[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
⊢ ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ indicator u (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * C) t
[PROOFSTEP]
refine' le_indicator (f := fun t ↦ ‖L (f t) (g (x - t))‖) (fun t _ => _) (fun t ht => _) t
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝¹ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
x✝ : t ∈ u
⊢ (fun t => ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖) t ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * C
[PROOFSTEP]
apply_rules [L.le_of_op_norm₂_le_of_le, le_rfl]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : ¬t ∈ u
⊢ (fun t => ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖) t ≤ 0
[PROOFSTEP]
have : x - t ∉ support g := by
  refine mt (fun hxt => hu ?_) ht
  refine' ⟨_, _, Set.neg_mem_neg.mpr (subset_closure hxt), hx, _⟩
  simp only [neg_sub, sub_add_cancel]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : ¬t ∈ u
⊢ ¬x - t ∈ support g
[PROOFSTEP]
refine mt (fun hxt => hu ?_) ht
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : ¬t ∈ u
hxt : x - t ∈ support g
⊢ t ∈ -tsupport g + s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, _, Set.neg_mem_neg.mpr (subset_closure hxt), hx, _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : ¬t ∈ u
hxt : x - t ∈ support g
⊢ (fun x x_1 => x + x_1) (-(x - t)) x = t
[PROOFSTEP]
simp only [neg_sub, sub_add_cancel]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : ¬t ∈ u
this : ¬x - t ∈ support g
⊢ (fun t => ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖) t ≤ 0
[PROOFSTEP]
simp only [nmem_support.mp this, (L _).map_zero, norm_zero, le_rfl]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
⊢ ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ indicator u (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : G), ‖g i‖) t
[PROOFSTEP]
refine convolution_integrand_bound_right_of_le_of_subset _ (fun i => ?_) hx hu
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
i : G
⊢ ‖g i‖ ≤ ⨆ (i : G), ‖g i‖
[PROOFSTEP]
exact le_ciSup (hg.norm.bddAbove_range_of_hasCompactSupport hcg.norm) _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
x t : G
s : Set G
hx : x ∈ s
⊢ ‖↑(↑L (f (x - t))) (g t)‖ ≤ indicator (-tsupport f + s) (fun t => (‖L‖ * ⨆ (i : G), ‖f i‖) * ‖g t‖) t
[PROOFSTEP]
convert hcf.convolution_integrand_bound_right L.flip hf hx using 1
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
x t : G
s : Set G
hx : x ∈ s
⊢ indicator (-tsupport f + s) (fun t => (‖L‖ * ⨆ (i : G), ‖f i‖) * ‖g t‖) t =
    indicator (-tsupport f + s) (fun t => ‖ContinuousLinearMap.flip L‖ * ‖g t‖ * ⨆ (i : G), ‖f i‖) t
[PROOFSTEP]
simp_rw [L.op_norm_flip, mul_right_comm]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L
[PROOFSTEP]
unfold ConvolutionExistsAt
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
⊢ Integrable fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
[PROOFSTEP]
rw [← integrableOn_iff_integrable_of_support_subset h2s]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) s
[PROOFSTEP]
set s' := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) s
[PROOFSTEP]
have : ∀ᵐ t : G ∂μ.restrict s, ‖L (f t) (g (x₀ - t))‖ ≤ s.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i : s', ‖g i‖) t
[GOAL]
case this
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
⊢ ∀ᵐ (t : G) ∂Measure.restrict μ s,
    ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ indicator s (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖) t
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_forall _
[GOAL]
case this
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
⊢ ∀ (x : G), ‖↑(↑L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ indicator s (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖) x
[PROOFSTEP]
refine' le_indicator (fun t ht => _) fun t ht => _
[GOAL]
case this.refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
t : G
ht : t ∈ s
⊢ ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖
[PROOFSTEP]
apply_rules [L.le_of_op_norm₂_le_of_le, le_rfl]
[GOAL]
case this.refine'_1.hy
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
t : G
ht : t ∈ s
⊢ ‖g (x₀ - t)‖ ≤ ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖
[PROOFSTEP]
refine' (le_ciSup_set hbg <| mem_preimage.mpr _)
[GOAL]
case this.refine'_1.hy
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
t : G
ht : t ∈ s
⊢ -(x₀ - t) + x₀ ∈ s
[PROOFSTEP]
rwa [neg_sub, sub_add_cancel]
[GOAL]
case this.refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
t : G
ht : ¬t ∈ s
⊢ ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ 0
[PROOFSTEP]
have : t ∉ support fun t => L (f t) (g (x₀ - t)) := mt (fun h => h2s h) ht
[GOAL]
case this.refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
t : G
ht : ¬t ∈ s
this : ¬t ∈ support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
⊢ ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ 0
[PROOFSTEP]
rw [nmem_support.mp this, norm_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this :
  ∀ᵐ (t : G) ∂Measure.restrict μ s,
    ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ indicator s (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖) t
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) s
[PROOFSTEP]
refine' Integrable.mono' _ _ this
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this :
  ∀ᵐ (t : G) ∂Measure.restrict μ s,
    ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ indicator s (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖) t
⊢ Integrable fun a => indicator s (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖) a
[PROOFSTEP]
rw [integrable_indicator_iff hs]
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this :
  ∀ᵐ (t : G) ∂Measure.restrict μ s,
    ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ indicator s (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖) t
⊢ IntegrableOn (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖) s
[PROOFSTEP]
exact ((hf.norm.const_mul _).mul_const _).integrableOn
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this :
  ∀ᵐ (t : G) ∂Measure.restrict μ s,
    ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ indicator s (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : ↑s'), ‖g ↑i‖) t
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (Measure.restrict μ s)
[PROOFSTEP]
exact hf.aestronglyMeasurable.convolution_integrand_snd' L hmg
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ)
hmf : AEStronglyMeasurable f μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L
[PROOFSTEP]
refine' (h.const_mul ‖L‖).mono' (hmf.convolution_integrand_snd' L hmg) (eventually_of_forall fun x => _)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ)
hmf : AEStronglyMeasurable f μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
x : G
⊢ ‖↑(↑L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ ‖L‖ * ↑(↑(mul ℝ ℝ) ((fun x => ‖f x‖) x)) ((fun x => ‖g x‖) (x₀ - x))
[PROOFSTEP]
rw [mul_apply', ← mul_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ)
hmf : AEStronglyMeasurable f μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
x : G
⊢ ‖↑(↑L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ ‖L‖ * (fun x => ‖f x‖) x * (fun x => ‖g x‖) (x₀ - x)
[PROOFSTEP]
apply L.le_op_norm₂
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
⊢ Integrable fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))
[PROOFSTEP]
have h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p : G × G => L (f p.2) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν) :=
  hf.aestronglyMeasurable.convolution_integrand L hg.aestronglyMeasurable
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
⊢ Integrable fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))
[PROOFSTEP]
have h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y : G => ∫ x : G, ‖L (f y) (g (x - y))‖ ∂μ) ν :=
  h_meas.prod_swap.norm.integral_prod_right'
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
⊢ Integrable fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))
[PROOFSTEP]
simp_rw [integrable_prod_iff' h_meas]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
⊢ (∀ᵐ (y : G) ∂ν, Integrable fun x => ↑(↑L (f y)) (g (x - y))) ∧
    Integrable fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' ⟨eventually_of_forall fun t => (L (f t)).integrable_comp (hg.comp_sub_right t), _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
⊢ Integrable fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' Integrable.mono' _ h2_meas (eventually_of_forall fun t => (_ : _ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ∫ x, ‖g (x - t)‖ ∂μ))
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
⊢ Integrable fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ∫ (x : G), ‖g (x - t)‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [integral_sub_right_eq_self (‖g ·‖)]
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
⊢ Integrable fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ∫ (x : G), ‖g x‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
exact (hf.norm.const_mul _).mul_const _
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
t : G
⊢ ‖∫ (x : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ∂μ‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ∫ (x : G), ‖g (x - t)‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [← integral_mul_left]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
t : G
⊢ ‖∫ (x : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ∂μ‖ ≤ ∫ (a : G), ‖L‖ * ‖f t‖ * ‖g (a - t)‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [Real.norm_of_nonneg]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
t : G
⊢ ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ∂μ ≤ ∫ (a : G), ‖L‖ * ‖f t‖ * ‖g (a - t)‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
exact
  integral_mono_of_nonneg (eventually_of_forall fun t => norm_nonneg _) ((hg.comp_sub_right t).norm.const_mul _)
    (eventually_of_forall fun t => L.le_op_norm₂ _ _)
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable f
hg : Integrable g
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => ↑(↑L (f p.snd)) (g (p.fst - p.snd))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
t : G
⊢ 0 ≤ ∫ (x : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
exact integral_nonneg fun x => norm_nonneg _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L
[PROOFSTEP]
let u := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addRight x₀)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addRight x₀)
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L
[PROOFSTEP]
let v := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addLeft x₀)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addLeft x₀)
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L
[PROOFSTEP]
apply
  ((u.isCompact_preimage.mpr h).bddAbove_image hg.norm.continuousOn).convolutionExistsAt' L
    isClosed_closure.measurableSet subset_closure (hf.integrableOn_isCompact h)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addLeft x₀)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => g x)
    (Measure.map (fun t => ↑(↑toAddUnits x₀) - t) (Measure.restrict μ (tsupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)))))
[PROOFSTEP]
have A : AEStronglyMeasurable (g ∘ v) (μ.restrict (tsupport fun t : G => L (f t) (g (x₀ - t))))
[GOAL]
case A
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addLeft x₀)
⊢ AEStronglyMeasurable (g ∘ ↑v) (Measure.restrict μ (tsupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))))
[PROOFSTEP]
apply (hg.comp v.continuous).continuousOn.aestronglyMeasurable_of_isCompact h
[GOAL]
case A
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addLeft x₀)
⊢ MeasurableSet (tsupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)))
[PROOFSTEP]
exact (isClosed_tsupport _).measurableSet
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addLeft x₀)
A : AEStronglyMeasurable (g ∘ ↑v) (Measure.restrict μ (tsupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))))
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => g x)
    (Measure.map (fun t => ↑(↑toAddUnits x₀) - t) (Measure.restrict μ (tsupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)))))
[PROOFSTEP]
convert
  ((v.continuous.measurable.measurePreserving
            (μ.restrict (tsupport fun t => L (f t) (g (x₀ - t))))).aestronglyMeasurable_comp_iff
        v.toMeasurableEquiv.measurableEmbedding).1
    A
[GOAL]
case h.e'_6.h.e'_5.h.h.e
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addLeft x₀)
A : AEStronglyMeasurable (g ∘ ↑v) (Measure.restrict μ (tsupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))))
x✝ : G
⊢ HSub.hSub ↑(↑toAddUnits x₀) = ↑v
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h.e'_6.h.e'_5.h.h.e.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝¹ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := Homeomorph.trans (Homeomorph.neg G) (Homeomorph.addLeft x₀)
A : AEStronglyMeasurable (g ∘ ↑v) (Measure.restrict μ (tsupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))))
x✝ x : G
⊢ ↑(↑toAddUnits x₀) - x = ↑v x
[PROOFSTEP]
simp only [Homeomorph.neg, sub_eq_add_neg, coe_toAddUnits, Homeomorph.trans_apply, Equiv.neg_apply, Equiv.toFun_as_coe,
  Homeomorph.homeomorph_mk_coe, Equiv.coe_fn_mk, Homeomorph.coe_addLeft]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
⊢ ConvolutionExists f g L
[PROOFSTEP]
intro x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L
[PROOFSTEP]
refine' HasCompactSupport.convolutionExistsAt L _ hf hg
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
[PROOFSTEP]
refine' (hcg.comp_homeomorph (Homeomorph.subLeft x₀)).mono _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support (g ∘ ↑(Homeomorph.subLeft x₀))
[PROOFSTEP]
refine' fun t => mt fun ht : g (x₀ - t) = 0 => _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
x₀ t : G
ht : g (x₀ - t) = 0
⊢ (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) t = 0
[PROOFSTEP]
simp_rw [ht, (L _).map_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
⊢ ConvolutionExists f g L
[PROOFSTEP]
intro x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L
[PROOFSTEP]
refine' HasCompactSupport.convolutionExistsAt L _ hf hg
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ HasCompactSupport fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
[PROOFSTEP]
refine' hcf.mono _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support f
[PROOFSTEP]
refine' fun t => mt fun ht : f t = 0 => _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
x₀ t : G
ht : f t = 0
⊢ (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) t = 0
[PROOFSTEP]
simp_rw [ht, L.map_zero₂]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L
[PROOFSTEP]
refine' BddAbove.convolutionExistsAt' L _ hs h2s hf _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
[PROOFSTEP]
simp_rw [← sub_eq_neg_add, hbg]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
[PROOFSTEP]
have : AEStronglyMeasurable g (map (fun t : G => x₀ - t) μ) :=
  hmg.mono' (quasiMeasurePreserving_sub_left_of_right_invariant μ x₀).absolutelyContinuous
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
this : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
⊢ AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s))
[PROOFSTEP]
apply this.mono_measure
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
this : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
⊢ Measure.map (fun t => x₀ - t) (Measure.restrict μ s) ≤ Measure.map (fun t => x₀ - t) μ
[PROOFSTEP]
exact map_mono restrict_le_self (measurable_const.sub measurable_id')
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : IsNegInvariant μ
⊢ ConvolutionExistsAt g f x (ContinuousLinearMap.flip L) ↔ ConvolutionExistsAt f g x L
[PROOFSTEP]
simp_rw [ConvolutionExistsAt,
  -- porting note: added `(μ := μ)`← integrable_comp_sub_left (μ := μ) (fun t => L (f t) (g (x - t))) x, sub_sub_cancel,
  flip_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : IsNegInvariant μ
h : ConvolutionExistsAt f g x L
⊢ Integrable fun t => ↑(↑L (f (x - t))) (g t)
[PROOFSTEP]
convert h.comp_sub_left x
[GOAL]
case h.e'_5.h.h.e'_6.h.e'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : IsNegInvariant μ
h : ConvolutionExistsAt f g x L
x✝ : G
⊢ x✝ = x - (x - x✝)
[PROOFSTEP]
simp_rw [sub_sub_self]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y✝ y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
y : 𝕜
⊢ convolution (y • f) g L = y • convolution f g L
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y✝ y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
y : 𝕜
x✝ : G
⊢ y • f ⋆[L, x✝] g = (y • convolution f g L) x✝
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.smul_apply, convolution_def, ← integral_smul, L.map_smul₂]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y✝ y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
y : 𝕜
⊢ convolution f (y • g) L = y • convolution f g L
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y✝ y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
y : 𝕜
x✝ : G
⊢ f ⋆[L, x✝] y • g = (y • convolution f g L) x✝
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.smul_apply, convolution_def, ← integral_smul, (L _).map_smul]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
⊢ convolution 0 g L = 0
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G
⊢ 0 ⋆[L, x✝] g = OfNat.ofNat 0 x✝
[PROOFSTEP]
simp_rw [convolution_def, Pi.zero_apply, L.map_zero₂, integral_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
⊢ convolution f 0 L = 0
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G
⊢ f ⋆[L, x✝] 0 = OfNat.ofNat 0 x✝
[PROOFSTEP]
simp_rw [convolution_def, Pi.zero_apply, (L _).map_zero, integral_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
hfg : ConvolutionExistsAt f g x L
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x L
⊢ f ⋆[L, x] (g + g') = f ⋆[L, x] g + f ⋆[L, x] g'
[PROOFSTEP]
simp only [convolution_def, (L _).map_add, Pi.add_apply, integral_add hfg hfg']
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
hfg : ConvolutionExists f g L
hfg' : ConvolutionExists f g' L
⊢ convolution f (g + g') L = convolution f g L + convolution f g' L
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
hfg : ConvolutionExists f g L
hfg' : ConvolutionExists f g' L
x : G
⊢ f ⋆[L, x] (g + g') = (convolution f g L + convolution f g' L) x
[PROOFSTEP]
exact (hfg x).distrib_add (hfg' x)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
hfg : ConvolutionExistsAt f g x L
hfg' : ConvolutionExistsAt f' g x L
⊢ (f + f') ⋆[L, x] g = f ⋆[L, x] g + f' ⋆[L, x] g
[PROOFSTEP]
simp only [convolution_def, L.map_add₂, Pi.add_apply, integral_add hfg hfg']
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
hfg : ConvolutionExists f g L
hfg' : ConvolutionExists f' g L
⊢ convolution (f + f') g L = convolution f g L + convolution f' g L
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
hfg : ConvolutionExists f g L
hfg' : ConvolutionExists f' g L
x : G
⊢ (f + f') ⋆[L, x] g = (convolution f g L + convolution f' g L) x
[PROOFSTEP]
exact (hfg x).add_distrib (hfg' x)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ)
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ)
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
⊢ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g ≤ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g'
[PROOFSTEP]
apply integral_mono hfg hfg'
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ)
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ)
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
⊢ (fun t => ↑(↑(lsmul ℝ ℝ) (f t)) (g (x - t))) ≤ fun t => ↑(↑(lsmul ℝ ℝ) (f t)) (g' (x - t))
[PROOFSTEP]
simp only [lsmul_apply, Algebra.id.smul_eq_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ)
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ)
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
⊢ (fun t => f t * g (x - t)) ≤ fun t => f t * g' (x - t)
[PROOFSTEP]
intro t
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ)
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ)
