k [MOD t]
⊢ 2 * ↑(xn w1 (max n k)) * ↑n = ↑t + (↑n * ↑n + 1)
[PROOFSTEP]
rw [te]
[GOAL]
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
tm : x ≡ y * (a - n) + n ^ k [MOD t]
⊢ 2 * ↑(xn w1 (max n k)) * ↑n = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1 + (↑n * ↑n + 1)
[PROOFSTEP]
ring_nf
[GOAL]
case mp.intro.intro
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
tm : x ≡ y * (a - n) + n ^ k [MOD t]
ta : 2 * a * n = t + (n * n + 1)
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
have zp : a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1 := ze ▸ pell_eq w1 w
[GOAL]
case mp.intro.intro
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : 0 < n
w : ℕ := max n k
nw : n ≤ max n k
kw : k ≤ max n k
wpos : 0 < max n k
w1 : 1 < max n k + 1
a : ℕ := xn w1 w
a1 : 1 < xn w1 (max n k)
na : n ≤ xn w1 (max n k)
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
z : ℕ
ze : yn w1 (max n k) = max n k * z
t : ℕ
te : ↑t = 2 * ↑a * ↑n - ↑n * ↑n - 1
nt✝ nt : ↑(n ^ k) < ↑t
tm : x ≡ y * (a - n) + n ^ k [MOD t]
ta : 2 * a * n = t + (n * n + 1)
zp : a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
⊢ ∃ w a t z a1,
    xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + n ^ k [MOD t] ∧
      2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧ n ^ k < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
[PROOFSTEP]
exact ⟨w, a, t, z, a1, tm, ta, Nat.cast_lt.1 nt, nw, kw, zp⟩
[GOAL]
case mpr
m n k : ℕ
⊢ k = 0 ∧ m = 1 ∨
      0 < k ∧
        (n = 0 ∧ m = 0 ∨
          0 < n ∧
            ∃ w a t z a1,
              xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + m [MOD t] ∧
                2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧
                  m < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1) →
    n ^ k = m
[PROOFSTEP]
rintro (⟨rfl, rfl⟩ | ⟨hk0, ⟨rfl, rfl⟩ | ⟨hn0, w, a, t, z, a1, tm, ta, mt, nw, kw, zp⟩⟩)
[GOAL]
case mpr.inl.intro
n : ℕ
⊢ n ^ 0 = 1
[PROOFSTEP]
exact _root_.pow_zero n
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inl.intro
k : ℕ
hk0 : 0 < k
⊢ 0 ^ k = 0
[PROOFSTEP]
exact zero_pow hk0
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w a t z : ℕ
a1 : 1 < a
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + m [MOD t]
ta : 2 * a * n = t + (n * n + 1)
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
zp : a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have hw0 : 0 < w := hn0.trans_le nw
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w a t z : ℕ
a1 : 1 < a
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + m [MOD t]
ta : 2 * a * n = t + (n * n + 1)
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
zp : a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hw0 : 0 < w
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have hw1 : 1 < w + 1 := Nat.succ_lt_succ hw0
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w a t z : ℕ
a1 : 1 < a
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (a - n) + m [MOD t]
ta : 2 * a * n = t + (n * n + 1)
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
zp : a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
rcases eq_pell hw1 zp with ⟨j, rfl, yj⟩
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have hj0 : 0 < j := by
  apply Nat.pos_of_ne_zero
  rintro rfl
  exact lt_irrefl 1 a1
[GOAL]
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
⊢ 0 < j
[PROOFSTEP]
apply Nat.pos_of_ne_zero
[GOAL]
case a
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
⊢ j ≠ 0
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
case a
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
yj : w * z = yn hw1 0
a1 : 1 < xn hw1 0
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 0 - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 0 * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 0 * xn hw1 0 - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact lt_irrefl 1 a1