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
t : G
⊢ (fun t => f t * g (x - t)) t ≤ (fun t => f t * g' (x - t)) t
[PROOFSTEP]
apply mul_le_mul_of_nonneg_left (hg _) (hf _)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ)
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
⊢ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g ≤ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g'
[PROOFSTEP]
by_cases H : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ)
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
H : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ)
⊢ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g ≤ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g'
[PROOFSTEP]
exact convolution_mono_right H hfg' hf hg
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ)
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
H : ¬ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ)
⊢ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g ≤ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g'
[PROOFSTEP]
have : (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x = 0 := integral_undef H
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ)
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
H : ¬ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ)
this : f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g = 0
⊢ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g ≤ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g'
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ)
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
H : ¬ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ)
this : f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g = 0
⊢ 0 ≤ f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x] g'
[PROOFSTEP]
exact integral_nonneg fun y => mul_nonneg (hf y) (hg' (x - y))
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : MeasurableAdd₂ G
inst✝² : MeasurableNeg G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddRightInvariant μ
h1 : f =ᶠ[ae μ] f'
h2 : g =ᶠ[ae μ] g'
⊢ convolution f g L = convolution f' g' L
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : MeasurableAdd₂ G
inst✝² : MeasurableNeg G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddRightInvariant μ
h1 : f =ᶠ[ae μ] f'
h2 : g =ᶠ[ae μ] g'
x : G
⊢ f ⋆[L, x] g = f' ⋆[L, x] g'
[PROOFSTEP]
apply integral_congr_ae
[GOAL]
case h.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : MeasurableAdd₂ G
inst✝² : MeasurableNeg G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddRightInvariant μ
h1 : f =ᶠ[ae μ] f'
h2 : g =ᶠ[ae μ] g'
x : G
⊢ (fun a => ↑(↑L (f a)) (g (x - a))) =ᶠ[ae μ] fun a => ↑(↑L (f' a)) (g' (x - a))
[PROOFSTEP]
exact
  (h1.prod_mk <| h2.comp_tendsto (quasiMeasurePreserving_sub_left_of_right_invariant μ x).tendsto_ae).fun_comp
    ↿fun x y => L x y
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
⊢ support (convolution f g L) ⊆ support g + support f
[PROOFSTEP]
intro x h2x
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
⊢ x ∈ support g + support f
[PROOFSTEP]
by_contra hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
hx : ¬x ∈ support g + support f
⊢ False
[PROOFSTEP]
apply h2x
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
hx : ¬x ∈ support g + support f
⊢ f ⋆[L, x] g = 0
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.mem_add, not_exists, not_and_or, nmem_support] at hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
⊢ f ⋆[L, x] g = 0
[PROOFSTEP]
rw [convolution_def]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
⊢ ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂μ = 0
[PROOFSTEP]
convert integral_zero G F using 2
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_7
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
⊢ (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) = fun x => 0
[PROOFSTEP]
ext t
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_7.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
t : G
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) = 0
[PROOFSTEP]
rcases hx (x - t) t with (h | h | h)
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_7.h.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
t : G
h : g (x - t) = 0
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) = 0
[PROOFSTEP]
rw [h, (L _).map_zero]
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_7.h.inr.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
t : G
h : f t = 0
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) = 0
[PROOFSTEP]
rw [h, L.map_zero₂]
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_7.h.inr.inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (convolution f g L)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
t : G
h : ¬x - t + t = x
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) = 0
[PROOFSTEP]
exact (h <| sub_add_cancel x t).elim
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContinuousOn (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
intro q₀ hq₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀ ∈ s ×ˢ univ
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
replace hq₀ : q₀.1 ∈ s
[GOAL]
case hq₀
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀ ∈ s ×ˢ univ
⊢ q₀.fst ∈ s
[PROOFSTEP]
simpa only [mem_prod, mem_univ, and_true] using hq₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
have A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p) := fun p hp ↦
  by
  refine hg.comp_continuous (continuous_const.prod_mk continuous_id') fun x => ?_
  simpa only [prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true] using hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
⊢ Continuous (g p)
[PROOFSTEP]
refine hg.comp_continuous (continuous_const.prod_mk continuous_id') fun x => ?_
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
x : G
⊢ (p, x) ∈ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simpa only [prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true] using hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
have B : ∀ p ∈ s, tsupport (g p) ⊆ k := fun p hp =>
  closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => hgs _ _ hp hz) h'k
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
obtain ⟨w, C, w_open, q₀w, hw⟩ : ∃ w C, IsOpen w ∧ q₀.1 ∈ w ∧ ∀ p x, p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C :=
  by
  have A : IsCompact ({q₀.1} ×ˢ k) := isCompact_singleton.prod hk
  obtain ⟨t, kt, t_open, ht⟩ : ∃ t, {q₀.1} ×ˢ k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ)) :=
    by
    apply exists_isOpen_bounded_image_inter_of_isCompact_of_continuousOn A _ hg
    simp only [prod_subset_prod_iff, hq₀, singleton_subset_iff, subset_univ, and_self_iff, true_or_iff]
  obtain ⟨C, Cpos, hC⟩ : ∃ C, 0 < C ∧ ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall (0 : E') C := ht.subset_ball_lt 0 0
  obtain ⟨w, w_open, q₀w, hw⟩ : ∃ w, IsOpen w ∧ q₀.1 ∈ w ∧ w ×ˢ k ⊆ t
  · obtain ⟨w, v, w_open, -, hw, hv, hvw⟩ :
      ∃ (w : Set P) (v : Set G), IsOpen w ∧ IsOpen v ∧ { q₀.fst } ⊆ w ∧ k ⊆ v ∧ w ×ˢ v ⊆ t
    exact generalized_tube_lemma isCompact_singleton hk t_open kt
    exact ⟨w, w_open, singleton_subset_iff.1 hw, Subset.trans (Set.prod_mono Subset.rfl hv) hvw⟩
  refine' ⟨w, C, w_open, q₀w, _⟩
  rintro p x ⟨hp, hps⟩
  by_cases hx : x ∈ k
  · have H : (p, x) ∈ t := by
      apply hw
      simp only [prod_mk_mem_set_prod_eq, hp, hx, and_true_iff]
    have H' : (p, x) ∈ (s ×ˢ univ : Set (P × G)) := by
      simpa only [prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true_iff] using hps
    have : g p x ∈ closedBall (0 : E') C := hC (mem_image_of_mem _ (mem_inter H H'))
    rwa [mem_closedBall_zero_iff] at this
  · have : g p x = 0 := hgs _ _ hps hx
    rw [this]
    simpa only [norm_zero] using Cpos.le
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
⊢ ∃ w C, IsOpen w ∧ q₀.fst ∈ w ∧ ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have A : IsCompact ({q₀.1} ×ˢ k) := isCompact_singleton.prod hk
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
⊢ ∃ w C, IsOpen w ∧ q₀.fst ∈ w ∧ ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
obtain ⟨t, kt, t_open, ht⟩ : ∃ t, {q₀.1} ×ˢ k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ)) :=
  by
  apply exists_isOpen_bounded_image_inter_of_isCompact_of_continuousOn A _ hg
  simp only [prod_subset_prod_iff, hq₀, singleton_subset_iff, subset_univ, and_self_iff, true_or_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
⊢ ∃ t, {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
[PROOFSTEP]
apply exists_isOpen_bounded_image_inter_of_isCompact_of_continuousOn A _ hg
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
⊢ {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simp only [prod_subset_prod_iff, hq₀, singleton_subset_iff, subset_univ, and_self_iff, true_or_iff]
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
⊢ ∃ w C, IsOpen w ∧ q₀.fst ∈ w ∧ ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
obtain ⟨C, Cpos, hC⟩ : ∃ C, 0 < C ∧ ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall (0 : E') C := ht.subset_ball_lt 0 0
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
⊢ ∃ w C, IsOpen w ∧ q₀.fst ∈ w ∧ ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
obtain ⟨w, w_open, q₀w, hw⟩ : ∃ w, IsOpen w ∧ q₀.1 ∈ w ∧ w ×ˢ k ⊆ t
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
⊢ ∃ w, IsOpen w ∧ q₀.fst ∈ w ∧ w ×ˢ k ⊆ t
[PROOFSTEP]
obtain ⟨w, v, w_open, -, hw, hv, hvw⟩ :
  ∃ (w : Set P) (v : Set G), IsOpen w ∧ IsOpen v ∧ { q₀.fst } ⊆ w ∧ k ⊆ v ∧ w ×ˢ v ⊆ t
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
⊢ ∃ w v, IsOpen w ∧ IsOpen v ∧ {q₀.fst} ⊆ w ∧ k ⊆ v ∧ w ×ˢ v ⊆ t
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
v : Set G
w_open : IsOpen w
hw : {q₀.fst} ⊆ w
hv : k ⊆ v
hvw : w ×ˢ v ⊆ t
⊢ ∃ w, IsOpen w ∧ q₀.fst ∈ w ∧ w ×ˢ k ⊆ t
[PROOFSTEP]
exact generalized_tube_lemma isCompact_singleton hk t_open kt
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
v : Set G
w_open : IsOpen w
hw : {q₀.fst} ⊆ w
hv : k ⊆ v
hvw : w ×ˢ v ⊆ t
⊢ ∃ w, IsOpen w ∧ q₀.fst ∈ w ∧ w ×ˢ k ⊆ t
[PROOFSTEP]
exact ⟨w, w_open, singleton_subset_iff.1 hw, Subset.trans (Set.prod_mono Subset.rfl hv) hvw⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
⊢ ∃ w C, IsOpen w ∧ q₀.fst ∈ w ∧ ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
refine' ⟨w, C, w_open, q₀w, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
⊢ ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rintro p x ⟨hp, hps⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
⊢ ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x ∈ k
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have H : (p, x) ∈ t := by
  apply hw
  simp only [prod_mk_mem_set_prod_eq, hp, hx, and_true_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ (p, x) ∈ t
[PROOFSTEP]
apply hw
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ (p, x) ∈ w ×ˢ k
[PROOFSTEP]
simp only [prod_mk_mem_set_prod_eq, hp, hx, and_true_iff]
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
H : (p, x) ∈ t
⊢ ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have H' : (p, x) ∈ (s ×ˢ univ : Set (P × G)) := by
  simpa only [prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true_iff] using hps
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
H : (p, x) ∈ t
⊢ (p, x) ∈ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simpa only [prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true_iff] using hps
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
H : (p, x) ∈ t
H' : (p, x) ∈ s ×ˢ univ
⊢ ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have : g p x ∈ closedBall (0 : E') C := hC (mem_image_of_mem _ (mem_inter H H'))
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
H : (p, x) ∈ t
H' : (p, x) ∈ s ×ˢ univ
this : g p x ∈ closedBall 0 C
⊢ ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rwa [mem_closedBall_zero_iff] at this
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
⊢ ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have : g p x = 0 := hgs _ _ hps hx
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
this : g p x = 0
⊢ ‖g p x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ))
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ↿g '' (t ∩ s ×ˢ univ) ⊆ closedBall 0 C
w : Set P
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : w ×ˢ k ⊆ t
p : P
x : G
hp : p ∈ w
hps : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
this : g p x = 0
⊢ ‖0‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
simpa only [norm_zero] using Cpos.le
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
have I1 : ∀ᶠ q : P × G in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a : G => L (f a) (g q.1 (q.2 - a))) μ :=
  by
  filter_upwards [self_mem_nhdsWithin]
  rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
  refine' (HasCompactSupport.convolutionExists_right L _ hf (A _ hp) _).1
  exact isCompact_of_isClosed_subset hk (isClosed_tsupport _) (B p hp)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
⊢ ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
[PROOFSTEP]
filter_upwards [self_mem_nhdsWithin]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
⊢ ∀ (a : P × G), a ∈ s ×ˢ univ → AEStronglyMeasurable (fun a_2 => ↑(↑L (f a_2)) (g a.fst (a.snd - a_2))) μ
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
[GOAL]
case h.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).fst ∈ s
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g (p, x).fst ((p, x).snd - a))) μ
[PROOFSTEP]
refine' (HasCompactSupport.convolutionExists_right L _ hf (A _ hp) _).1
[GOAL]
case h.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).fst ∈ s
⊢ HasCompactSupport (g (p, x).fst)
[PROOFSTEP]
exact isCompact_of_isClosed_subset hk (isClosed_tsupport _) (B p hp)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
let K' := -k + {q₀.2}
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
have hK' : IsCompact K' := hk.neg.add isCompact_singleton
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
obtain ⟨U, U_open, K'U, hU⟩ : ∃ U, IsOpen U ∧ K' ⊆ U ∧ IntegrableOn f U μ := hf.integrableOn_nhds_isCompact hK'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
let bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
have I2 : ∀ᶠ q : P × G in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ a ∂μ, ‖L (f a) (g q.1 (q.2 - a))‖ ≤ bound a :=
  by
  obtain ⟨V, V_mem, hV⟩ : ∃ V ∈ 𝓝 (0 : G), K' + V ⊆ U := compact_open_separated_add_right hK' U_open K'U
  have : ((w ∩ s) ×ˢ ({q₀.2} + V) : Set (P × G)) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀ :=
    by
    conv_rhs => rw [← @Prod.mk.eta _ _ q₀, nhdsWithin_prod_eq, nhdsWithin_univ]
    refine' Filter.prod_mem_prod _ (singleton_add_mem_nhds_of_nhds_zero q₀.2 V_mem)
    exact mem_nhdsWithin_iff_exists_mem_nhds_inter.2 ⟨w, w_open.mem_nhds q₀w, Subset.rfl⟩
  filter_upwards [this]
  rintro ⟨p, x⟩ hpx
  simp only [prod_mk_mem_set_prod_eq] at hpx
  refine eventually_of_forall fun a => ?_
  apply convolution_integrand_bound_right_of_le_of_subset _ _ hpx.2 _
  · intro x
    exact hw _ _ hpx.1
  · rw [← add_assoc]
    apply Subset.trans (add_subset_add_right (add_subset_add_right _)) hV
    rw [neg_subset_neg]
    exact B p hpx.1.2
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
⊢ ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
[PROOFSTEP]
obtain ⟨V, V_mem, hV⟩ : ∃ V ∈ 𝓝 (0 : G), K' + V ⊆ U := compact_open_separated_add_right hK' U_open K'U
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
⊢ ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
[PROOFSTEP]
have : ((w ∩ s) ×ˢ ({q₀.2} + V) : Set (P × G)) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀ :=
  by
  conv_rhs => rw [← @Prod.mk.eta _ _ q₀, nhdsWithin_prod_eq, nhdsWithin_univ]
  refine' Filter.prod_mem_prod _ (singleton_add_mem_nhds_of_nhds_zero q₀.2 V_mem)
  exact mem_nhdsWithin_iff_exists_mem_nhds_inter.2 ⟨w, w_open.mem_nhds q₀w, Subset.rfl⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
⊢ (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
[PROOFSTEP]
conv_rhs => rw [← @Prod.mk.eta _ _ q₀, nhdsWithin_prod_eq, nhdsWithin_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
| 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
[PROOFSTEP]
rw [← @Prod.mk.eta _ _ q₀, nhdsWithin_prod_eq, nhdsWithin_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
| 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
[PROOFSTEP]
rw [← @Prod.mk.eta _ _ q₀, nhdsWithin_prod_eq, nhdsWithin_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
| 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
[PROOFSTEP]
rw [← @Prod.mk.eta _ _ q₀, nhdsWithin_prod_eq, nhdsWithin_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
⊢ (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s] q₀.fst ×ˢ 𝓝 q₀.snd
[PROOFSTEP]
refine' Filter.prod_mem_prod _ (singleton_add_mem_nhds_of_nhds_zero q₀.2 V_mem)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
⊢ w ∩ s ∈ 𝓝[s] q₀.fst
[PROOFSTEP]
exact mem_nhdsWithin_iff_exists_mem_nhds_inter.2 ⟨w, w_open.mem_nhds q₀w, Subset.rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
⊢ ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
[PROOFSTEP]
filter_upwards [this]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
⊢ ∀ (a : P × G),
    a ∈ (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) →
      ∀ᵐ (a_2 : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a_2)) (g a.fst (a.snd - a_2))‖ ≤ indicator U (fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C) a_2
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, x⟩ hpx
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
p : P
x : G
hpx : (p, x) ∈ (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V)
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g (p, x).fst ((p, x).snd - a))‖ ≤ indicator U (fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C) a
[PROOFSTEP]
simp only [prod_mk_mem_set_prod_eq] at hpx
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
p : P
x : G
hpx : p ∈ w ∩ s ∧ x ∈ {q₀.snd} + V
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g (p, x).fst ((p, x).snd - a))‖ ≤ indicator U (fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C) a
[PROOFSTEP]
refine eventually_of_forall fun a => ?_
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
p : P
x : G
hpx : p ∈ w ∩ s ∧ x ∈ {q₀.snd} + V
a : G
⊢ ‖↑(↑L (f a)) (g (p, x).fst ((p, x).snd - a))‖ ≤ indicator U (fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C) a
[PROOFSTEP]
apply convolution_integrand_bound_right_of_le_of_subset _ _ hpx.2 _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
p : P
x : G
hpx : p ∈ w ∩ s ∧ x ∈ {q₀.snd} + V
a : G
⊢ ∀ (i : G), ‖g (p, x).fst i‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝¹ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
p : P
x✝ : G
hpx : p ∈ w ∩ s ∧ x✝ ∈ {q₀.snd} + V
a x : G
⊢ ‖g (p, x✝).fst x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
exact hw _ _ hpx.1
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
p : P
x : G
hpx : p ∈ w ∩ s ∧ x ∈ {q₀.snd} + V
a : G
⊢ -tsupport (g (p, x).fst) + ({q₀.snd} + V) ⊆ U
[PROOFSTEP]
rw [← add_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
p : P
x : G
hpx : p ∈ w ∩ s ∧ x ∈ {q₀.snd} + V
a : G
⊢ -tsupport (g (p, x).fst) + {q₀.snd} + V ⊆ U
[PROOFSTEP]
apply Subset.trans (add_subset_add_right (add_subset_add_right _)) hV
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
p : P
x : G
hpx : p ∈ w ∩ s ∧ x ∈ {q₀.snd} + V
a : G
⊢ -tsupport (g (p, x).fst) ⊆ -k
[PROOFSTEP]
rw [neg_subset_neg]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
this : (w ∩ s) ×ˢ ({q₀.snd} + V) ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] q₀
p : P
x : G
hpx : p ∈ w ∩ s ∧ x ∈ {q₀.snd} + V
a : G
⊢ tsupport (g (p, x).fst) ⊆ k
[PROOFSTEP]
exact B p hpx.1.2
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
have I3 : Integrable bound μ := by
  rw [integrable_indicator_iff U_open.measurableSet]
  exact (hU.norm.const_mul _).mul_const _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
⊢ Integrable bound
[PROOFSTEP]
rw [integrable_indicator_iff U_open.measurableSet]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
⊢ IntegrableOn (fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C) U
[PROOFSTEP]
exact (hU.norm.const_mul _).mul_const _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
have I4 : ∀ᵐ a : G ∂μ, ContinuousWithinAt (fun q : P × G => L (f a) (g q.1 (q.2 - a))) (s ×ˢ univ) q₀ :=
  by
  refine eventually_of_forall fun a => ?_
  suffices H : ContinuousWithinAt (fun q : P × G => (f a, g q.1 (q.2 - a))) (s ×ˢ univ) q₀
  exact L.continuous₂.continuousAt.comp_continuousWithinAt H
  apply continuousWithinAt_const.prod
  change ContinuousWithinAt (fun q : P × G => (↿g) (q.1, q.2 - a)) (s ×ˢ univ) q₀
  have : ContinuousAt (fun q : P × G => (q.1, q.2 - a)) (q₀.1, q₀.2) :=
    (continuous_fst.prod_mk (continuous_snd.sub continuous_const)).continuousAt
  rw [← @Prod.mk.eta _ _ q₀]
  have h'q₀ : (q₀.1, q₀.2 - a) ∈ (s ×ˢ univ : Set (P × G)) := ⟨hq₀, mem_univ _⟩
  refine' ContinuousWithinAt.comp (hg _ h'q₀) this.continuousWithinAt _
  rintro ⟨q, x⟩ ⟨hq, -⟩
  exact ⟨hq, mem_univ _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun q => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
refine eventually_of_forall fun a => ?_
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
suffices H : ContinuousWithinAt (fun q : P × G => (f a, g q.1 (q.2 - a))) (s ×ˢ univ) q₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
H : ContinuousWithinAt (fun q => (f a, g q.fst (q.snd - a))) (s ×ˢ univ) q₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) (s ×ˢ univ) q₀
case H
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (f a, g q.fst (q.snd - a))) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
exact L.continuous₂.continuousAt.comp_continuousWithinAt H
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (f a, g q.fst (q.snd - a))) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
apply continuousWithinAt_const.prod
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => g x.fst (x.snd - a)) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
change ContinuousWithinAt (fun q : P × G => (↿g) (q.1, q.2 - a)) (s ×ˢ univ) q₀
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (↿g) (q.fst, q.snd - a)) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
have : ContinuousAt (fun q : P × G => (q.1, q.2 - a)) (q₀.1, q₀.2) :=
  (continuous_fst.prod_mk (continuous_snd.sub continuous_const)).continuousAt
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
this : ContinuousAt (fun q => (q.fst, q.snd - a)) (q₀.fst, q₀.snd)
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (↿g) (q.fst, q.snd - a)) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
rw [← @Prod.mk.eta _ _ q₀]
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
this : ContinuousAt (fun q => (q.fst, q.snd - a)) (q₀.fst, q₀.snd)
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (↿g) (q.fst, q.snd - a)) (s ×ˢ univ) (q₀.fst, q₀.snd)
[PROOFSTEP]
have h'q₀ : (q₀.1, q₀.2 - a) ∈ (s ×ˢ univ : Set (P × G)) := ⟨hq₀, mem_univ _⟩
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
this : ContinuousAt (fun q => (q.fst, q.snd - a)) (q₀.fst, q₀.snd)
h'q₀ : (q₀.fst, q₀.snd - a) ∈ s ×ˢ univ
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (↿g) (q.fst, q.snd - a)) (s ×ˢ univ) (q₀.fst, q₀.snd)
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousWithinAt.comp (hg _ h'q₀) this.continuousWithinAt _
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
this : ContinuousAt (fun q => (q.fst, q.snd - a)) (q₀.fst, q₀.snd)
h'q₀ : (q₀.fst, q₀.snd - a) ∈ s ×ˢ univ
⊢ MapsTo (fun q => (q.fst, q.snd - a)) (s ×ˢ univ) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
rintro ⟨q, x⟩ ⟨hq, -⟩
[GOAL]
case H.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
a : G
this : ContinuousAt (fun q => (q.fst, q.snd - a)) (q₀.fst, q₀.snd)
h'q₀ : (q₀.fst, q₀.snd - a) ∈ s ×ˢ univ
q : P
x : G
hq : (q, x).fst ∈ s
⊢ (fun q => (q.fst, q.snd - a)) (q, x) ∈ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
exact ⟨hq, mem_univ _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
B : ∀ (p : P), p ∈ s → tsupport (g p) ⊆ k
w : Set P
C : ℝ
w_open : IsOpen w
q₀w : q₀.fst ∈ w
hw : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ w ∩ s → ‖g p x‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
bound : G → ℝ := indicator U fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * C
I2 : ∀ᶠ (q : P × G) in 𝓝[s ×ˢ univ] q₀, ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))‖ ≤ bound a
I3 : Integrable bound
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun q => ↑(↑L (f a)) (g q.fst (q.snd - a))) (s ×ˢ univ) q₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) q₀
[PROOFSTEP]
exact continuousWithinAt_of_dominated I1 I2 I3 I4
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
s : Set P
v : P → G
hv : ContinuousOn v s
g : P → G → E'
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContinuousOn (fun x => f ⋆[L, v x] g x) s
[PROOFSTEP]
apply (continuousOn_convolution_right_with_param' L hk h'k hgs hf hg).comp (continuousOn_id.prod hv)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
s : Set P
v : P → G
hv : ContinuousOn v s
g : P → G → E'
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ MapsTo (fun x => (_root_.id x, v x)) s (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
s : Set P
v : P → G
hv : ContinuousOn v s
g : P → G → E'
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
x : P
hx : x ∈ s
⊢ (fun x => (_root_.id x, v x)) x ∈ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simp only [hx, prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_self_iff, id.def]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
⊢ Continuous (convolution f g L)
[PROOFSTEP]
rw [continuous_iff_continuousOn_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
⊢ ContinuousOn (convolution f g L) univ
[PROOFSTEP]
let g' : G → G → E' := fun _ q => g q
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
g' : G → G → E' := fun x q => g q
⊢ ContinuousOn (convolution f g L) univ
[PROOFSTEP]
have : ContinuousOn (↿g') (univ ×ˢ univ) := (hg.comp continuous_snd).continuousOn
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : FirstCountableTopology G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : FirstCountableTopology P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : Continuous g
g' : G → G → E' := fun x q => g q
this : ContinuousOn (↿g') (univ ×ˢ univ)
⊢ ContinuousOn (convolution f g L) univ
[PROOFSTEP]
exact
  continuousOn_convolution_right_with_param_comp' L (continuous_iff_continuousOn_univ.1 continuous_id) hcg
    (isClosed_tsupport _) (fun p x _ hx => image_eq_zero_of_nmem_tsupport hx) hf this
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : AddGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : FirstCountableTopology G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology P
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f
hg : Continuous g
⊢ Continuous (convolution f g L)
[PROOFSTEP]
refine' continuous_iff_continuousAt.mpr fun x₀ => _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : AddGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : FirstCountableTopology G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology P
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ ContinuousAt (convolution f g L) x₀
[PROOFSTEP]
have : ∀ᶠ x in 𝓝 x₀, ∀ᵐ t : G ∂μ, ‖L (f t) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖ :=
  by
  refine' eventually_of_forall fun x => eventually_of_forall fun t => _
  apply_rules [L.le_of_op_norm₂_le_of_le, le_rfl, le_ciSup hbg (x - t)]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : AddGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : FirstCountableTopology G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology P
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : G), ‖g i‖
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_forall fun x => eventually_of_forall fun t => _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : AddGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : FirstCountableTopology G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology P
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f
hg : Continuous g
x₀ x t : G
⊢ ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : G), ‖g i‖
[PROOFSTEP]
apply_rules [L.le_of_op_norm₂_le_of_le, le_rfl, le_ciSup hbg (x - t)]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : AddGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : FirstCountableTopology G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology P
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : G), ‖g i‖
⊢ ContinuousAt (convolution f g L) x₀
[PROOFSTEP]
refine' continuousAt_of_dominated _ this _ _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : AddGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : FirstCountableTopology G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology P
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : G), ‖g i‖
⊢ ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g (x - a))) μ
[PROOFSTEP]
exact eventually_of_forall fun x => hf.aestronglyMeasurable.convolution_integrand_snd' L hg.aestronglyMeasurable
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : AddGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : FirstCountableTopology G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology P
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : G), ‖g i‖
⊢ Integrable fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * ⨆ (i : G), ‖g i‖
[PROOFSTEP]
exact (hf.norm.const_mul _).mul_const _
[GOAL]
case refine'_3
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : AddGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : FirstCountableTopology G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology P
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖↑(↑L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : G), ‖g i‖
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ContinuousAt (fun x => ↑(↑L (f a)) (g (x - a))) x₀
[PROOFSTEP]
exact
  eventually_of_forall fun t =>
    (L.continuous₂.comp₂ continuous_const <| hg.comp <| continuous_id.sub continuous_const).continuousAt
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
⊢ convolution g f (ContinuousLinearMap.flip L) = convolution f g L
[PROOFSTEP]
ext1 x
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
x : G
⊢ g ⋆[ContinuousLinearMap.flip L, x] f = f ⋆[L, x] g
[PROOFSTEP]
simp_rw [convolution_def]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
x : G
⊢ ∫ (t : G), ↑(↑(ContinuousLinearMap.flip L) (g t)) (f (x - t)) ∂μ = ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← integral_sub_left_eq_self _ μ x]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
x : G
⊢ ∫ (x_1 : G), ↑(↑(ContinuousLinearMap.flip L) (g (x - x_1))) (f (x - (x - x_1))) ∂μ =
    ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [sub_sub_self, flip_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
⊢ f ⋆[L, x] g = ∫ (t : G), ↑(↑L (f (x - t))) (g t) ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← convolution_flip]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
⊢ g ⋆[ContinuousLinearMap.flip L, x] f = ∫ (t : G), ↑(↑L (f (x - t))) (g t) ∂μ
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g (-x - t)) ∂μ = ∫ (t : G), ↑(↑L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ
[PROOFSTEP]
apply integral_congr_ae
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ (fun a => ↑(↑L (f a)) (g (-x - a))) =ᶠ[ae μ] fun a => ↑(↑L (f (-a))) (g (x + a))
[PROOFSTEP]
filter_upwards [h1, (eventually_add_left_iff μ x).2 h2] with t ht h't
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
t : G
ht : f (-t) = f t
h't : g (-(x + t)) = g (x + t)
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (-x - t)) = ↑(↑L (f (-t))) (g (x + t))
[PROOFSTEP]
simp_rw [ht, ← h't, neg_add']
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ ∫ (t : G), ↑(↑L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ = ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← integral_neg_eq_self]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝² : IsNegInvariant μ
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ ∫ (x_1 : G), ↑(↑L (f (- -x_1))) (g (x + -x_1)) ∂μ = ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [neg_neg, ← sub_eq_add_neg]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddCommGroup G
inst✝⁵ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝⁴ : IsNegInvariant μ
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : FirstCountableTopology G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
hg : LocallyIntegrable g
⊢ Continuous (convolution f g L)
[PROOFSTEP]
rw [← convolution_flip]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddCommGroup G
inst✝⁵ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝⁴ : IsNegInvariant μ
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : FirstCountableTopology G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
hg : LocallyIntegrable g
⊢ Continuous (convolution g f (ContinuousLinearMap.flip L))
[PROOFSTEP]
exact hcf.continuous_convolution_right L.flip hg hf
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddCommGroup G
inst✝⁵ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝⁴ : IsNegInvariant μ
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbf : BddAbove (range fun x => ‖f x‖)
hf : Continuous f
hg : Integrable g
⊢ Continuous (convolution f g L)
[PROOFSTEP]
rw [← convolution_flip]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : AddCommGroup G
inst✝⁵ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝⁴ : IsNegInvariant μ
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : SecondCountableTopology G
hbf : BddAbove (range fun x => ‖f x‖)
hf : Continuous f
hg : Integrable g
⊢ Continuous (convolution g f (ContinuousLinearMap.flip L))
[PROOFSTEP]
exact hbf.continuous_convolution_right_of_integrable L.flip hg hf
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → g x = g x₀
⊢ f ⋆[L, x₀] g = ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g x₀) ∂μ
[PROOFSTEP]
have h2 : ∀ t, L (f t) (g (x₀ - t)) = L (f t) (g x₀) := fun t ↦
  by
  by_cases ht : t ∈ support f
  · have h2t := hf ht
    rw [mem_ball_zero_iff] at h2t
    specialize hg (x₀ - t)
    rw [sub_eq_add_neg, add_mem_ball_iff_norm, norm_neg, ← sub_eq_add_neg] at hg
    rw [hg h2t]
  · rw [nmem_support] at ht
    simp_rw [ht, L.map_zero₂]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → g x = g x₀
t : G
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) = ↑(↑L (f t)) (g x₀)
[PROOFSTEP]
by_cases ht : t ∈ support f
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → g x = g x₀
t : G
ht : t ∈ support f
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) = ↑(↑L (f t)) (g x₀)
[PROOFSTEP]
have h2t := hf ht
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → g x = g x₀
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : t ∈ ball 0 R
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) = ↑(↑L (f t)) (g x₀)
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball_zero_iff] at h2t
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → g x = g x₀
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) = ↑(↑L (f t)) (g x₀)
[PROOFSTEP]
specialize hg (x₀ - t)
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
hg : x₀ - t ∈ ball x₀ R → g (x₀ - t) = g x₀
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) = ↑(↑L (f t)) (g x₀)
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, add_mem_ball_iff_norm, norm_neg, ← sub_eq_add_neg] at hg
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
hg : ‖t‖ < R → g (x₀ - t) = g x₀
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) = ↑(↑L (f t)) (g x₀)
[PROOFSTEP]
rw [hg h2t]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → g x = g x₀
t : G
ht : ¬t ∈ support f
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) = ↑(↑L (f t)) (g x₀)
[PROOFSTEP]
rw [nmem_support] at ht
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → g x = g x₀
t : G
ht : f t = 0
⊢ ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) = ↑(↑L (f t)) (g x₀)
[PROOFSTEP]
simp_rw [ht, L.map_zero₂]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → g x = g x₀
h2 : ∀ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) = ↑(↑L (f t)) (g x₀)
⊢ f ⋆[L, x₀] g = ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g x₀) ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [convolution_def, h2]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ dist (f ⋆[L, x₀] g) (∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) z₀ ∂μ) ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
[PROOFSTEP]
have hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ :=
  by
  refine' BddAbove.convolutionExistsAt L _ Metric.isOpen_ball.measurableSet (Subset.trans _ hf) hif.integrableOn hmg
  swap; · refine' fun t => mt fun ht : f t = 0 => _; simp_rw [ht, L.map_zero₂]
  rw [bddAbove_def]
  refine' ⟨‖z₀‖ + ε, _⟩
  rintro _ ⟨x, hx, rfl⟩
  refine' norm_le_norm_add_const_of_dist_le (hg x _)
  rwa [mem_ball_iff_norm, norm_sub_rev, ← mem_ball_zero_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L
[PROOFSTEP]
refine' BddAbove.convolutionExistsAt L _ Metric.isOpen_ball.measurableSet (Subset.trans _ hf) hif.integrableOn hmg
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' ball 0 R))
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support f
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ (support fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support f
[PROOFSTEP]
refine' fun t => mt fun ht : f t = 0 => _
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
t : G
ht : f t = 0
⊢ (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) t = 0
[PROOFSTEP]
simp_rw [ht, L.map_zero₂]
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' ball 0 R))
[PROOFSTEP]
rw [bddAbove_def]
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ (fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' ball 0 R) → y ≤ x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨‖z₀‖ + ε, _⟩
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ ∀ (y : ℝ), y ∈ (fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' ball 0 R) → y ≤ ‖z₀‖ + ε
[PROOFSTEP]
rintro _ ⟨x, hx, rfl⟩
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
x : G
hx : x ∈ (fun t => x₀ - t) ⁻¹' ball 0 R
⊢ (fun i => ‖g i‖) x ≤ ‖z₀‖ + ε
[PROOFSTEP]
refine' norm_le_norm_add_const_of_dist_le (hg x _)
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
x : G
hx : x ∈ (fun t => x₀ - t) ⁻¹' ball 0 R
⊢ x ∈ ball x₀ R
[PROOFSTEP]
rwa [mem_ball_iff_norm, norm_sub_rev, ← mem_ball_zero_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
⊢ dist (f ⋆[L, x₀] g) (∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) z₀ ∂μ) ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
[PROOFSTEP]
have h2 : ∀ t, dist (L (f t) (g (x₀ - t))) (L (f t) z₀) ≤ ‖L (f t)‖ * ε :=
  by
  intro t; by_cases ht : t ∈ support f
  · have h2t := hf ht
    rw [mem_ball_zero_iff] at h2t
    specialize hg (x₀ - t)
    rw [sub_eq_add_neg, add_mem_ball_iff_norm, norm_neg, ← sub_eq_add_neg] at hg
    refine' ((L (f t)).dist_le_op_norm _ _).trans _
    exact mul_le_mul_of_nonneg_left (hg h2t) (norm_nonneg _)
  · rw [nmem_support] at ht
    simp_rw [ht, L.map_zero₂, L.map_zero, norm_zero, zero_mul, dist_self]
    rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
⊢ ∀ (t : G), dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
intro t
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
⊢ dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
by_cases ht : t ∈ support f
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
ht : t ∈ support f
⊢ dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
have h2t := hf ht
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : t ∈ ball 0 R
⊢ dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball_zero_iff] at h2t
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