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have wj : w ≤ j :=
  Nat.le_of_dvd hj0 (modEq_zero_iff_dvd.1 <| (yn_modEq_a_sub_one hw1 j).symm.trans <| modEq_zero_iff_dvd.2 ⟨z, yj.symm⟩)
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have hnka : n ^ k < xn hw1 j
[GOAL]
case hnka
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
⊢ n ^ k < xn hw1 j
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
calc
  n ^ k ≤ n ^ j := Nat.pow_le_pow_of_le_right hn0 (le_trans kw wj)
  _ < (w + 1) ^ j := (Nat.pow_lt_pow_of_lt_left (Nat.lt_succ_of_le nw) hj0)
  _ ≤ xn hw1 j := xn_ge_a_pow hw1 j
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have nt : (↑(n ^ k) : ℤ) < 2 * xn hw1 j * n - n * n - 1 := eq_pow_of_pell_lem hn0.ne' hk0.ne' hnka
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have na : n ≤ xn hw1 j := (Nat.le_self_pow hk0.ne' _).trans hnka.le
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
na : n ≤ xn hw1 j
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have te : (t : ℤ) = 2 * xn hw1 j * n - n * n - 1 :=
  by
  rw [sub_sub, eq_sub_iff_add_eq]
  exact_mod_cast ta.symm
[GOAL]
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
na : n ≤ xn hw1 j
⊢ ↑t = 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
[PROOFSTEP]
rw [sub_sub, eq_sub_iff_add_eq]
[GOAL]
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
na : n ≤ xn hw1 j
⊢ ↑t + (↑n * ↑n + 1) = 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast ta.symm
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
na : n ≤ xn hw1 j
te : ↑t = 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + n ^ k [MOD t] :=
  by
  apply modEq_of_dvd
  rw [te, Nat.cast_add, Nat.cast_mul, Int.ofNat_sub na]
  exact x_sub_y_dvd_pow a1 n k
[GOAL]
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
na : n ≤ xn hw1 j
te : ↑t = 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
⊢ xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + n ^ k [MOD t]
[PROOFSTEP]
apply modEq_of_dvd
[GOAL]
case a
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
na : n ≤ xn hw1 j
te : ↑t = 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
⊢ ↑t ∣ ↑(yn a1 k * (xn hw1 j - n) + n ^ k) - ↑(xn a1 k)
[PROOFSTEP]
rw [te, Nat.cast_add, Nat.cast_mul, Int.ofNat_sub na]
[GOAL]
case a
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
na : n ≤ xn hw1 j
te : ↑t = 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
⊢ 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1 ∣ ↑(yn a1 k) * (↑(xn hw1 j) - ↑n) + ↑(n ^ k) - ↑(xn a1 k)
[PROOFSTEP]
exact x_sub_y_dvd_pow a1 n k
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
na : n ≤ xn hw1 j
te : ↑t = 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
this : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + n ^ k [MOD t]
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
have : n ^ k % t = m % t := (this.symm.trans tm).add_left_cancel' _
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
na : n ≤ xn hw1 j
te : ↑t = 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
this✝ : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + n ^ k [MOD t]
this : n ^ k % t = m % t
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
rw [← te] at nt
[GOAL]
case mpr.inr.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
m n k : ℕ
hk0 : 0 < k
hn0 : 0 < n
w t z : ℕ
mt : m < t
nw : n ≤ w
kw : k ≤ w
hw0 : 0 < w
hw1 : 1 < w + 1
j : ℕ
yj : w * z = yn hw1 j
a1 : 1 < xn hw1 j
tm : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + m [MOD t]
ta : 2 * xn hw1 j * n = t + (n * n + 1)
zp : xn hw1 j * xn hw1 j - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1
hj0 : 0 < j
wj : w ≤ j
hnka : n ^ k < xn hw1 j
nt : ↑(n ^ k) < ↑t
na : n ≤ xn hw1 j
te : ↑t = 2 * ↑(xn hw1 j) * ↑n - ↑n * ↑n - 1
this✝ : xn a1 k ≡ yn a1 k * (xn hw1 j - n) + n ^ k [MOD t]
this : n ^ k % t = m % t
⊢ n ^ k = m
[PROOFSTEP]
rwa [Nat.mod_eq_of_lt (Nat.cast_lt.1 nt), Nat.mod_eq_of_lt mt] at this