⊢ dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
specialize hg (x₀ - t)
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
hg : x₀ - t ∈ ball x₀ R → dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ε
⊢ dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, add_mem_ball_iff_norm, norm_neg, ← sub_eq_add_neg] at hg
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
hg : ‖t‖ < R → dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ε
⊢ dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
refine' ((L (f t)).dist_le_op_norm _ _).trans _
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
hg : ‖t‖ < R → dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ε
⊢ ‖↑L (f t)‖ * dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
exact mul_le_mul_of_nonneg_left (hg h2t) (norm_nonneg _)
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
ht : ¬t ∈ support f
⊢ dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
rw [nmem_support] at ht
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
ht : f t = 0
⊢ dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
[PROOFSTEP]
simp_rw [ht, L.map_zero₂, L.map_zero, norm_zero, zero_mul, dist_self]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
t : G
ht : f t = 0
⊢ 0 ≤ 0
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ dist (f ⋆[L, x₀] g) (∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) z₀ ∂μ) ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
[PROOFSTEP]
simp_rw [convolution_def]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), dist (↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))) (↑(↑L (f t)) z₀) ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ dist (∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) ∂μ) (∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) z₀ ∂μ) ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
[PROOFSTEP]
simp_rw [dist_eq_norm] at h2 ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ ‖∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) ∂μ - ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) z₀ ∂μ‖ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
[PROOFSTEP]
rw [← integral_sub hfg.integrable]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ ‖∫ (a : G), ↑(↑L (f a)) (g (x₀ - a)) - ↑(↑L (f a)) z₀ ∂μ‖ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ Integrable fun t => ↑(↑L (f t)) z₀
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ Integrable fun t => ↑(↑L (f t)) z₀
[PROOFSTEP]
exact (L.flip z₀).integrable_comp hif
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ ‖∫ (a : G), ↑(↑L (f a)) (g (x₀ - a)) - ↑(↑L (f a)) z₀ ∂μ‖ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
[PROOFSTEP]
refine' (norm_integral_le_of_norm_le ((L.integrable_comp hif).norm.mul_const ε) (eventually_of_forall h2)).trans _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ ∫ (x : G), ‖↑L (f x)‖ * ε ∂μ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
[PROOFSTEP]
rw [integral_mul_right]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ (∫ (a : G), ‖↑L (f a)‖ ∂μ) * ε ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
[PROOFSTEP]
refine' mul_le_mul_of_nonneg_right _ hε
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ ∫ (a : G), ‖↑L (f a)‖ ∂μ ≤ ‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
have h3 : ∀ t, ‖L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ := by
  intro t
  exact L.le_op_norm (f t)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
⊢ ∀ (t : G), ‖↑L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖
[PROOFSTEP]
intro t
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
t : G
⊢ ‖↑L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖
[PROOFSTEP]
exact L.le_op_norm (f t)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
h3 : ∀ (t : G), ‖↑L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖
⊢ ∫ (a : G), ‖↑L (f a)‖ ∂μ ≤ ‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' (integral_mono (L.integrable_comp hif).norm (hif.norm.const_mul _) h3).trans_eq _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L
h2 : ∀ (t : G), ‖↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t)) - ↑(↑L (f t)) z₀‖ ≤ ‖↑L (f t)‖ * ε
h3 : ∀ (t : G), ‖↑L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖
⊢ ∫ (a : G), ‖L‖ * ‖f a‖ ∂μ = ‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [integral_mul_left]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ dist (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x₀] g) z₀ ≤ ε
[PROOFSTEP]
have hif : Integrable f μ := integrable_of_integral_eq_one hintf
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f
⊢ dist (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, x₀] g) z₀ ≤ ε
[PROOFSTEP]
convert (dist_convolution_le' (lsmul ℝ ℝ) hε hif hf hmg hg).trans _
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_4
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f
⊢ z₀ = ∫ (t : G), ↑(↑(lsmul ℝ ℝ) (f t)) z₀ ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [lsmul_apply, integral_smul_const, hintf, one_smul]
[GOAL]
case convert_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f
⊢ (‖lsmul ℝ ℝ‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε ≤ ε
[PROOFSTEP]
simp_rw [Real.norm_of_nonneg (hnf _), hintf, mul_one]
[GOAL]
case convert_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ R → dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f
⊢ ‖lsmul ℝ ℝ‖ * ε ≤ ε
[PROOFSTEP]
exact (mul_le_mul_of_nonneg_right op_norm_lsmul_le hε).trans_eq (one_mul ε)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hφ : Tendsto (fun n => support (φ n)) l (smallSets (𝓝 0))
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hcg : Tendsto (uncurry g) (l ×ˢ 𝓝 x₀) (𝓝 z₀)
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
⊢ Tendsto (fun i => φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, k i] g i) l (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
simp_rw [tendsto_smallSets_iff] at hφ
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hcg : Tendsto (uncurry g) (l ×ˢ 𝓝 x₀) (𝓝 z₀)
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
⊢ Tendsto (fun i => φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, k i] g i) l (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
rw [Metric.tendsto_nhds] at hcg ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hcg : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ι × G) in l ×ˢ 𝓝 x₀, dist (uncurry g x) z₀ < ε
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
⊢ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, k x] g x) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
simp_rw [Metric.eventually_prod_nhds_iff] at hcg
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
⊢ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, k x] g x) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
intro ε hε
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, k x] g x) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
have h2ε : 0 < ε / 3 := div_pos hε (by norm_num)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ 0 < 3
[PROOFSTEP]
norm_num
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, k x] g x) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
obtain ⟨p, hp, δ, hδ, hgδ⟩ := hcg _ h2ε
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε / 3
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, k x] g x) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
dsimp only [uncurry] at hgδ
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, k x] g x) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
have h2k := hk.eventually (ball_mem_nhds x₀ <| half_pos hδ)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, k x] g x) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
have h2φ := hφ (ball (0 : G) _) <| ball_mem_nhds _ (half_pos hδ)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, k x] g x) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hp, h2k, h2φ, hnφ, hiφ, hmg] with i hpi hki hφi hnφi hiφi hmgi
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
⊢ dist (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, k i] g i) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
have hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3 := hgδ hpi (hki.trans <| half_lt_self hδ)
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
⊢ dist (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, k i] g i) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
have h1 : ∀ x' ∈ ball (k i) (δ / 2), dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3 :=
  by
  intro x' hx'
  refine' (dist_triangle_right _ _ _).trans (add_le_add (hgδ hpi _).le hgi.le)
  exact ((dist_triangle _ _ _).trans_lt (add_lt_add hx'.out hki)).trans_eq (add_halves δ)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
⊢ ∀ (x' : G), x' ∈ ball (k i) (δ / 2) → dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
[PROOFSTEP]
intro x' hx'
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x'✝ : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
x' : G
hx' : x' ∈ ball (k i) (δ / 2)
⊢ dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
[PROOFSTEP]
refine' (dist_triangle_right _ _ _).trans (add_le_add (hgδ hpi _).le hgi.le)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x'✝ : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
x' : G
hx' : x' ∈ ball (k i) (δ / 2)
⊢ dist x' x₀ < δ
[PROOFSTEP]
exact ((dist_triangle _ _ _).trans_lt (add_lt_add hx'.out hki)).trans_eq (add_halves δ)
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
h1 : ∀ (x' : G), x' ∈ ball (k i) (δ / 2) → dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
⊢ dist (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, k i] g i) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
have := dist_convolution_le (add_pos h2ε h2ε).le hφi hnφi hiφi hmgi h1
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
h1 : ∀ (x' : G), x' ∈ ball (k i) (δ / 2) → dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
this : dist (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, k i] g i) (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
⊢ dist (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, k i] g i) z₀ < ε
[PROOFSTEP]
refine' ((dist_triangle _ _ _).trans_lt (add_lt_add_of_le_of_lt this hgi)).trans_eq _
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
h1 : ∀ (x' : G), x' ∈ ball (k i) (δ / 2) → dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
this : dist (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, k i] g i) (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
⊢ ε / 3 + ε / 3 + ε / 3 = ε
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ (t : Set G), t ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg :
  ∀ (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ pa,
        (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧
          ∃ ε_1, ε_1 > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
h1 : ∀ (x' : G), x' ∈ ball (k i) (δ / 2) → dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
this : dist (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, k i] g i) (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
⊢ ε + ε + ε = ε * 3
[PROOFSTEP]
ring_nf
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SigmaFinite μ
inst✝⁷ : SigmaFinite ν
inst✝⁶ : IsAddRightInvariant μ
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f
hg : Integrable g
⊢ ∫ (x : G), f ⋆[L, x] g ∂μ = ↑(↑L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
[PROOFSTEP]
refine' (integral_integral_swap (by apply hf.convolution_integrand L hg)).trans _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SigmaFinite μ
inst✝⁷ : SigmaFinite ν
inst✝⁶ : IsAddRightInvariant μ
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f
hg : Integrable g
⊢ Integrable (uncurry fun x t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t)))
[PROOFSTEP]
apply hf.convolution_integrand L hg
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SigmaFinite μ
inst✝⁷ : SigmaFinite ν
inst✝⁶ : IsAddRightInvariant μ
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f
hg : Integrable g
⊢ ∫ (y : G), ∫ (x : G), ↑(↑L (f y)) (g (x - y)) ∂μ ∂ν = ↑(↑L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
[PROOFSTEP]
simp_rw [integral_comp_comm _ (hg.comp_sub_right _), integral_sub_right_eq_self]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SigmaFinite μ
inst✝⁷ : SigmaFinite ν
inst✝⁶ : IsAddRightInvariant μ
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f
hg : Integrable g
⊢ ∫ (y : G), ↑(↑L (f y)) (∫ (x : G), g x ∂μ) ∂ν = ↑(↑L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
[PROOFSTEP]
exact (L.flip (∫ x, g x ∂μ)).integral_comp_comm hf
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄
hi : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
⊢ ∫ (t : G), ∫ (s : G), ↑(↑L₂ (↑(↑L (f s)) (g (t - s)))) (k (x₀ - t)) ∂ν ∂μ =
    ∫ (t : G), ∫ (s : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g (t - s))) (k (x₀ - t))) ∂ν ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [hL]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄
hi : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
⊢ ∫ (t : G), ∫ (s : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g (t - s))) (k (x₀ - t))) ∂ν ∂μ =
    ∫ (s : G), ∫ (t : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g (t - s))) (k (x₀ - t))) ∂μ ∂ν
[PROOFSTEP]
rw [integral_integral_swap hi]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄
hi : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
⊢ ∫ (s : G), ∫ (t : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g (t - s))) (k (x₀ - t))) ∂μ ∂ν =
    ∫ (s : G), ∫ (u : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ ∂ν
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case e_f
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄
hi : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
⊢ (fun s => ∫ (t : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g (t - s))) (k (x₀ - t))) ∂μ) = fun s =>
    ∫ (u : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ
[PROOFSTEP]
ext t
[GOAL]
case e_f.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄
hi : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
t : G
⊢ ∫ (t_1 : G), ↑(↑L₃ (f t)) (↑(↑L₄ (g (t_1 - t))) (k (x₀ - t_1))) ∂μ =
    ∫ (u : G), ↑(↑L₃ (f t)) (↑(↑L₄ (g u)) (k (x₀ - t - u))) ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [eq_comm, ← integral_sub_right_eq_self _ t]
[GOAL]
case e_f.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄
hi : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
t : G
⊢ ∫ (x : G), ↑(↑L₃ (f t)) (↑(↑L₄ (g (x - t))) (k (x₀ - t - (x - t)))) ∂μ =
    ∫ (t_1 : G), ↑(↑L₃ (f t)) (↑(↑L₄ (g (t_1 - t))) (k (x₀ - t_1))) ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [sub_sub_sub_cancel_right]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄
hi : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
⊢ ∫ (s : G), ∫ (u : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ ∂ν =
    ∫ (s : G), ↑(↑L₃ (f s)) (∫ (u : G), ↑(↑L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u)) ∂μ) ∂ν
[PROOFSTEP]
refine' integral_congr_ae _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄
hi : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
⊢ (fun s => ∫ (u : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ) =ᶠ[ae ν] fun s =>
    ↑(↑L₃ (f s)) (∫ (u : G), ↑(↑L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u)) ∂μ)
[PROOFSTEP]
refine' ((quasiMeasurePreserving_sub_left_of_right_invariant ν x₀).ae hgk).mono fun t ht => _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄
hi : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
t : G
ht : ConvolutionExistsAt g k (x₀ - t) L₄
⊢ (fun s => ∫ (u : G), ↑(↑L₃ (f s)) (↑(↑L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ) t =
    (fun s => ↑(↑L₃ (f s)) (∫ (u : G), ↑(↑L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u)) ∂μ)) t
[PROOFSTEP]
exact (L₃ (f t)).integral_comp_comm ht
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
⊢ convolution f g L ⋆[L₂, x₀] k = f ⋆[L₃, x₀] convolution g k L₄
[PROOFSTEP]
refine'
  convolution_assoc' L L₂ L₃ L₄ hL hfg (hgk.mono fun x hx => hx.ofNorm L₄ hg hk)
    _
      -- the following is similar to `integrable.convolution_integrand`
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
⊢ Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
[PROOFSTEP]
have h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => L₃ (f y) (L₄ (g x) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν) :=
  by
  refine' L₃.aestronglyMeasurable_comp₂ hf.snd _
  refine' L₄.aestronglyMeasurable_comp₂ hg.fst _
  refine' (hk.mono' _).comp_measurable ((measurable_const.sub measurable_snd).sub measurable_fst)
  refine' QuasiMeasurePreserving.absolutelyContinuous _
  refine'
    QuasiMeasurePreserving.prod_of_left ((measurable_const.sub measurable_snd).sub measurable_fst)
      (eventually_of_forall fun y => _)
  dsimp only
  exact quasiMeasurePreserving_sub_left_of_right_invariant μ _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
⊢ AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
[PROOFSTEP]
refine' L₃.aestronglyMeasurable_comp₂ hf.snd _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(↑L₄ (g x.fst)) (k (x₀ - x.snd - x.fst))) (Measure.prod μ ν)
[PROOFSTEP]
refine' L₄.aestronglyMeasurable_comp₂ hg.fst _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => k (x₀ - x.snd - x.fst)) (Measure.prod μ ν)
[PROOFSTEP]
refine' (hk.mono' _).comp_measurable ((measurable_const.sub measurable_snd).sub measurable_fst)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
⊢ Measure.map (fun x => x₀ - x.snd - x.fst) (Measure.prod μ ν) ≪ μ
[PROOFSTEP]
refine' QuasiMeasurePreserving.absolutelyContinuous _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
⊢ QuasiMeasurePreserving fun x => x₀ - x.snd - x.fst
[PROOFSTEP]
refine'
  QuasiMeasurePreserving.prod_of_left ((measurable_const.sub measurable_snd).sub measurable_fst)
    (eventually_of_forall fun y => _)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y✝ y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
y : G
⊢ QuasiMeasurePreserving fun x => x₀ - (x, y).snd - (x, y).fst
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y✝ y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
y : G
⊢ QuasiMeasurePreserving fun x => x₀ - y - x
[PROOFSTEP]
exact quasiMeasurePreserving_sub_left_of_right_invariant μ _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
⊢ Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
[PROOFSTEP]
have h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ x, ‖L₃ (f y) (L₄ (g x) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν :=
  h_meas.prod_swap.norm.integral_prod_right'
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
⊢ Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
[PROOFSTEP]
have h3 : map (fun z : G × G => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν := (measurePreserving_sub_prod μ ν).map_eq
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
⊢ Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
[PROOFSTEP]
suffices Integrable (uncurry fun x y => L₃ (f y) (L₄ (g x) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
  by
  rw [← h3] at this
  convert this.comp_measurable (measurable_sub.prod_mk measurable_snd)
  ext ⟨x, y⟩
  simp_rw [uncurry, Function.comp_apply, sub_sub_sub_cancel_right]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
this : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x))))
⊢ Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
[PROOFSTEP]
rw [← h3] at this
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
this : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x))))
⊢ Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x))))
[PROOFSTEP]
convert this.comp_measurable (measurable_sub.prod_mk measurable_snd)
[GOAL]
case h.e'_5
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
this : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x))))
⊢ (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) =
    (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) ∘ fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)
[PROOFSTEP]
ext ⟨x, y⟩
[GOAL]
case h.e'_5.h.mk
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y✝ y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
this : Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x))))
x y : G
⊢ uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (x, y) =
    ((uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) ∘ fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (x, y)
[PROOFSTEP]
simp_rw [uncurry, Function.comp_apply, sub_sub_sub_cancel_right]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
⊢ Integrable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x))))
[PROOFSTEP]
simp_rw [integrable_prod_iff' h_meas]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
⊢ (∀ᵐ (y : G) ∂ν, Integrable fun x => uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, y)) ∧
    Integrable fun y => ∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, y)‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨((quasiMeasurePreserving_sub_left_of_right_invariant ν x₀).ae hgk).mono fun t ht =>
      (L₃ (f t)).integrable_comp <| ht.ofNorm L₄ hg hk,
    _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
⊢ Integrable fun y => ∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, y)‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine'
  (hfgk.const_mul (‖L₃‖ * ‖L₄‖)).mono' h2_meas
    (((quasiMeasurePreserving_sub_left_of_right_invariant ν x₀).ae hgk).mono fun t ht => _)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ)
⊢ ‖∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ‖ ≤
    ‖L₃‖ * ‖L₄‖ * ↑(↑(mul ℝ ℝ) ((fun x => ‖f x‖) t)) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, (x₀ - t)] fun x => ‖k x‖)
[PROOFSTEP]
simp_rw [convolution_def, mul_apply', mul_mul_mul_comm ‖L₃‖ ‖L₄‖, ← integral_mul_left]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ)
⊢ ‖∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ‖ ≤
    ∫ (a : G), ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * (‖g a‖ * ‖k (x₀ - t - a)‖)) ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [Real.norm_of_nonneg]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ)
⊢ ∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ ≤
    ∫ (a : G), ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * (‖g a‖ * ‖k (x₀ - t - a)‖)) ∂μ
[PROOFSTEP]
refine'
  integral_mono_of_nonneg (eventually_of_forall fun t => norm_nonneg _) ((ht.const_mul _).const_mul _)
    (eventually_of_forall fun s => _)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ)
s : G
⊢ (fun x => ‖uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖) s ≤
    (fun a => ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * (‖g a‖ * ‖k (x₀ - t - a)‖))) s
[PROOFSTEP]
simp only [← mul_assoc ‖L₄‖]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ)
s : G
⊢ ‖uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (s, t)‖ ≤
    ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * ‖g s‖ * ‖k (x₀ - t - s)‖)
[PROOFSTEP]
apply_rules [ContinuousLinearMap.le_of_op_norm₂_le_of_le, le_rfl]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : IsROrC 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SigmaFinite μ
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : IsAddRightInvariant μ
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : IsAddRightInvariant ν
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), ↑(↑L₂ (↑(↑L x) y)) z = ↑(↑L₃ x) (↑(↑L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ)
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (mul ℝ ℝ)) x₀ (mul ℝ ℝ)
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (Measure.prod μ ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.fst - z.snd, z.snd)) (Measure.prod μ ν) = Measure.prod μ ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ)
⊢ 0 ≤ ∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => ↑(↑L₃ (f y)) (↑(↑L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
exact integral_nonneg fun x => norm_nonneg _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
⊢ ↑(f ⋆[precompR E'' L, x₀] g) x = f ⋆[L, x₀] fun a => ↑(g a) x
[PROOFSTEP]
have := hcg.convolutionExists_right (L.precompR E'' : _) hf hg x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
this : ConvolutionExistsAt f g x₀ (precompR E'' L)
⊢ ↑(f ⋆[precompR E'' L, x₀] g) x = f ⋆[L, x₀] fun a => ↑(g a) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [convolution_def, ContinuousLinearMap.integral_apply this]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
this : ConvolutionExistsAt f g x₀ (precompR E'' L)
⊢ ∫ (a : G), ↑(↑(↑(precompR E'' L) (f a)) (g (x₀ - a))) x ∂μ = ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (↑(g (x₀ - t)) x) ∂μ
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (f ⋆[precompR G L, x₀] fderiv 𝕜 g) x₀
[PROOFSTEP]
rcases hcg.eq_zero_or_finiteDimensional 𝕜 hg.continuous with (rfl | fin_dim)
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hf : LocallyIntegrable f
x₀ : G
hcg : HasCompactSupport 0
hg : ContDiff 𝕜 1 0
⊢ HasFDerivAt (convolution f 0 L) (f ⋆[precompR G L, x₀] fderiv 𝕜 0) x₀
[PROOFSTEP]
have : fderiv 𝕜 (0 : G → E') = 0 := fderiv_const (0 : E')
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hf : LocallyIntegrable f
x₀ : G
hcg : HasCompactSupport 0
hg : ContDiff 𝕜 1 0
this : fderiv 𝕜 0 = 0
⊢ HasFDerivAt (convolution f 0 L) (f ⋆[precompR G L, x₀] fderiv 𝕜 0) x₀
[PROOFSTEP]
simp only [this, convolution_zero, Pi.zero_apply]
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hf : LocallyIntegrable f
x₀ : G
hcg : HasCompactSupport 0
hg : ContDiff 𝕜 1 0
this : fderiv 𝕜 0 = 0
⊢ HasFDerivAt 0 0 x₀
[PROOFSTEP]
exact hasFDerivAt_const (0 : F) x₀
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (f ⋆[precompR G L, x₀] fderiv 𝕜 g) x₀
[PROOFSTEP]
have : ProperSpace G := FiniteDimensional.proper_isROrC 𝕜 G
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (f ⋆[precompR G L, x₀] fderiv 𝕜 g) x₀
[PROOFSTEP]
set L' := L.precompR G
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (f ⋆[L', x₀] fderiv 𝕜 g) x₀
[PROOFSTEP]
have h1 : ∀ᶠ x in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => L (f t) (g (x - t))) μ :=
  eventually_of_forall (hf.aestronglyMeasurable.convolution_integrand_snd L hg.continuous.aestronglyMeasurable)
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (f ⋆[L', x₀] fderiv 𝕜 g) x₀
[PROOFSTEP]
have h2 : ∀ x, AEStronglyMeasurable (fun t => L' (f t) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ :=
  hf.aestronglyMeasurable.convolution_integrand_snd L' (hg.continuous_fderiv le_rfl).aestronglyMeasurable
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (f ⋆[L', x₀] fderiv 𝕜 g) x₀
[PROOFSTEP]
have h3 : ∀ x t, HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x := fun x t ↦ by
  simpa using
    (hg.differentiable le_rfl).differentiableAt.hasFDerivAt.comp x ((hasFDerivAt_id x).sub (hasFDerivAt_const t x))
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
x t : G
⊢ HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
[PROOFSTEP]
simpa using
  (hg.differentiable le_rfl).differentiableAt.hasFDerivAt.comp x ((hasFDerivAt_id x).sub (hasFDerivAt_const t x))
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (f ⋆[L', x₀] fderiv 𝕜 g) x₀
[PROOFSTEP]
let K' := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (f ⋆[L', x₀] fderiv 𝕜 g) x₀
[PROOFSTEP]
have hK' : IsCompact K' :=
  (hcg.fderiv 𝕜).neg.add
    (isCompact_closedBall x₀ 1)
      -- porting note: was
        -- `refine' hasFDerivAt_integral_of_dominated_of_fderiv_le zero_lt_one h1 _ (h2 x₀) _ _ _`
        -- but it failed; surprisingly, `apply` works
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (f ⋆[L', x₀] fderiv 𝕜 g) x₀
[PROOFSTEP]
apply hasFDerivAt_integral_of_dominated_of_fderiv_le zero_lt_one h1 _ (h2 x₀)
[GOAL]
case inr.h_bound
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ 1 → ‖↑(↑L' (f a)) (fderiv 𝕜 g (x - a))‖ ≤ ?m.2141475 a
[PROOFSTEP]
refine'
  eventually_of_forall fun t x hx =>
    (hcg.fderiv 𝕜).convolution_integrand_bound_right L' (hg.continuous_fderiv le_rfl) (ball_subset_closedBall hx)
[GOAL]
case inr.bound_integrable
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ Integrable fun t =>
    indicator (-tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1) (fun t => ‖L'‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : G), ‖fderiv 𝕜 g i‖) t
[PROOFSTEP]
rw [integrable_indicator_iff hK'.measurableSet]
[GOAL]
case inr.bound_integrable
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ IntegrableOn (fun t => ‖L'‖ * ‖f t‖ * ⨆ (i : G), ‖fderiv 𝕜 g i‖) K'
[PROOFSTEP]
exact ((hf.integrableOn_isCompact hK').norm.const_mul _).mul_const _
[GOAL]
case inr.h_diff
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ,
    ∀ (x : G), x ∈ ball x₀ 1 → HasFDerivAt (fun x => ↑(↑L (f a)) (g (x - a))) (↑(↑L' (f a)) (fderiv 𝕜 g (x - a))) x
[PROOFSTEP]
exact eventually_of_forall fun t x _ => (L _).hasFDerivAt.comp x (h3 x t)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsAddLeftInvariant μ
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(↑L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ Integrable fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x₀ - t))
[PROOFSTEP]
exact hcg.convolutionExists_right L hf hg.continuous x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : IsROrC 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 1 f
hg : LocallyIntegrable g
x₀ : G
⊢ HasFDerivAt (convolution f g L) (fderiv 𝕜 f ⋆[precompL G L, x₀] g) x₀
[PROOFSTEP]
simp (config := { singlePass := true }) only [← convolution_flip]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : IsROrC 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 1 f
hg : LocallyIntegrable g
x₀ : G
⊢ HasFDerivAt (convolution g f (ContinuousLinearMap.flip L))
    (g ⋆[ContinuousLinearMap.flip (precompL G L), x₀] fderiv 𝕜 f) x₀
[PROOFSTEP]
exact hcf.hasFDerivAt_convolution_right L.flip hg hf x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : IsROrC 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : LocallyIntegrable f₀
hcg : HasCompactSupport g₀
hg : ContDiff 𝕜 1 g₀
x₀ : 𝕜
⊢ HasDerivAt (convolution f₀ g₀ L) (f₀ ⋆[L, x₀] deriv g₀) x₀
[PROOFSTEP]
convert (hcg.hasFDerivAt_convolution_right L hf hg x₀).hasDerivAt using 1
[GOAL]
case h.e'_7
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : IsROrC 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : LocallyIntegrable f₀
hcg : HasCompactSupport g₀
hg : ContDiff 𝕜 1 g₀
x₀ : 𝕜
⊢ f₀ ⋆[L, x₀] deriv g₀ = ↑(f₀ ⋆[precompR 𝕜 L, x₀] fderiv 𝕜 g₀) 1
[PROOFSTEP]
rw [convolution_precompR_apply L hf (hcg.fderiv 𝕜) (hg.continuous_fderiv le_rfl)]
[GOAL]
case h.e'_7
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : IsROrC 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : LocallyIntegrable f₀
hcg : HasCompactSupport g₀
hg : ContDiff 𝕜 1 g₀
x₀ : 𝕜
⊢ f₀ ⋆[L, x₀] deriv g₀ = f₀ ⋆[L, x₀] fun a => ↑(fderiv 𝕜 g₀ a) 1
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
hcf : HasCompactSupport f₀
hf : ContDiff 𝕜 1 f₀
hg : LocallyIntegrable g₀
x₀ : 𝕜
⊢ HasDerivAt (convolution f₀ g₀ L) (deriv f₀ ⋆[L, x₀] g₀) x₀
[PROOFSTEP]
simp (config := { singlePass := true }) only [← convolution_flip]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝² : IsAddLeftInvariant μ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
hcf : HasCompactSupport f₀
hf : ContDiff 𝕜 1 f₀
hg : LocallyIntegrable g₀
x₀ : 𝕜
⊢ HasDerivAt (convolution g₀ f₀ (ContinuousLinearMap.flip L)) (g₀ ⋆[ContinuousLinearMap.flip L, x₀] deriv f₀) x₀
[PROOFSTEP]
exact hcf.hasDerivAt_convolution_right L.flip hg hf x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
let g' := fderiv 𝕜 ↿g
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p) := fun p hp ↦
  by
  refine hg.continuousOn.comp_continuous (continuous_const.prod_mk continuous_id') fun x => ?_
  simpa only [prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true_iff] using hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
p : P
hp : p ∈ s
⊢ Continuous (g p)
[PROOFSTEP]
refine hg.continuousOn.comp_continuous (continuous_const.prod_mk continuous_id') fun x => ?_
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
p : P
hp : p ∈ s
x : G
⊢ (p, x) ∈ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simpa only [prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true_iff] using hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have A' : ∀ q : P × G, q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q := fun q hq ↦
  by
  apply (hs.prod isOpen_univ).mem_nhds
  simpa only [mem_prod, mem_univ, and_true_iff] using hq
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
q : P × G
hq : q.fst ∈ s
⊢ s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
[PROOFSTEP]
apply (hs.prod isOpen_univ).mem_nhds
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
q : P × G
hq : q.fst ∈ s
⊢ q ∈ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simpa only [mem_prod, mem_univ, and_true_iff] using hq
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have g'_zero : ∀ p x, p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0 :=
  by
  intro p x hp hx
  refine' (hasFDerivAt_zero_of_eventually_const 0 _).fderiv
  have M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x := hk.isClosed.isOpen_compl.mem_nhds hx
  have M1 : s ∈ 𝓝 p := hs.mem_nhds hp
  rw [nhds_prod_eq]
  filter_upwards [prod_mem_prod M1 M2]
  rintro ⟨p, y⟩ ⟨hp, hy⟩
  exact hgs p y hp hy
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
⊢ ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
[PROOFSTEP]
intro p x hp hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
⊢ g' (p, x) = 0
[PROOFSTEP]
refine' (hasFDerivAt_zero_of_eventually_const 0 _).fderiv
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
⊢ ↿g =ᶠ[𝓝 (p, x)] fun x => 0
[PROOFSTEP]
have M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x := hk.isClosed.isOpen_compl.mem_nhds hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
⊢ ↿g =ᶠ[𝓝 (p, x)] fun x => 0
[PROOFSTEP]
have M1 : s ∈ 𝓝 p := hs.mem_nhds hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p
⊢ ↿g =ᶠ[𝓝 (p, x)] fun x => 0
[PROOFSTEP]
rw [nhds_prod_eq]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p
⊢ ↿g =ᶠ[𝓝 p ×ˢ 𝓝 x] fun x => 0
[PROOFSTEP]
filter_upwards [prod_mem_prod M1 M2]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p
⊢ ∀ (a : P × G), a ∈ s ×ˢ kᶜ → (↿g) a = 0
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, y⟩ ⟨hp, hy⟩
[GOAL]
case h.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y✝ y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
p✝ : P
x : G
hp✝ : p✝ ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p✝
p : P
y : G
hp : (p, y).fst ∈ s
hy : (p, y).snd ∈ kᶜ
⊢ (↿g) (p, y) = 0
[PROOFSTEP]
exact hgs p y hp hy
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ε, C, εpos, h₀ε, hε⟩ : ∃ ε C, 0 < ε ∧ ball q₀.1 ε ⊆ s ∧ ∀ p x, ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C :=
  by
  have A : IsCompact ({q₀.1} ×ˢ k) := isCompact_singleton.prod hk
  obtain ⟨t, kt, t_open, ht⟩ : ∃ t, {q₀.1} ×ˢ k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Bounded (g' '' t) :=
    by
    have B : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ) := hg.continuousOn_fderiv_of_open (hs.prod isOpen_univ) le_rfl
    apply exists_isOpen_bounded_image_of_isCompact_of_continuousOn A (hs.prod isOpen_univ) _ B
    simp only [prod_subset_prod_iff, hq₀, singleton_subset_iff, subset_univ, and_self_iff, true_or_iff]
  obtain ⟨ε, εpos, hε, h'ε⟩ : ∃ ε : ℝ, 0 < ε ∧ thickening ε ({ q₀.fst } ×ˢ k) ⊆ t ∧ ball q₀.1 ε ⊆ s :=
    by
    obtain ⟨ε, εpos, hε⟩ : ∃ ε : ℝ, 0 < ε ∧ thickening ε (({ q₀.fst } : Set P) ×ˢ k) ⊆ t
    · exact A.exists_thickening_subset_open t_open kt
    obtain ⟨δ, δpos, hδ⟩ : ∃ δ : ℝ, 0 < δ ∧ ball q₀.1 δ ⊆ s
    · exact Metric.isOpen_iff.1 hs _ hq₀
    refine' ⟨min ε δ, lt_min εpos δpos, _, _⟩
    · exact Subset.trans (thickening_mono (min_le_left _ _) _) hε
    · exact Subset.trans (ball_subset_ball (min_le_right _ _)) hδ
  obtain ⟨C, Cpos, hC⟩ : ∃ C, 0 < C ∧ g' '' t ⊆ closedBall 0 C; exact ht.subset_ball_lt 0 0
  refine' ⟨ε, C, εpos, h'ε, fun p x hp => _⟩
  have hps : p ∈ s := h'ε (mem_ball_iff_norm.2 hp)
  by_cases hx : x ∈ k
  · have H : (p, x) ∈ t := by
      apply hε
      refine' mem_thickening_iff.2 ⟨(q₀.1, x), _, _⟩
      · simp only [hx, singleton_prod, mem_image, Prod.mk.inj_iff, eq_self_iff_true, true_and_iff, exists_eq_right]
      · rw [← dist_eq_norm] at hp
        simpa only [Prod.dist_eq, εpos, dist_self, max_lt_iff, and_true_iff] using hp
    have : g' (p, x) ∈ closedBall (0 : P × G →L[𝕜] E') C := hC (mem_image_of_mem _ H)
    rwa [mem_closedBall_zero_iff] at this
  · have : g' (p, x) = 0 := g'_zero _ _ hps hx
    rw [this]
    simpa only [norm_zero] using Cpos.le
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
⊢ ∃ ε C, 0 < ε ∧ ball q₀.fst ε ⊆ s ∧ ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have A : IsCompact ({q₀.1} ×ˢ k) := isCompact_singleton.prod hk
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
⊢ ∃ ε C, 0 < ε ∧ ball q₀.fst ε ⊆ s ∧ ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
obtain ⟨t, kt, t_open, ht⟩ : ∃ t, {q₀.1} ×ˢ k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Bounded (g' '' t) :=
  by
  have B : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ) := hg.continuousOn_fderiv_of_open (hs.prod isOpen_univ) le_rfl
  apply exists_isOpen_bounded_image_of_isCompact_of_continuousOn A (hs.prod isOpen_univ) _ B
  simp only [prod_subset_prod_iff, hq₀, singleton_subset_iff, subset_univ, and_self_iff, true_or_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
⊢ ∃ t, {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Metric.Bounded (g' '' t)
[PROOFSTEP]
have B : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ) := hg.continuousOn_fderiv_of_open (hs.prod isOpen_univ) le_rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
B : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ)
⊢ ∃ t, {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Metric.Bounded (g' '' t)
[PROOFSTEP]
apply exists_isOpen_bounded_image_of_isCompact_of_continuousOn A (hs.prod isOpen_univ) _ B
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
B : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ)
⊢ {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simp only [prod_subset_prod_iff, hq₀, singleton_subset_iff, subset_univ, and_self_iff, true_or_iff]
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
⊢ ∃ ε C, 0 < ε ∧ ball q₀.fst ε ⊆ s ∧ ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ε, εpos, hε, h'ε⟩ : ∃ ε : ℝ, 0 < ε ∧ thickening ε ({ q₀.fst } ×ˢ k) ⊆ t ∧ ball q₀.1 ε ⊆ s :=
  by
  obtain ⟨ε, εpos, hε⟩ : ∃ ε : ℝ, 0 < ε ∧ thickening ε (({ q₀.fst } : Set P) ×ˢ k) ⊆ t
  · exact A.exists_thickening_subset_open t_open kt
  obtain ⟨δ, δpos, hδ⟩ : ∃ δ : ℝ, 0 < δ ∧ ball q₀.1 δ ⊆ s
  · exact Metric.isOpen_iff.1 hs _ hq₀
  refine' ⟨min ε δ, lt_min εpos δpos, _, _⟩
  · exact Subset.trans (thickening_mono (min_le_left _ _) _) hε
  · exact Subset.trans (ball_subset_ball (min_le_right _ _)) hδ
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t ∧ ball q₀.fst ε ⊆ s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ε, εpos, hε⟩ : ∃ ε : ℝ, 0 < ε ∧ thickening ε (({ q₀.fst } : Set P) ×ˢ k) ⊆ t
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
[PROOFSTEP]
exact A.exists_thickening_subset_open t_open kt
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t ∧ ball q₀.fst ε ⊆ s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨δ, δpos, hδ⟩ : ∃ δ : ℝ, 0 < δ ∧ ball q₀.1 δ ⊆ s
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ball q₀.fst δ ⊆ s
[PROOFSTEP]
exact Metric.isOpen_iff.1 hs _ hq₀
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : ball q₀.fst δ ⊆ s
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t ∧ ball q₀.fst ε ⊆ s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨min ε δ, lt_min εpos δpos, _, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : ball q₀.fst δ ⊆ s
⊢ thickening (min ε δ) ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
[PROOFSTEP]
exact Subset.trans (thickening_mono (min_le_left _ _) _) hε
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : ball q₀.fst δ ⊆ s
⊢ ball q₀.fst (min ε δ) ⊆ s
[PROOFSTEP]
exact Subset.trans (ball_subset_ball (min_le_right _ _)) hδ
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
⊢ ∃ ε C, 0 < ε ∧ ball q₀.fst ε ⊆ s ∧ ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
obtain ⟨C, Cpos, hC⟩ : ∃ C, 0 < C ∧ g' '' t ⊆ closedBall 0 C
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ g' '' t ⊆ closedBall 0 C
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
⊢ ∃ ε C, 0 < ε ∧ ball q₀.fst ε ⊆ s ∧ ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
exact ht.subset_ball_lt 0 0
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
⊢ ∃ ε C, 0 < ε ∧ ball q₀.fst ε ⊆ s ∧ ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
refine' ⟨ε, C, εpos, h'ε, fun p x hp => _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
⊢ ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have hps : p ∈ s := h'ε (mem_ball_iff_norm.2 hp)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
⊢ ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x ∈ k
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have H : (p, x) ∈ t := by
  apply hε
  refine' mem_thickening_iff.2 ⟨(q₀.1, x), _, _⟩
  · simp only [hx, singleton_prod, mem_image, Prod.mk.inj_iff, eq_self_iff_true, true_and_iff, exists_eq_right]
  · rw [← dist_eq_norm] at hp
    simpa only [Prod.dist_eq, εpos, dist_self, max_lt_iff, and_true_iff] using hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ (p, x) ∈ t
[PROOFSTEP]
apply hε
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ (p, x) ∈ thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k)
[PROOFSTEP]
refine' mem_thickening_iff.2 ⟨(q₀.1, x), _, _⟩
[GOAL]
case a.refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ (q₀.fst, x) ∈ {q₀.fst} ×ˢ k
[PROOFSTEP]
simp only [hx, singleton_prod, mem_image, Prod.mk.inj_iff, eq_self_iff_true, true_and_iff, exists_eq_right]
[GOAL]
case a.refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ dist (p, x) (q₀.fst, x) < ε
[PROOFSTEP]
rw [← dist_eq_norm] at hp
[GOAL]
case a.refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : dist p q₀.fst < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ dist (p, x) (q₀.fst, x) < ε
[PROOFSTEP]
simpa only [Prod.dist_eq, εpos, dist_self, max_lt_iff, and_true_iff] using hp
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
H : (p, x) ∈ t
⊢ ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have : g' (p, x) ∈ closedBall (0 : P × G →L[𝕜] E') C := hC (mem_image_of_mem _ H)
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
H : (p, x) ∈ t
this : g' (p, x) ∈ closedBall 0 C
⊢ ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rwa [mem_closedBall_zero_iff] at this
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
⊢ ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have : g' (p, x) = 0 := g'_zero _ _ hps hx
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
this : g' (p, x) = 0
⊢ ‖g' (p, x)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.fst} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.fst} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen t
ht : Metric.Bounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.fst} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.fst‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
this : g' (p, x) = 0
⊢ ‖0‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
simpa only [norm_zero] using Cpos.le
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have I1 : ∀ᶠ x : P × G in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a : G => L (f a) (g x.1 (x.2 - a))) μ :=
  by
  filter_upwards [A' q₀ hq₀]
  rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
  refine' (HasCompactSupport.convolutionExists_right L _ hf (A _ hp) _).1
  apply isCompact_of_isClosed_subset hk (isClosed_tsupport _)
  exact closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => hgs _ _ hp hz) hk.isClosed
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
⊢ ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
[PROOFSTEP]
filter_upwards [A' q₀ hq₀]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
⊢ ∀ (a : P × G), a ∈ s ×ˢ univ → AEStronglyMeasurable (fun a_2 => ↑(↑L (f a_2)) (g a.fst (a.snd - a_2))) μ
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
[GOAL]
case h.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).fst ∈ s
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g (p, x).fst ((p, x).snd - a))) μ
[PROOFSTEP]
refine' (HasCompactSupport.convolutionExists_right L _ hf (A _ hp) _).1
[GOAL]
case h.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).fst ∈ s
⊢ HasCompactSupport (g (p, x).fst)
[PROOFSTEP]
apply isCompact_of_isClosed_subset hk (isClosed_tsupport _)
[GOAL]
case h.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).fst ∈ s
⊢ tsupport (g (p, x).fst) ⊆ k
[PROOFSTEP]
exact closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => hgs _ _ hp hz) hk.isClosed
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have I2 : Integrable (fun a : G => L (f a) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ :=
  by
  have M : HasCompactSupport (g q₀.1) := HasCompactSupport.intro hk fun x hx => hgs q₀.1 x hq₀ hx
  apply M.convolutionExists_right L hf (A q₀.1 hq₀) q₀.2
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
⊢ Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
[PROOFSTEP]
have M : HasCompactSupport (g q₀.1) := HasCompactSupport.intro hk fun x hx => hgs q₀.1 x hq₀ hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
M : HasCompactSupport (g q₀.fst)
⊢ Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
[PROOFSTEP]
apply M.convolutionExists_right L hf (A q₀.1 hq₀) q₀.2
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have I3 : AEStronglyMeasurable (fun a : G => (L (f a)).comp (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ :=
  by
  have T : HasCompactSupport fun y => g' (q₀.1, y) := HasCompactSupport.intro hk fun x hx => g'_zero q₀.1 x hq₀ hx
  apply (HasCompactSupport.convolutionExists_right (L.precompR (P × G) : _) T hf _ q₀.2).1
  have : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ) := hg.continuousOn_fderiv_of_open (hs.prod isOpen_univ) le_rfl
  apply this.comp_continuous (continuous_const.prod_mk continuous_id')
  intro x
  simpa only [prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true_iff] using hq₀
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
[PROOFSTEP]
have T : HasCompactSupport fun y => g' (q₀.1, y) := HasCompactSupport.intro hk fun x hx => g'_zero q₀.1 x hq₀ hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
T : HasCompactSupport fun y => g' (q₀.fst, y)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
[PROOFSTEP]
apply (HasCompactSupport.convolutionExists_right (L.precompR (P × G) : _) T hf _ q₀.2).1
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
T : HasCompactSupport fun y => g' (q₀.fst, y)
⊢ Continuous fun y => g' (q₀.fst, y)
[PROOFSTEP]
have : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ) := hg.continuousOn_fderiv_of_open (hs.prod isOpen_univ) le_rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
T : HasCompactSupport fun y => g' (q₀.fst, y)
this : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ)
⊢ Continuous fun y => g' (q₀.fst, y)
[PROOFSTEP]
apply this.comp_continuous (continuous_const.prod_mk continuous_id')
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
T : HasCompactSupport fun y => g' (q₀.fst, y)
this : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ)
⊢ ∀ (x : G), (q₀.fst, x) ∈ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
T : HasCompactSupport fun y => g' (q₀.fst, y)
this : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ)
x : G
⊢ (q₀.fst, x) ∈ s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simpa only [prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true_iff] using hq₀
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
set K' := (-k + {q₀.2} : Set G) with K'_def
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have hK' : IsCompact K' := hk.neg.add isCompact_singleton
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
obtain ⟨U, U_open, K'U, hU⟩ : ∃ U, IsOpen U ∧ K' ⊆ U ∧ IntegrableOn f U μ
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ K' ⊆ U ∧ IntegrableOn f U
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
exact hf.integrableOn_nhds_isCompact hK'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
obtain ⟨δ, δpos, δε, hδ⟩ : ∃ δ, (0 : ℝ) < δ ∧ δ ≤ ε ∧ K' + ball 0 δ ⊆ U :=
  by
  obtain ⟨V, V_mem, hV⟩ : ∃ V ∈ 𝓝 (0 : G), K' + V ⊆ U := compact_open_separated_add_right hK' U_open K'U
  rcases Metric.mem_nhds_iff.1 V_mem with ⟨δ, δpos, hδ⟩
  refine' ⟨min δ ε, lt_min δpos εpos, min_le_right δ ε, _⟩
  exact (add_subset_add_left ((ball_subset_ball (min_le_left _ _)).trans hδ)).trans hV
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ δ ≤ ε ∧ K' + ball 0 δ ⊆ U
[PROOFSTEP]
obtain ⟨V, V_mem, hV⟩ : ∃ V ∈ 𝓝 (0 : G), K' + V ⊆ U := compact_open_separated_add_right hK' U_open K'U
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ δ ≤ ε ∧ K' + ball 0 δ ⊆ U
[PROOFSTEP]
rcases Metric.mem_nhds_iff.1 V_mem with ⟨δ, δpos, hδ⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball 0 δ ⊆ V
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ δ ≤ ε ∧ K' + ball 0 δ ⊆ U
[PROOFSTEP]
refine' ⟨min δ ε, lt_min δpos εpos, min_le_right δ ε, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 0
hV : K' + V ⊆ U
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball 0 δ ⊆ V
⊢ K' + ball 0 (min δ ε) ⊆ U
[PROOFSTEP]
exact (add_subset_add_left ((ball_subset_ball (min_le_left _ _)).trans hδ)).trans hV
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
letI :=
  ContinuousLinearMap.hasOpNorm (𝕜 := 𝕜) (𝕜₂ := 𝕜) (E := E) (F := (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) (σ₁₂ :=
    RingHom.id 𝕜)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
let bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖(L.precompR (P × G))‖ * ‖f t‖ * C
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have I4 : ∀ᵐ a : G ∂μ, ∀ x : P × G, dist x q₀ < δ → ‖L.precompR (P × G) (f a) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a :=
  by
  apply eventually_of_forall
  intro a x hx
  rw [Prod.dist_eq, dist_eq_norm, dist_eq_norm] at hx
  have : (-tsupport fun a => g' (x.1, a)) + ball q₀.2 δ ⊆ U :=
    by
    apply Subset.trans _ hδ
    rw [K'_def, add_assoc]
    apply add_subset_add
    · rw [neg_subset_neg]
      refine closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => ?_) hk.isClosed
      apply g'_zero x.1 z (h₀ε _) hz
      rw [mem_ball_iff_norm]
      exact ((le_max_left _ _).trans_lt hx).trans_le δε
    · simp only [add_ball, thickening_singleton, zero_vadd, subset_rfl]
  apply convolution_integrand_bound_right_of_le_of_subset _ _ _ this
  · intro y
    exact hε _ _ (((le_max_left _ _).trans_lt hx).trans_le δε)
  · rw [mem_ball_iff_norm]
    exact (le_max_right _ _).trans_lt hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
[PROOFSTEP]
apply eventually_of_forall
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
⊢ ∀ (x : G) (x_1 : P × G), dist x_1 q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f x)) (g' (x_1.fst, x_1.snd - x))‖ ≤ bound x
[PROOFSTEP]
intro a x hx
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
⊢ ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
[PROOFSTEP]
rw [Prod.dist_eq, dist_eq_norm, dist_eq_norm] at hx
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
⊢ ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
[PROOFSTEP]
have : (-tsupport fun a => g' (x.1, a)) + ball q₀.2 δ ⊆ U :=
  by
  apply Subset.trans _ hδ
  rw [K'_def, add_assoc]
  apply add_subset_add
  · rw [neg_subset_neg]
    refine closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => ?_) hk.isClosed
    apply g'_zero x.1 z (h₀ε _) hz
    rw [mem_ball_iff_norm]
    exact ((le_max_left _ _).trans_lt hx).trans_le δε
  · simp only [add_ball, thickening_singleton, zero_vadd, subset_rfl]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
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s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
⊢ (-tsupport fun a => g' (x.fst, a)) + ball q₀.snd δ ⊆ U
[PROOFSTEP]
apply Subset.trans _ hδ
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
⊢ (-tsupport fun a => g' (x.fst, a)) + ball q₀.snd δ ⊆ K' + ball 0 δ
[PROOFSTEP]
rw [K'_def, add_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
⊢ (-tsupport fun a => g' (x.fst, a)) + ball q₀.snd δ ⊆ -k + ({q₀.snd} + ball 0 δ)
[PROOFSTEP]
apply add_subset_add
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
⊢ (-tsupport fun a => g' (x.fst, a)) ⊆ -k
[PROOFSTEP]
rw [neg_subset_neg]
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
⊢ (tsupport fun a => g' (x.fst, a)) ⊆ k
[PROOFSTEP]
refine closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => ?_) hk.isClosed
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
z : G
hz : ¬z ∈ k
⊢ g' (x.fst, z) = 0
[PROOFSTEP]
apply g'_zero x.1 z (h₀ε _) hz
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
z : G
hz : ¬z ∈ k
⊢ x.fst ∈ ball q₀.fst ε
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball_iff_norm]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
z : G
hz : ¬z ∈ k
⊢ ‖x.fst - q₀.fst‖ < ε
[PROOFSTEP]
exact ((le_max_left _ _).trans_lt hx).trans_le δε
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
⊢ ball q₀.snd δ ⊆ {q₀.snd} + ball 0 δ
[PROOFSTEP]
simp only [add_ball, thickening_singleton, zero_vadd, subset_rfl]
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this✝ : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
this : (-tsupport fun a => g' (x.fst, a)) + ball q₀.snd δ ⊆ U
⊢ ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
[PROOFSTEP]
apply convolution_integrand_bound_right_of_le_of_subset _ _ _ this
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this✝ : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
this : (-tsupport fun a => g' (x.fst, a)) + ball q₀.snd δ ⊆ U
⊢ ∀ (i : G), ‖g' (x.fst, i)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
intro y
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y✝ y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this✝ : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
this : (-tsupport fun a => g' (x.fst, a)) + ball q₀.snd δ ⊆ U
y : G
⊢ ‖g' (x.fst, y)‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
exact hε _ _ (((le_max_left _ _).trans_lt hx).trans_le δε)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this✝ : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
this : (-tsupport fun a => g' (x.fst, a)) + ball q₀.snd δ ⊆ U
⊢ x.snd ∈ ball q₀.snd δ
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball_iff_norm]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this✝ : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
a : G
x : P × G
hx : max ‖x.fst - q₀.fst‖ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
this : (-tsupport fun a => g' (x.fst, a)) + ball q₀.snd δ ⊆ U
⊢ ‖x.snd - q₀.snd‖ < δ
[PROOFSTEP]
exact (le_max_right _ _).trans_lt hx
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have I5 : Integrable bound μ := by
  rw [integrable_indicator_iff U_open.measurableSet]
  exact (hU.norm.const_mul _).mul_const _
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
⊢ Integrable bound
[PROOFSTEP]
rw [integrable_indicator_iff U_open.measurableSet]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
⊢ IntegrableOn (fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C) U
[PROOFSTEP]
exact (hU.norm.const_mul _).mul_const _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
have I6 :
  ∀ᵐ a : G ∂μ,
    ∀ x : P × G,
      dist x q₀ < δ →
        HasFDerivAt (fun x : P × G => L (f a) (g x.1 (x.2 - a))) ((L (f a)).comp (g' (x.fst, x.snd - a))) x :=
  by
  apply eventually_of_forall
  intro a x hx
  apply (L _).hasFDerivAt.comp x
  have N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.1, x.2 - a) := by
    apply A'
    apply h₀ε
    rw [Prod.dist_eq] at hx
    exact lt_of_lt_of_le (lt_of_le_of_lt (le_max_left _ _) hx) δε
  have Z := ((hg.differentiableOn le_rfl).differentiableAt N).hasFDerivAt
  have Z' : HasFDerivAt (fun x : P × G => (x.1, x.2 - a)) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (P × G)) x :=
    by
    have : (fun x : P × G => (x.1, x.2 - a)) = _root_.id - fun x => (0, a) := by
      ext x <;> simp only [Pi.sub_apply, id.def, Prod.fst_sub, sub_zero, Prod.snd_sub]
    rw [this]
    exact (hasFDerivAt_id x).sub_const (0, a)
  exact Z.comp x Z'
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ,
    ∀ (x : P × G),
      dist x q₀ < δ →
        HasFDerivAt (fun x => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a)))
          (ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))) x
[PROOFSTEP]
apply eventually_of_forall
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
⊢ ∀ (x : G) (x_1 : P × G),
    dist x_1 q₀ < δ →
      HasFDerivAt (fun x_2 => ↑(↑L (f x)) (g x_2.fst (x_2.snd - x)))
        (ContinuousLinearMap.comp (↑L (f x)) (g' (x_1.fst, x_1.snd - x))) x_1
[PROOFSTEP]
intro a x hx
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
⊢ HasFDerivAt (fun x => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) (ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a)))
    x
[PROOFSTEP]
apply (L _).hasFDerivAt.comp x
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
⊢ HasFDerivAt (fun x => g x.fst (x.snd - a)) (g' (x.fst, x.snd - a)) x
[PROOFSTEP]
have N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.1, x.2 - a) := by
  apply A'
  apply h₀ε
  rw [Prod.dist_eq] at hx
  exact lt_of_lt_of_le (lt_of_le_of_lt (le_max_left _ _) hx) δε
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
⊢ s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.fst, x.snd - a)
[PROOFSTEP]
apply A'
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
⊢ (x.fst, x.snd - a).fst ∈ s
[PROOFSTEP]
apply h₀ε
[GOAL]
case a.a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
⊢ (x.fst, x.snd - a).fst ∈ ball q₀.fst ε
[PROOFSTEP]
rw [Prod.dist_eq] at hx
[GOAL]
case a.a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : max (dist x.fst q₀.fst) (dist x.snd q₀.snd) < δ
⊢ (x.fst, x.snd - a).fst ∈ ball q₀.fst ε
[PROOFSTEP]
exact lt_of_lt_of_le (lt_of_le_of_lt (le_max_left _ _) hx) δε
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.fst, x.snd - a)
⊢ HasFDerivAt (fun x => g x.fst (x.snd - a)) (g' (x.fst, x.snd - a)) x
[PROOFSTEP]
have Z := ((hg.differentiableOn le_rfl).differentiableAt N).hasFDerivAt
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.fst, x.snd - a)
Z : HasFDerivAt (↿g) (fderiv 𝕜 (↿g) (x.fst, x.snd - a)) (x.fst, x.snd - a)
⊢ HasFDerivAt (fun x => g x.fst (x.snd - a)) (g' (x.fst, x.snd - a)) x
[PROOFSTEP]
have Z' : HasFDerivAt (fun x : P × G => (x.1, x.2 - a)) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (P × G)) x :=
  by
  have : (fun x : P × G => (x.1, x.2 - a)) = _root_.id - fun x => (0, a) := by
    ext x <;> simp only [Pi.sub_apply, id.def, Prod.fst_sub, sub_zero, Prod.snd_sub]
  rw [this]
  exact (hasFDerivAt_id x).sub_const (0, a)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.fst, x.snd - a)
Z : HasFDerivAt (↿g) (fderiv 𝕜 (↿g) (x.fst, x.snd - a)) (x.fst, x.snd - a)
⊢ HasFDerivAt (fun x => (x.fst, x.snd - a)) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (P × G)) x
[PROOFSTEP]
have : (fun x : P × G => (x.1, x.2 - a)) = _root_.id - fun x => (0, a) := by
  ext x <;> simp only [Pi.sub_apply, id.def, Prod.fst_sub, sub_zero, Prod.snd_sub]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.fst, x.snd - a)
Z : HasFDerivAt (↿g) (fderiv 𝕜 (↿g) (x.fst, x.snd - a)) (x.fst, x.snd - a)
⊢ (fun x => (x.fst, x.snd - a)) = _root_.id - fun x => (0, a)
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h.h₁
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝¹ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x✝ : P × G
hx : dist x✝ q₀ < δ
N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x✝.fst, x✝.snd - a)
Z : HasFDerivAt (↿g) (fderiv 𝕜 (↿g) (x✝.fst, x✝.snd - a)) (x✝.fst, x✝.snd - a)
x : P × G
⊢ (x.fst, x.snd - a).fst = ((_root_.id - fun x => (0, a)) x).fst
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.sub_apply, id.def, Prod.fst_sub, sub_zero, Prod.snd_sub]
[GOAL]
case h.h₂
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝¹ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x✝ : P × G
hx : dist x✝ q₀ < δ
N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x✝.fst, x✝.snd - a)
Z : HasFDerivAt (↿g) (fderiv 𝕜 (↿g) (x✝.fst, x✝.snd - a)) (x✝.fst, x✝.snd - a)
x : P × G
⊢ (x.fst, x.snd - a).snd = ((_root_.id - fun x => (0, a)) x).snd
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.sub_apply, id.def, Prod.fst_sub, sub_zero, Prod.snd_sub]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this✝ : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.fst, x.snd - a)
Z : HasFDerivAt (↿g) (fderiv 𝕜 (↿g) (x.fst, x.snd - a)) (x.fst, x.snd - a)
this : (fun x => (x.fst, x.snd - a)) = _root_.id - fun x => (0, a)
⊢ HasFDerivAt (fun x => (x.fst, x.snd - a)) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (P × G)) x
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this✝ : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.fst, x.snd - a)
Z : HasFDerivAt (↿g) (fderiv 𝕜 (↿g) (x.fst, x.snd - a)) (x.fst, x.snd - a)
this : (fun x => (x.fst, x.snd - a)) = _root_.id - fun x => (0, a)
⊢ HasFDerivAt (_root_.id - fun x => (0, a)) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (P × G)) x
[PROOFSTEP]
exact (hasFDerivAt_id x).sub_const (0, a)
[GOAL]
case hp
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
a : G
x : P × G
hx : dist x q₀ < δ
N : s ×ˢ univ ∈ 𝓝 (x.fst, x.snd - a)
Z : HasFDerivAt (↿g) (fderiv 𝕜 (↿g) (x.fst, x.snd - a)) (x.fst, x.snd - a)
Z' : HasFDerivAt (fun x => (x.fst, x.snd - a)) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (P × G)) x
⊢ HasFDerivAt (fun x => g x.fst (x.snd - a)) (g' (x.fst, x.snd - a)) x
[PROOFSTEP]
exact Z.comp x Z'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.fst ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ (p : P), p ∈ s → Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.fst ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.fst ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.fst‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a))) μ
I2 : Integrable fun a => ↑(↑L (f a)) (g q₀.fst (q₀.snd - a))
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (q₀.fst, q₀.snd - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.snd}
K'_def : K' = -k + {q₀.snd}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := indicator U fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖↑(↑(precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound
I6 :
  ∀ᵐ (a : G) ∂μ,
    ∀ (x : P × G),
      dist x q₀ < δ →
        HasFDerivAt (fun x => ↑(↑L (f a)) (g x.fst (x.snd - a)))
          (ContinuousLinearMap.comp (↑L (f a)) (g' (x.fst, x.snd - a))) x
⊢ HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f ⋆[precompR (P × G) L, q₀.snd] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.fst, x)) q₀
[PROOFSTEP]
exact hasFDerivAt_integral_of_dominated_of_fderiv_le δpos I1 I2 I3 I4 I5 I6
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝
f✝ f' : G✝ → E
g✝ g' : G✝ → E'✝
x x' : G✝
y y' : E
inst✝²⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
G E' F P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
induction' n using ENat.nat_induction with n ih ih generalizing g E' F
[GOAL]
case h0
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f' : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n (↿g✝) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 0 (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 0 (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
rw [contDiffOn_zero] at hg ⊢
[GOAL]
case h0
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f' : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n (↿g✝) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContinuousOn (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
exact continuousOn_convolution_right_with_param L hk hgs hf hg
[GOAL]
case hsuc
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f' : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => (f ⋆[L.precompR (P × G), μ] fun x : G => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)) a
[GOAL]
case hsuc
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) (↿g) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
have A : ∀ q₀ : P × G, q₀.1 ∈ s → HasFDerivAt (fun q : P × G => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (f' q₀.1 q₀.2) q₀ :=
  hasFDerivAt_convolution_right_with_param L hs hk hgs hf hg.one_of_succ
[GOAL]
case hsuc
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) (↿g) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
rw [contDiffOn_succ_iff_fderiv_of_open (hs.prod (@isOpen_univ G _))] at hg ⊢
[GOAL]
case hsuc
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) ∧
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) y) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case hsuc.left
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
[GOAL]
case hsuc.left.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x✝ x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
p : P
x : G
hp : (p, x).fst ∈ s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ) (p, x)
[PROOFSTEP]
exact (A (p, x) hp).differentiableAt.differentiableWithinAt
[GOAL]
case hsuc.right
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) y) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
suffices H : ContDiffOn 𝕜 n (↿f') (s ×ˢ univ)
[GOAL]
case hsuc.right
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
H : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿f') (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) y) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
apply H.congr
[GOAL]
case hsuc.right
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
H : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿f') (s ×ˢ univ)
⊢ ∀ (x : P × G), x ∈ s ×ˢ univ → fderiv 𝕜 (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) x = (↿f') x
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
[GOAL]
case hsuc.right.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x✝ x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
H : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿f') (s ×ˢ univ)
p : P
x : G
hp : (p, x).fst ∈ s
⊢ fderiv 𝕜 (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (p, x) = (↿f') (p, x)
[PROOFSTEP]
exact (A (p, x) hp).fderiv
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿f') (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
have B : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x) = 0 :=
  by
  intro p x hp hx
  apply (hasFDerivAt_zero_of_eventually_const (0 : E') _).fderiv
  have M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x := IsOpen.mem_nhds hk.isClosed.isOpen_compl hx
  have M1 : s ∈ 𝓝 p := hs.mem_nhds hp
  rw [nhds_prod_eq]
  filter_upwards [prod_mem_prod M1 M2]
  rintro ⟨p, y⟩ ⟨hp, hy⟩
  exact hgs p y hp hy
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
⊢ ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x) = 0
[PROOFSTEP]
intro p x hp hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x✝ x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
⊢ fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x) = 0
[PROOFSTEP]
apply (hasFDerivAt_zero_of_eventually_const (0 : E') _).fderiv
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x✝ x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
⊢ uncurry g =ᶠ[𝓝 (p, x)] fun x => 0
[PROOFSTEP]
have M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x := IsOpen.mem_nhds hk.isClosed.isOpen_compl hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x✝ x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
⊢ uncurry g =ᶠ[𝓝 (p, x)] fun x => 0
[PROOFSTEP]
have M1 : s ∈ 𝓝 p := hs.mem_nhds hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x✝ x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p
⊢ uncurry g =ᶠ[𝓝 (p, x)] fun x => 0
[PROOFSTEP]
rw [nhds_prod_eq]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x✝ x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p
⊢ uncurry g =ᶠ[𝓝 p ×ˢ 𝓝 x] fun x => 0
[PROOFSTEP]
filter_upwards [prod_mem_prod M1 M2]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x✝ x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p
⊢ ∀ (a : P × G), a ∈ s ×ˢ kᶜ → uncurry g a = 0
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, y⟩ ⟨hp, hy⟩
[GOAL]
case h.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x✝ x' : G✝
y✝ y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
p✝ : P
x : G
hp✝ : p✝ ∈ s
hx : ¬x ∈ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p✝
p : P
y : G
hp : (p, y).fst ∈ s
hy : (p, y).snd ∈ kᶜ
⊢ uncurry g (p, y) = 0
[PROOFSTEP]
exact hgs p y hp hy
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
B : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x) = 0
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿f') (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
apply ih (L.precompR (P × G) : _) B
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f'✝ : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 (↿g) y) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a => f ⋆[precompR (P × G) L, a] fun x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.fst ∈ s → HasFDerivAt (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (f' q₀.fst q₀.snd) q₀
B : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x) = 0
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿fun p x => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
convert hg.2
[GOAL]
case htop
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f' : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n (↿g✝) (s ×ˢ univ)
ih :
  ∀ (n : ℕ) {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
rw [contDiffOn_top] at hg ⊢
[GOAL]
case htop
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f' : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n (↿g✝) (s ×ˢ univ)
ih :
  ∀ (n : ℕ) {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
intro n
[GOAL]
case htop
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝¹ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝¹ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'✝¹
inst✝³² : NormedAddCommGroup E''
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup F✝¹
f✝ f' : G✝ → E
g✝¹ g' : G✝ → E'✝¹
x x' : G✝
y y' : E
inst✝³⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 E'✝¹
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁶ : NormedSpace ℝ F✝¹
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F✝¹
inst✝²⁴ : CompleteSpace F✝¹
inst✝²³ : MeasurableSpace G✝
inst✝²² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝²¹ : BorelSpace G✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝¹ : E →L[𝕜] E'✝¹ →L[𝕜] F✝¹
G E'✝ F✝ P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹² : CompleteSpace F✝
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n✝ : ℕ∞
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
g✝ : P → G → E'✝
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs✝ : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g✝ p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ (↿g✝) (s ×ˢ univ)
ih :
  ∀ (n : ℕ) {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hg : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ)
n : ℕ
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
exact ih n L hgs (hg n)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let eG : Type max uG uE' uF uP := ULift.{max uE' uF uP} G
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
borelize eG
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
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inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
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μ : Measure G
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s : Set P
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hs : IsOpen s
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hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let eE' : Type max uE' uG uF uP := ULift.{max uG uF uP} E'
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
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inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
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f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
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y y' : E
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inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
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hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let eF : Type max uF uG uE' uP := ULift.{max uG uE' uP} F
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
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x x' : G
y y' : E
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
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hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let eP : Type max uP uG uE' uF := ULift.{max uG uE' uF} P
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
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inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
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n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
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hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
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⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
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[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
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E' : Type uE'
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inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
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g✝ g' : G → E'
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inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
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L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
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hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
have isoE' : eE' ≃L[𝕜] E' := ContinuousLinearEquiv.ulift
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
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F' : Type uF'
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P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
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f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
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⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
have isoF : eF ≃L[𝕜] F := ContinuousLinearEquiv.ulift
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
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inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
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f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
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hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
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⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
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have isoP : eP ≃L[𝕜] P := ContinuousLinearEquiv.ulift
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
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F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
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L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
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hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
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⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let ef := f ∘ isoG
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
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g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
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isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let eμ : MeasureTheory.Measure eG := Measure.map isoG.symm μ
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
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ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => isoE'.symm (g (isoP ep) (isoG ex))
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let eL :=
  ContinuousLinearMap.comp ((ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF).symm : (E' →L[𝕜] F) →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF) L
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
let R := fun q : eP × eG => (ef ⋆[eL, eμ] eg q.1) q.2
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
have R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ) :=
  by
  have hek : IsCompact (isoG ⁻¹' k) := isoG.toHomeomorph.closedEmbedding.isCompact_preimage hk
  have hes : IsOpen (isoP ⁻¹' s) := isoP.continuous.isOpen_preimage _ hs
  refine' contDiffOn_convolution_right_with_param_aux eL hes hek _ _ _
  · intro p x hp hx
    simp only [(· ∘ ·), ContinuousLinearEquiv.prod_apply, LinearIsometryEquiv.coe_coe,
      ContinuousLinearEquiv.map_eq_zero_iff]
    exact hgs _ _ hp hx
  · apply (locallyIntegrable_map_homeomorph isoG.symm.toHomeomorph).2
    convert hf
    ext1 x
    simp only [ContinuousLinearEquiv.coe_toHomeomorph, (· ∘ ·), ContinuousLinearEquiv.apply_symm_apply]
  · apply isoE'.symm.contDiff.comp_contDiffOn
    apply hg.comp (isoP.prod isoG).contDiff.contDiffOn
    rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
    simpa only [mem_preimage, ContinuousLinearEquiv.prod_apply, prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true_iff] using
      hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
⊢ ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
have hek : IsCompact (isoG ⁻¹' k) := isoG.toHomeomorph.closedEmbedding.isCompact_preimage hk
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
have hes : IsOpen (isoP ⁻¹' s) := isoP.continuous.isOpen_preimage _ hs
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
refine' contDiffOn_convolution_right_with_param_aux eL hes hek _ _ _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
⊢ ∀ (p : eP) (x : eG), p ∈ ↑isoP ⁻¹' s → ¬x ∈ ↑isoG ⁻¹' k → eg p x = 0
[PROOFSTEP]
intro p x hp hx
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
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f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
p : eP
x : eG
hp : p ∈ ↑isoP ⁻¹' s
hx : ¬x ∈ ↑isoG ⁻¹' k
⊢ eg p x = 0
[PROOFSTEP]
simp only [(· ∘ ·), ContinuousLinearEquiv.prod_apply, LinearIsometryEquiv.coe_coe,
  ContinuousLinearEquiv.map_eq_zero_iff]
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
p : eP
x : eG
hp : p ∈ ↑isoP ⁻¹' s
hx : ¬x ∈ ↑isoG ⁻¹' k
⊢ g (↑isoP p) (↑isoG x) = 0
[PROOFSTEP]
exact hgs _ _ hp hx
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
⊢ LocallyIntegrable ef
[PROOFSTEP]
apply (locallyIntegrable_map_homeomorph isoG.symm.toHomeomorph).2
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
⊢ LocallyIntegrable (ef ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.toHomeomorph (ContinuousLinearEquiv.symm isoG)))
[PROOFSTEP]
convert hf
[GOAL]
case h.e'_6
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
⊢ ef ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.toHomeomorph (ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) = f
[PROOFSTEP]
ext1 x
[GOAL]
case h.e'_6.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
x : G
⊢ (ef ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.toHomeomorph (ContinuousLinearEquiv.symm isoG))) x = f x
[PROOFSTEP]
simp only [ContinuousLinearEquiv.coe_toHomeomorph, (· ∘ ·), ContinuousLinearEquiv.apply_symm_apply]
[GOAL]
case refine'_3
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↿eg) ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
apply isoE'.symm.contDiff.comp_contDiffOn
[GOAL]
case refine'_3
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => g (↑isoP x.fst) (↑isoG x.snd)) ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
apply hg.comp (isoP.prod isoG).contDiff.contDiffOn
[GOAL]
case refine'_3
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
⊢ (↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ ⊆ ↑(ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG) ⁻¹' s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
[GOAL]
case refine'_3.mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
hek : IsCompact (↑isoG ⁻¹' k)
hes : IsOpen (↑isoP ⁻¹' s)
p : eP
x : eG
hp : (p, x).fst ∈ ↑isoP ⁻¹' s
⊢ (p, x) ∈ ↑(ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG) ⁻¹' s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simpa only [mem_preimage, ContinuousLinearEquiv.prod_apply, prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_true_iff] using hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
have A : ContDiffOn 𝕜 n (isoF ∘ R ∘ (isoP.prod isoG).symm) (s ×ˢ univ) :=
  by
  apply isoF.contDiff.comp_contDiffOn
  apply R_contdiff.comp (ContinuousLinearEquiv.contDiff _).contDiffOn
  rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
  simpa only [mem_preimage, mem_prod, mem_univ, and_true_iff, ContinuousLinearEquiv.prod_symm,
    ContinuousLinearEquiv.prod_apply, ContinuousLinearEquiv.apply_symm_apply] using hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
apply isoF.contDiff.comp_contDiffOn
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
apply R_contdiff.comp (ContinuousLinearEquiv.contDiff _).contDiffOn
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
⊢ s ×ˢ univ ⊆ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG)) ⁻¹' (↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
[GOAL]
case mk.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
p : P
x : G
hp : (p, x).fst ∈ s
⊢ (p, x) ∈ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG)) ⁻¹' (↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simpa only [mem_preimage, mem_prod, mem_univ, and_true_iff, ContinuousLinearEquiv.prod_symm,
  ContinuousLinearEquiv.prod_apply, ContinuousLinearEquiv.apply_symm_apply] using hp
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
have : isoF ∘ R ∘ (isoP.prod isoG).symm = fun q : P × G => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2 :=
  by
  apply funext
  rintro ⟨p, x⟩
  simp only [LinearIsometryEquiv.coe_coe, (· ∘ ·), ContinuousLinearEquiv.prod_symm, ContinuousLinearEquiv.prod_apply]
  simp only [convolution, coe_comp', ContinuousLinearEquiv.coe_coe, (· ∘ ·)]
  rw [ClosedEmbedding.integral_map, ← isoF.integral_comp_comm]
  swap; · exact isoG.symm.toHomeomorph.closedEmbedding
  congr 1
  ext1 a
  simp only [(· ∘ ·), ContinuousLinearEquiv.apply_symm_apply, coe_comp', ContinuousLinearEquiv.prod_apply,
    ContinuousLinearEquiv.map_sub, ContinuousLinearEquiv.arrowCongr, ContinuousLinearEquiv.arrowCongrSL_symm_apply,
    ContinuousLinearEquiv.coe_coe, Function.comp_apply, ContinuousLinearEquiv.apply_symm_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
⊢ ↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG)) = fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst
[PROOFSTEP]
apply funext
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
⊢ ∀ (x : P × G),
    (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) x = f ⋆[L, x.snd] g x.fst
[PROOFSTEP]
rintro ⟨p, x⟩
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
p : P
x : G
⊢ (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (p, x) =
    f ⋆[L, (p, x).snd] g (p, x).fst
[PROOFSTEP]
simp only [LinearIsometryEquiv.coe_coe, (· ∘ ·), ContinuousLinearEquiv.prod_symm, ContinuousLinearEquiv.prod_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
p : P
x : G
⊢ ↑isoF
      ((fun x =>
          f
            (↑isoG
              x)) ⋆[ContinuousLinearMap.comp
          (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L,
        ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) x] fun ex =>
        ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoP) p)) (↑isoG ex))) =
    f ⋆[L, x] g p
[PROOFSTEP]
simp only [convolution, coe_comp', ContinuousLinearEquiv.coe_coe, (· ∘ ·)]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
p : P
x : G
⊢ ↑isoF
      (∫ (t : ULift G),
        ↑(↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF)) (↑L (f (↑isoG t))))
          (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE')
            (g (↑isoP (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoP) p))
              (↑isoG
                (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) x - t)))) ∂Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ) =
    ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g p (x - t)) ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [ClosedEmbedding.integral_map, ← isoF.integral_comp_comm]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
p : P
x : G
⊢ ∫ (a : G),
      ↑isoF
        (↑(↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))
              (↑L (f (↑isoG (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) a)))))
          (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE')
            (g (↑isoP (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoP) p))
              (↑isoG (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) x - ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) a))))) ∂μ =
    ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g p (x - t)) ∂μ
case h.mk.hφ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
p : P
x : G
⊢ ClosedEmbedding ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case h.mk.hφ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
p : P
x : G
⊢ ClosedEmbedding ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)
[PROOFSTEP]
exact isoG.symm.toHomeomorph.closedEmbedding
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
p : P
x : G
⊢ ∫ (a : G),
      ↑isoF
        (↑(↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))
              (↑L (f (↑isoG (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) a)))))
          (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE')
            (g (↑isoP (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoP) p))
              (↑isoG (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) x - ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) a))))) ∂μ =
    ∫ (t : G), ↑(↑L (f t)) (g p (x - t)) ∂μ
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case h.mk.e_f
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
p : P
x : G
⊢ (fun a =>
      ↑isoF
        (↑(↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))
              (↑L (f (↑isoG (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) a)))))
          (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE')
            (g (↑isoP (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoP) p))
              (↑isoG (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) x - ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) a)))))) =
    fun t => ↑(↑L (f t)) (g p (x - t))
[PROOFSTEP]
ext1 a
[GOAL]
case h.mk.e_f.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
p : P
x a : G
⊢ ↑isoF
      (↑(↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))
            (↑L (f (↑isoG (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) a)))))
        (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE')
          (g (↑isoP (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoP) p))
            (↑isoG (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) x - ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG) a))))) =
    ↑(↑L (f a)) (g p (x - a))
[PROOFSTEP]
simp only [(· ∘ ·), ContinuousLinearEquiv.apply_symm_apply, coe_comp', ContinuousLinearEquiv.prod_apply,
  ContinuousLinearEquiv.map_sub, ContinuousLinearEquiv.arrowCongr, ContinuousLinearEquiv.arrowCongrSL_symm_apply,
  ContinuousLinearEquiv.coe_coe, Function.comp_apply, ContinuousLinearEquiv.apply_symm_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG))) (s ×ˢ univ)
this : ↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG)) = fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
simp_rw [this] at A
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ↑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoG)) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => ↑(ContinuousLinearEquiv.symm isoE') (g (↑isoP ep) (↑isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.arrowCongr isoE' isoF))) L
R : eP × eG → eF := fun q => ef ⋆[eL, q.snd] eg q.fst
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((↑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
this : ↑isoF ∘ R ∘ ↑(ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.prod isoP isoG)) = fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst
A : ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => f ⋆[L, q.snd] g q.fst) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
exact A
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
s : Set P
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f ⋆[L, v x] g x) s
[PROOFSTEP]
apply (contDiffOn_convolution_right_with_param L hs hk hgs hf hg).comp (contDiffOn_id.prod hv)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
s : Set P
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ s ⊆ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
s : Set P
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
x : P
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mem_preimage, prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_self_iff, id.def]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => g q.fst ⋆[L, q.snd] f) (s ×ˢ univ)
[PROOFSTEP]
simpa only [convolution_flip] using contDiffOn_convolution_right_with_param L.flip hs hk hgs hf hg
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
s : Set P
n : ℕ∞
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => g x ⋆[L, v x] f) s
[PROOFSTEP]
apply (contDiffOn_convolution_left_with_param L hs hk hgs hf hg).comp (contDiffOn_id.prod hv)
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
s : Set P
n : ℕ∞
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ s ⊆ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
s : Set P
n : ℕ∞
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → ¬x ∈ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
x : P
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mem_preimage, prod_mk_mem_set_prod_eq, mem_univ, and_self_iff, id.def]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n (convolution f g L)
[PROOFSTEP]
rcases exists_compact_iff_hasCompactSupport.2 hcg with ⟨k, hk, h'k⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 n g
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : ∀ (x : G), ¬x ∈ k → g x = 0
⊢ ContDiff 𝕜 n (convolution f g L)
[PROOFSTEP]
rw [← contDiffOn_univ]
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f
hg : ContDiff 𝕜 n g
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : ∀ (x : G), ¬x ∈ k → g x = 0
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (convolution f g L) univ
[PROOFSTEP]
exact
  contDiffOn_convolution_right_with_param_comp L contDiffOn_id isOpen_univ hk (fun p x _ hx => h'k x hx) hf
    (hg.comp contDiff_snd).contDiffOn
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
n : ℕ∞
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : LocallyIntegrable g
⊢ ContDiff 𝕜 n (convolution f g L)
[PROOFSTEP]
rw [← convolution_flip]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : IsAddLeftInvariant μ
inst✝ : IsNegInvariant μ
n : ℕ∞
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : LocallyIntegrable g
⊢ ContDiff 𝕜 n (convolution g f (ContinuousLinearMap.flip L))
[PROOFSTEP]
exact hcf.contDiff_convolution_right L.flip hg hf
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
⊢ posConvolution f g L = convolution (indicator (Ioi 0) f) (indicator (Ioi 0) g) L
[PROOFSTEP]
ext1 x
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
⊢ posConvolution f g L x = indicator (Ioi 0) f ⋆[L, x] indicator (Ioi 0) g
[PROOFSTEP]
unfold convolution posConvolution indicator
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
⊢ (if x ∈ Ioi 0 then (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂ν) x else 0) =
    ∫ (t : ℝ), ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
[PROOFSTEP]
simp only
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
⊢ (if x ∈ Ioi 0 then ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂ν else 0) =
    ∫ (t : ℝ), ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
[PROOFSTEP]
split_ifs with h
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
⊢ ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂ν =
    ∫ (t : ℝ), ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
[PROOFSTEP]
rw [intervalIntegral.integral_of_le (le_of_lt h), integral_Ioc_eq_integral_Ioo, ←
  integral_indicator (measurableSet_Ioo : MeasurableSet (Ioo 0 x))]
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
⊢ ∫ (x_1 : ℝ), indicator (Ioo 0 x) (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) x_1 ∂ν =
    ∫ (t : ℝ), ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
[PROOFSTEP]
congr 1 with t : 1
[GOAL]
case pos.e_f.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
⊢ indicator (Ioo 0 x) (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) t =
    ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0)
[PROOFSTEP]
have : t ≤ 0 ∨ t ∈ Ioo 0 x ∨ x ≤ t := by
  rcases le_or_lt t 0 with (h | h)
  · exact Or.inl h
  · rcases lt_or_le t x with (h' | h')
    exacts [Or.inr (Or.inl ⟨h, h'⟩), Or.inr (Or.inr h')]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
⊢ t ≤ 0 ∨ t ∈ Ioo 0 x ∨ x ≤ t
[PROOFSTEP]
rcases le_or_lt t 0 with (h | h)
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h✝ : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
h : t ≤ 0
⊢ t ≤ 0 ∨ t ∈ Ioo 0 x ∨ x ≤ t
[PROOFSTEP]
exact Or.inl h
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h✝ : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
h : 0 < t
⊢ t ≤ 0 ∨ t ∈ Ioo 0 x ∨ x ≤ t
[PROOFSTEP]
rcases lt_or_le t x with (h' | h')
[GOAL]
case inr.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h✝ : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
h : 0 < t
h' : t < x
⊢ t ≤ 0 ∨ t ∈ Ioo 0 x ∨ x ≤ t
case inr.inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h✝ : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
h : 0 < t
h' : x ≤ t
⊢ t ≤ 0 ∨ t ∈ Ioo 0 x ∨ x ≤ t
[PROOFSTEP]
exacts [Or.inr (Or.inl ⟨h, h'⟩), Or.inr (Or.inr h')]
[GOAL]
case pos.e_f.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
this : t ≤ 0 ∨ t ∈ Ioo 0 x ∨ x ≤ t
⊢ indicator (Ioo 0 x) (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) t =
    ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0)
[PROOFSTEP]
rcases this with (ht | ht | ht)
[GOAL]
case pos.e_f.h.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : t ≤ 0
⊢ indicator (Ioo 0 x) (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) t =
    ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0)
[PROOFSTEP]
rw [indicator_of_not_mem (not_mem_Ioo_of_le ht), if_neg (not_mem_Ioi.mpr ht), ContinuousLinearMap.map_zero,
  ContinuousLinearMap.zero_apply]
[GOAL]
case pos.e_f.h.inr.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 x
⊢ indicator (Ioo 0 x) (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) t =
    ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0)
[PROOFSTEP]
rw [indicator_of_mem ht, if_pos (mem_Ioi.mpr ht.1), if_pos (mem_Ioi.mpr <| sub_pos.mpr ht.2)]
[GOAL]
case pos.e_f.h.inr.inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : x ≤ t
⊢ indicator (Ioo 0 x) (fun t => ↑(↑L (f t)) (g (x - t))) t =
    ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0)
[PROOFSTEP]
rw [indicator_of_not_mem (not_mem_Ioo_of_ge ht), if_neg (not_mem_Ioi.mpr (sub_nonpos_of_le ht)),
  ContinuousLinearMap.map_zero]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : ¬x ∈ Ioi 0
⊢ 0 = ∫ (t : ℝ), ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
[PROOFSTEP]
convert (integral_zero ℝ F).symm with t
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_7.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : ¬x ∈ Ioi 0
t : ℝ
⊢ ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) = 0
[PROOFSTEP]
by_cases ht : 0 < t
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : ¬x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) = 0
[PROOFSTEP]
rw [if_neg (_ : x - t ∉ Ioi 0), ContinuousLinearMap.map_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : ¬x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ¬x - t ∈ Ioi 0
[PROOFSTEP]
rw [not_mem_Ioi] at h ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ≤ 0
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ x - t ≤ 0
[PROOFSTEP]
exact sub_nonpos.mpr (h.trans ht.le)
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : ¬x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : ¬0 < t
⊢ ↑(↑L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) = 0
[PROOFSTEP]
rw [if_neg (mem_Ioi.not.mpr ht), ContinuousLinearMap.map_zero, ContinuousLinearMap.zero_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : NoAtoms ν
hf : IntegrableOn f (Ioi 0)
hg : IntegrableOn g (Ioi 0)
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ Integrable (posConvolution f g L)
[PROOFSTEP]
rw [← integrable_indicator_iff (measurableSet_Ioi : MeasurableSet (Ioi (0 : ℝ)))] at hf hg
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : NoAtoms ν
hf : Integrable (indicator (Ioi 0) f)
hg : Integrable (indicator (Ioi 0) g)
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ Integrable (posConvolution f g L)
[PROOFSTEP]
rw [posConvolution_eq_convolution_indicator f g L ν]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : NoAtoms ν
hf : Integrable (indicator (Ioi 0) f)
hg : Integrable (indicator (Ioi 0) g)
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ Integrable (convolution (indicator (Ioi 0) f) (indicator (Ioi 0) g) L)
[PROOFSTEP]
exact (hf.convolution_integrand L hg).integral_prod_left
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : IntegrableOn f (Ioi 0)
hg : IntegrableOn g (Ioi 0)
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂ν ∂μ =
    ↑(↑L (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x ∂ν)) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, g x ∂μ)
[PROOFSTEP]
rw [← integrable_indicator_iff measurableSet_Ioi] at hf hg
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : Integrable (indicator (Ioi 0) f)
hg : Integrable (indicator (Ioi 0) g)
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂ν ∂μ =
    ↑(↑L (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x ∂ν)) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, g x ∂μ)
[PROOFSTEP]
simp_rw [← integral_indicator measurableSet_Ioi]
[GOAL]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : Integrable (indicator (Ioi 0) f)
hg : Integrable (indicator (Ioi 0) g)
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ ∫ (x : ℝ), indicator (Ioi 0) (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂ν) x ∂μ =
    ↑(↑L (∫ (x : ℝ), indicator (Ioi 0) (fun x => f x) x ∂ν)) (∫ (x : ℝ), indicator (Ioi 0) (fun x => g x) x ∂μ)
[PROOFSTEP]
convert integral_convolution L hf hg using 4 with x
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_7.h.h.e
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : IsAddRightInvariant μ
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : Integrable (indicator (Ioi 0) f)
hg : Integrable (indicator (Ioi 0) g)
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
x : ℝ
⊢ (indicator (Ioi 0) fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, ↑(↑L (f t)) (g (x - t)) ∂ν) =
    convolution (indicator (Ioi 0) f) (indicator (Ioi 0) g) L
[PROOFSTEP]
apply posConvolution_eq_convolution_indicator